第三十三講 代數(shù)式的化簡與求值

1．在前面幾講中我們分別學習了整式、分式以及根式的恒等變形與證明，其中也涉及到它們的化簡與求值．本講主要是把這蘭種類型的代數(shù)式綜合起來，其中求值問題是代數(shù)式運算中的非常重要的內容．
2．對于代數(shù)式的化簡、求值，常用到的技巧有：
(1)因式分解，對所給的條件、所求的代數(shù)式實施因式分解，達到化繁為簡的目的；
(2)運算律，適當運用運算律，也有助于化簡；
(3)換元、配方、待定系數(shù)法、倒數(shù)法等；
(4)有時 對含有根式的等式兩邊同時實施平方，也不失為一種有效的方法．
例題求解
【例1】已知 ，求 的值．
思路點撥 由已知得(x－4)2=3，即x2－8x+13=0．所以原式=5．
注 本題使用了整體代換的作法．
【例2】已知：x+ y+x=3a(a ≠0)，求： 的值．
思路點 撥 由 得：
解設 ， ， ，∴
∴原式= （可將 兩邊平方的得到）
【例3】已知 ，求 的值．
思路點撥 設
∴ ，然后對 和 兩種情況進行討論，原式= 和 ．
【例4】已知 ， ， ，求（1） 的值：（2） 的值．
思路點撥 先由條件求出 ，可得 ， ．
注 這道題充分體現(xiàn)了三個數(shù)的平方和，三個數(shù)的立方和，及三個數(shù)四次方和的常規(guī)用法，這些常用處理方法對我們今后的學習是十分重要的．
【例5】 (2003年河北初中數(shù)學應用競賽題)同一價格的一種商品在三個商場都進行了兩次價格調整．甲商場：第一次提價的百分率為a，第二次提價的百分率為b；乙商場：兩次提價的百分率都是 （a>0，b>0）；丙商場：第一次提價的百分率為b，第二次提價的百分率為a，則提價最多的商場是( )
A．甲 B．乙 C．丙 D．不能確定
思路點撥 乙商場兩次提價后，價格最高．選B

【例6】 已知非零實數(shù) a、b、c滿足 ， ，求 的值．
思路點撥 原條件變形為：
∴ 為±1或0．
【例7】(2001年重慶市)閱讀下面：
在計算3+5+7+9+11+13+15+17+19+21時；我機發(fā)現(xiàn)，從第一個數(shù)開始，以后的每個 數(shù)與它的前一個數(shù)的差都是一個相同的定值．具有這種規(guī)律的一列數(shù)，除了直接相加外，我們還可以用公式 計算它們的和．(公式中的n表示數(shù)的個數(shù)，a表示第一個數(shù)的值，d表示這個相差的定值．)
那么3+5+7+9+11+13+15+17+19+21= ．
用上面的知識解決下列問題：
為保護長江，減少水土流失，我市某縣決定對原有的坡荒地進行退耕還林．從1995年起在坡荒地上植樹造林，以后每年又以比上一年多植相同面積的樹木改造坡荒地，由于每年因自然災害、樹木成活率、人為因素等的影響，都有相同數(shù)量的新坡荒地產生，下表 為1995、1996、1997年的坡荒地面積和植樹的面積的統(tǒng)計數(shù)據．假 設坡荒地全部種上樹后，不再有水土流失形成新的坡荒地，問到哪一年，可以將全縣所有的坡荒地全部種上樹木．
1995年1996年1997年
每年植樹的面積（畝）100014001800
植樹后坡荒地的實際面積(畝)252002400022400
思路點撥 1996年減少了25200－24000=1200，
1997年減少了24000－22400=1600，
…
m年減少了1200+400×(m―1996)．
1200+1600+…+1200+400(m―1996)=25200．
令n=m―1995，得 ， 或 （舍去）
∴ m =1995+n =2004．
∴ 到2004年，可以將坡荒地全部種上樹木．
【例8】 ( “信利杯”)某校初三兩個畢業(yè)班的學生和教師共100人一起在臺階上拍畢業(yè)照留念，攝影師要將其排列成前多后少的梯形隊陣{排數(shù)≥3)，且要求各行的人數(shù)必須是連續(xù)的自然數(shù)，這樣才能使后一排的人均站在前一排兩人間的空 擋處，那么，滿足上述要求的排法的方案有( )
A．1種 B． 2種 C．4種 D．0種
思路點撥 設最后一排有k個人，共有n排，那么從后往前各排的人數(shù)分別為k，k+1，k+2，…，k+(n―1)，由題意可知 ，即n=200．因為k，n都是正整數(shù)，且n≥3，所以n<2k+(n―1)，且n與2k+(n―1)的奇偶性不同．將200分解質因數(shù)，可知n=5或n=8．當n=5時，k=l8；當n=8時，k=9．共有兩種不同方案．選B



【例9】 (江蘇省競賽初三)有兩道算式：
好+好=妙，妙×好好×真好=妙題題妙，
其中每個漢字表示0~9中的一個數(shù)字，相同漢字表示相同數(shù)字，不同漢字表示不同數(shù)字．那么，“妙題題妙”所表示的四位數(shù)的所有因數(shù)的個數(shù)是 ．
思路點撥 從加法式得“好”<5，“妙”≠0，因此“好”=1，“妙”=2或“好”=2，“妙”=4或“好”=3，“妙”=6或“好”=4，“妙”=8．顯然，中間兩種情形不滿足乘法式，所以只能是：
(1)“好”=1，“妙”=2，從而乘法式變?yōu)?br> 2×11×(真×10+1)=2002+題×110，
即 真×10+1=91+題×5．
上式左邊≤91，右邊≥91，所以兩邊都等于91．
由此得“真”=，“題”=0“妙題題妙”=2002．
(2)“好”=4，“妙”=8，乘法式為
8×44×(真×10十4)=8008+題×110．
即704+1760×真=4004十題×55．
在0~9中，只有“真”=2，“題”=4滿足上式，但此時“好”與“題”表示 相同的數(shù)字，與題意不符．
故四位數(shù)“妙題題妙”有唯一解2002．
由2002=2×7×11×13，知2002的所有因數(shù)的個數(shù)為24=16．
【例9】設 ，，且 ．
求 的值．
思路點撥 設 ，顯然 ，于是 ， ， ，代入已知得 ，即 ，
由 ， ，可知 ， ， ，∴ ，原式=1．

學力訓練
(A級))
1．當m在可取值范圍內取不同的值時，代數(shù)式 的最小值是( )
A．0 B．5 C．3 D．9
2．已知：a、b都是負實數(shù)，且 ，那么 的值為( )
A． B． C． D．
3．如a、b、c是三個任意整 數(shù)，那么 、 、 ( )
A．都不是整數(shù) B．至少有兩個整數(shù) C．至少有一個整數(shù) D．都是整數(shù)
4．如果 ，那么 的值是( )
A．0 B．1 C．2 D．4
5．已知： ， ， ，且 ，試求 的值．
6．已知 ，那么 的值是多少？
（B級）
1．設等式 在實數(shù)范圍內成立，其中a、x、y是兩兩不同的實數(shù)，則 的值是( )
A．3 B． C．2 D．
2．已知m>0， n>0，且 ，求 的值．
3．已知 2，試求 的值．
4．已知 ， 且x≠y，求 的值．
5．設a、 b、c均不為0，且 ， ，求證：a、b、c中至少有一個等于1998．
6． 已知a、b、c為整數(shù)，且滿足 ，求 的值．


A級

1．B 2．C 3．C 4 ．D 5．1 6．20

B級
1．B．2．3 3．4 4．

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