18.4反比例函數(shù)（2）
知識技能目標
1.理解反比例函數(shù)的圖象是雙曲線,利用描點法畫出反比例函數(shù)的圖象,說出它的性質(zhì)；
2.利用反比例函數(shù)的圖象解決有關問題．
過程性目標
1.經(jīng)歷對反比 例函數(shù)圖象的觀察、分析、討論、概括過程，會說出它的性質(zhì)；
2.探索反比例函數(shù)的圖象的性質(zhì),體會用數(shù) 形結(jié)合思想解數(shù)學問題．

過程
一、創(chuàng)設情境
上節(jié)的練習中，我們畫出了問題1中函數(shù) 的圖象，發(fā)現(xiàn)它并不是直線．那么它是怎么樣的曲線呢？本節(jié)課，我們就來討論一般的反比例函數(shù) （k是常數(shù)，k≠0）的圖象，探究它有什么性質(zhì)．
二、探究歸納
1.畫出函數(shù) 的圖象．
分析 畫出函數(shù)圖象一般分 為列表、描點、連線三個步驟，在反比例函數(shù)中自變量x ≠0．
解 1．列表：這個函數(shù)中自變量x的取值范圍是不等于零的一切實數(shù)，列出x與y的對應值：

2.描點：用表里各組對應值作為點的坐標，在直角坐標系中描出在京各點點(－6,－1) 、(－3,－2)、(－2,－3)等．
3.連線：用平滑的 曲線將第一象限各點依次連起來，得到圖象的 第一個分支；用平滑的曲線將第三象限各點依次連起來，得到圖象的另一個分支．這兩個分支合起來，就是反比例函數(shù)的圖象．

上述圖象，通常稱為雙曲線(hyperbola)．
提問 這兩條曲線會與x軸、y軸相交嗎？為什么？
學生試一試：畫出反比例函數(shù) 的圖象（學生動手畫反比函數(shù)圖象，進一步掌握畫函數(shù)圖象的步驟）．

學生討論、交流以下問題，并 將討論、交流的結(jié)果回答 問題．
1.這個函數(shù)的圖 象在哪兩個象限？和函數(shù) 的圖象 有什么不同？
2.反比例函數(shù) (k≠0)的圖象在哪兩個象限內(nèi)？由什么確定？
3.聯(lián)系一次函數(shù)的性質(zhì)，你能否總結(jié)出反比例函數(shù)中隨著自變量x的增加，函數(shù)y將怎樣變化？有什么規(guī)律？
反比例函數(shù) 有下列性質(zhì)：
(1)當k＞0時，函數(shù)的圖象在第一、三象限，在每個象限內(nèi)，曲線從左向右下降，也就是在每個象限內(nèi)y隨x的增加而減少；
(2)當k＜0時，函數(shù)的圖象在第二、四象限，在每個象限內(nèi)，曲線從左向右上升，也就是在每個象限內(nèi)y隨x的增加而增加．
注 1．雙曲線的兩個分支與x軸和y軸沒有交點；
2．雙曲線的兩個分支關于原點成中心對稱．
以上兩點性質(zhì)在上堂課的問題1和問題2中反映了怎樣的實際意義？
在問題1中反映了汽車比自行車的速 度快，小華乘汽車比騎自行車到鎮(zhèn)上的時間少．
在問題2中反映了在面積一定的情況下,飼養(yǎng)場的一邊越長,另一邊越小．

三、實踐應用
例1 若反比例函數(shù) 的圖象在第二、四象限，求m的值．
分析 由反比例函 數(shù)的定義可知： , 又由于圖象在二、四象限，所以m＋1＜0，由這兩個條件可解出m的值．
解 由題意， 得 解得 ．

例2 已知反比例函數(shù) (k≠0)，當x＞0時，y隨x的增大而增大，求一次函數(shù)y＝kx－k的圖象經(jīng)過的象限．
分析 由于反比例函數(shù) (k≠0 )，當x＞0時，y隨x的增大而增大，因此k＜0，而一次函數(shù)y＝kx－k中，k＜0，可知，圖象過二、四象限，又－k＞0，所以直線與y軸的交點在x軸的上方．
解 因為反比例函數(shù) (k≠0)，當x＞0時，y隨x的增大而增大，所以k＜0，所以一次函數(shù)y＝kx－k的圖象經(jīng)過一、二、四象限．

例3 已知反比例函數(shù)的圖象過點(1,－2)．
(1)求這個函數(shù)的解析式，并畫出圖象；
(2)若點A(－5,m)在圖象上，則點A關于兩坐標軸和原點的對稱點是否還在圖象上？
分析 (1) 反比例函數(shù)的圖象過點(1,－2)，即當x＝1時，y＝－2．由待定系數(shù)法可求出反比例函數(shù)解析式；再根據(jù)解析式，通過列表、描點、連線可畫出反比例函數(shù)的圖象；
(2)由點A在反比例函數(shù)的圖象上，易求出m的值，再驗證點A關于兩坐標軸和原點的對稱點是否在圖象上．
解 (1)設：反比例函數(shù)的解析式為： (k≠0)．
而反比例函數(shù)的圖象過 點(1,－2)，即當x＝1時，y＝－2．
所以 ，k＝－2．
即反比例函數(shù)的解析式為： ．

(2)點A(－5,m)在反比例函數(shù) 圖象上，所以 ，
點A的坐標為 ．
點A關于x軸的對稱點 不在這個圖象上；
點A關于y軸的對稱點 不在這個圖象上；
點A關于原點的對稱點 在這個圖象上；
例4 已知函數(shù) 為反比例函數(shù)．
(1)求m的值；
(2)它的圖象在第幾象限內(nèi)？在各象限內(nèi)，y隨x的增大如何變化？
(3)當－3≤x≤ 時，求此函數(shù)的最大值和最小值．
解 (1)由反比例函數(shù)的定義可知： 解得，m＝－2．
(2)因為－2＜0，所以反比例函數(shù)的圖象在第二、四象限內(nèi)，在各象限內(nèi)，y隨x的增大而增大．
(3)因為在第個象限內(nèi)，y隨x的增大而增大，
所以當x＝ 時，y最大值＝ ；
當x＝－3時，y最小值＝ ．
所以當－3≤x≤ 時，此函數(shù)的最大值為8，最小值為 ．

例5 一個長方體的體積是100立方厘米，它的長是y厘米，寬是5厘米，高是x厘米．
(1)寫出用高表示長的函數(shù)關 系式；
(2)寫出自變量x的取值范圍；
( 3)畫出函數(shù)的圖象．
解 (1)因為100＝5xy,所以 ．
(2)x＞0．
(3)圖象如下：

說明 由于自變量x＞0,所以畫出的反比例函數(shù)的圖象只是位于第一象限內(nèi)的一個分支．

四、交流反思
本節(jié)課學習了畫反比例函數(shù)的圖象和探討了反比例函數(shù)的性質(zhì)．
1.反比例函數(shù)的圖象是雙曲線(hyperbola)．
2.反比例函數(shù)有如下性質(zhì)：
(1)當k＞0時，函數(shù)的圖象在第一、三象限，在每個象限內(nèi)，曲線 從左向右下降，也就是在每個象限內(nèi)y隨x的增加而減少；
(2)當k＜0時，函數(shù)的圖象在第二、四象限，在每個象限內(nèi)，曲線從左向右上升，也就是在每個象限內(nèi)y隨x的增加而增加．

五、檢測反饋
1.在同一直角坐標系中畫出下列函數(shù)的圖象：
(1) ； (2) ．
2.已知y是x的反比例函數(shù)，且當x＝3時，y＝8,求：
(1)y和x的函數(shù)關系式；
(2)當 時，y的值；
(3)當x取 何值時， ?
3.若反比例函數(shù) 的圖象在所在象限內(nèi)，y隨x的增大而增大，求n的值．
4.已知反比例函數(shù) 經(jīng)過點A(2,－m)和B(n,2n)，求：
(1)m和n的值；
(2)若圖象上有兩點P1(x1,y1)和P2( x2,y2)，且x1＜0＜ x2，試比較y1和 y2的大�。�

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