八年級暑假
數(shù)學培優(yōu)提高練習題
一、數(shù)與式
典型題目：
1. 計算:（1）
（2）（ ＋ ＋……＋ ）（1＋ ＋ ＋……＋ ）
－（1＋ ＋ ＋……＋ ）（ ＋ ＋……＋ ）
2. 將一些半徑相同的小圓按如圖所示的規(guī)律擺放：第1個圖形有6個小圓，第2個圖形有10個小圓，第3個圖形有16個小圓，第4個圖形有24個小圓，……，依次規(guī)律，第6個圖形有 個小圓.
3. 已知 依據(jù)上述規(guī)律，則 .
4.（1）劉謙的魔術表演風靡全國，小明也學起了劉謙發(fā)明了一個魔術盒，當任意實數(shù)對（a，b）進入其中時，會得到一個新的實數(shù)：a2+b-1，例如把（3，-2）放入其中，就會得到32+（-2）-1=6.現(xiàn)將實數(shù)對（m，-2m）放入其中，得到實數(shù)2，則m = ．
（2）在平面直角坐標系中，對于平面內任一點 若規(guī)定以下三種變換：
按照以上變換有： 那么 等于（ ）
A． B． C． D．
5.（1）化簡： ＝_______ ；
(2) 若x2－2y＋6x＋10＋y2=0,則 =__________；
(3)設 ，則 ________.
6.（1）如果式子 根號外的因式移入根號內，化簡的結果為（ ）
A． B． C． D．
(2) 已知 ，則 的值為 ( )
A． B． C． D．
(3) 如圖，菱形ABCD的對角線長分別為 ，以菱形ABCD各邊的中點為頂點作矩形 ，然后再以矩形 各邊的中點為頂點作菱形 ，……，如此下去．則得到四邊形 的面積用含 的代數(shù)式表示為__________.
同步練習
一、
1. 若 ( )
A. B.-2 C. D.
2. 已知a－b=b－c= ，a2＋b2＋c2=1則ab＋bc＋ca的值等于（ ）
Ａ. 　 Ｂ. 　�。�. 　 Ｄ.
3．古希臘著名的畢達哥拉斯學派把1、3、6、10… 這樣的數(shù)稱為“三角形數(shù)”，而把1、4、9、16…這樣的數(shù)稱為“正方形數(shù)”．從圖中可以發(fā)現(xiàn)，任何一個大于1的“正方形數(shù)”都可以看作兩個相鄰“三角形數(shù)”之和．下列等式中，符合這一規(guī)律的是（ ）
A．13 = 3+10 B．25 = 9+16
C．36 = 15+21 D．49 = 18+31
4．若將代數(shù)式中的任意兩個字母交換，代數(shù)式不變，則稱這個代數(shù)式為完全對稱式，如 就是完全對稱式.下列三個代數(shù)式：① ；② ；③ ．其中是完全對稱式的是(　 　)
A．①② B．①③ 　 C． ②③ D．①②③
二、題
5．已知Rt△ABC中，AC=3，BC= 4，過直角頂點C作CA1⊥AB，垂足為A1，再過A1作A1C1⊥BC，垂足為C1，過C1作C1A2⊥AB，垂足為A2，再過A2作A2C2⊥BC，垂足為C2，…，這樣一直做下去，得到了一組線段CA1，A1C1， ，…，
則CA1= ， .
6．已知 ， ．
7. 正方形A1B1C1O，A2B2C2C1，A3B3C3C2，…按如圖所示
的方式放置．點A1，A2，A3，…和點C1，C2，C3，
…分別在直線 (k＞0)和x軸上，已知
點B1(1，1)，B2(3，2)， 則Bn的坐標是______________．
三、解答題
8. 若４x－３y－６z=0, x+2y－7z=0 (xyz≠0),求代數(shù)式 的值.
9.對任意實數(shù)x、y，定義運算x y為x y=ax+by+cxy 其中a、b、c為常數(shù)，等式右端運算是通常的實數(shù)的加法和．現(xiàn)已知1 2=3，2 3=4，并且有一個非零實數(shù)d，使得對于任意實數(shù)x,都有x d=x，求d的值．
10.如圖所示，在矩形ABCD中，AB=12，AC=20，兩條對角線相交于點O. 以OB、OC為鄰邊作第1個平行四邊形OBB1C，對角線相交于點A1；再以A1B1、A1C為鄰邊作第2個平行四邊形A1B1C1C，對角線相交于點O1；再以O1B1、O1C1為鄰邊作第3個平行四邊形O1B1B2C1……依次類推.
（1）求矩形ABCD的面積；
（2）求第1個平行四邊形OBB1C、第2個平行四邊
形A1B1C1C和第6個平行四邊形的面積.
二、方程與方程組
典型題目
1．解關于x的方程：
(1)4x+b=ax-8； (2) (3)
2．若關于x，y的二元一次方程組 的解也是二元一次方程 的解，求k的值．
3. 符號“ ”稱為二階行列式，規(guī)定它的運算法則為： ，請你根據(jù)上述規(guī)定求出下列等式中x的值： ．
4．設a是方程 的一個根，求代數(shù)式 的值．
5．求出二元一次方程2x+3y=20的非負整數(shù)解．
6．小明計劃將今年春節(jié)期間得到的壓歲錢的一部分作為自己一年內購買課外書籍的費用，其余的錢計劃買這些玩具去看望市福利院的孩子們．某周日小明在商店選中了一種小熊玩具，單價是10元，按原計劃買了若干個，結果他的壓歲錢還余30%，于是小明又多買了6個小熊玩具，這樣余下的錢僅是壓歲錢的10%．
（1）問小明原計劃買幾個小熊玩具，小明的壓歲錢共有多少元？
（2）為了保證小明購書費用不少于壓歲錢的20%，問小明最多可比原計劃多買幾個玩具？
7．某超市對顧客實行優(yōu)惠購物，規(guī)定如下：
（1）若一次購物少于200元，則不予優(yōu)惠；
（2）若一次購物滿200元，但不超過500元，按標價給予九折優(yōu)惠；
（3）若一次購物超過500元，其中500元以下部分（包括500元）給予九折優(yōu)惠，超過500元部分給予八折優(yōu)惠．
小李兩次去該超市購物，分別付款198元和554元，現(xiàn)在小張決定一次性地購買和小李分兩次購買同樣多的物品，他需付多少元？
8．春秋旅行社為吸引市民組團去天水灣風景區(qū)旅游，推出了如圖1對話中收費標準．某單位組織員工去天水灣風景區(qū)旅游，共支付給春秋旅行社旅游費用27000元.請問該單位這次共有多少員工去天水灣風景區(qū)旅游？
9．為了支援四川人民抗震救災，某休閑用品有限公司主動承擔了為災區(qū)生產(chǎn)2萬頂帳篷的任務，計劃10天完成．（1）按此計劃，該公司平均每天應生產(chǎn)帳篷 頂；
（2）生產(chǎn)2天后，公司又從其它部門抽調了50名工人參加帳篷生產(chǎn)，同時，通過技術革新等手段使每位工人的工作效率比原計劃提高了 ，結果提前2天完成了生產(chǎn)任務．求該公司原計劃安排多少名工人生產(chǎn)帳篷？　
同步練習
1、若n（ ）是關于x的方程 的根，則m+n的值為__________．
2、已知關于 的方程 的解是正數(shù)，則m的取值范圍為____________.
3、已知 是方程組 的解，則a+b的值等于 ．
4、若 與 互為相反數(shù)，且 ，則 _________．
5、一家商店將某種服裝按成本價提高40%后標價,又以8折優(yōu)惠賣出,結果每件仍獲利15元,這種服裝每件的成本為 元.
6、已知方程組 的解x，y，其和x+y=1，則k＝_____
7、籃球巨星姚明在一場比賽中24投14中，拿下28分，其中三分球三投全中，那么姚明兩分球投中 球，罰球投中 球.
8、 用換元法解分式方程 時，如果設 ，將原方程化為關于 的整式方程，那么這個整式方程是（ ）
A． B． C． D．
9、一條船順流航行是逆流航行的速度的3倍，則船在靜水中航速與水的流速之比為（　 ）
A、3:1 B、2:1 C、1:1 D、5:2
11.方程 的解是（ ）
A． B． C． 或 D． 或
12．方程4x+y=20的正整數(shù)解有（ ）組.
A．2 B.3 C.4 D.5
13．若 ，則x－y的值為（ ）
A．－1 B．1 C．2 D．3
14．兩位數(shù)的大小恰好等于其個位與十位數(shù)字之和的4倍，這樣的兩位數(shù)共有（ ）個
A.3 B.4 C.5 D.6
15.方程 + +…+ =1995的解是( )
A.1995 B.1996 C.1997 D.1998
【能力拓展】
16．已知關于x，y的方程組 與 的解相同，求a，b的值．
17. 已知等腰三角形兩邊長分別是方程 的兩根，求此等腰三角形的周長．
18.通惠新城開發(fā)某工程準備招標，指揮部現(xiàn)接到甲、乙兩個工程隊的投標書，從投標書中得知：乙隊單獨完成這項工程所需天數(shù)是甲隊單獨完成這項工程所需天數(shù)的2倍；該工程若由甲隊先做6天，剩下的工程再由甲、乙兩隊合作16天可以完成．
（1）求甲、乙兩隊單獨完成這項工程各需要多少天？
（2）已知甲隊每天的施工費用為0.67萬元，乙隊每天的施工費用為0.33萬元，該工程預算的施工費用為19萬元．為縮短工期，擬安排甲、乙兩隊同時開工合作完成這項工程，問：該工程預算的施工費用是否夠用？若不夠用，需要追加預算多少萬元？請說明理由．
19．已知a,b是方程x2－x－1=0的兩個根,求代數(shù)式3a2+2b2－3a－2b的值．
20．如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6cm，BC=8cm．點P、Q同時由A、B兩點出發(fā)，分別沿AC、BC方向都以1cm/s的速度勻速移動，幾秒后△PCQ的面積是△ABC面積的一半？
三、不等式與不等式組
同步練習
1、下列四個命題①若a＞b，則a＋1＞b+1；②若a＞b，則a－l＞b －1；③若a＞b，則－2a＜－2b； ④若a＞b，則2a＜2b．其中正確的有 （ ）
A．l個 B．2個 C．3個 D．4個
2、如果2 、 、1－ 這三個實數(shù)在數(shù)軸上所對應的點從左到右依次排列，那么 的取值范圍是（ ）
A． ＞0B． ＞0.5C． ＜0D．0＜ ＜0.5
3、若不等式組 有解，則a的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
4、如圖，直線 經(jīng)過點 和點 ，直線 過點A，則不等式 的解集為 ( )
A． B． C． D．
5、不等式組 的解集是 ．
6、如果不等式組 的解集是 ，那么 的值為 ．
7、已知 ．（1）若 ≤ ≤ ，則 的取值范圍是 ．（2）若 ，且 ，則 ．
8、已知關于 的不等式組 只有四個整數(shù)解，則實數(shù) 的取值范圍是 ．
9、已知關于x、y的方程組 的解滿足x10、小剛想給小東打電話，但忘了電話號碼中的一位數(shù)字，只記得號碼是 （ 表示忘記的數(shù)字）．若 位置的數(shù)字是不等式組 的整數(shù)解，求 可能表示的數(shù)字．
11、已知不等式組 的整數(shù)解a滿足 ，求(x+y)(x2-xy+y2)的值.
12、我縣農業(yè)結構調整取得了巨大成功，今年水果又喜獲豐收，某鄉(xiāng)組織30輛汽車裝運A、B、C三種水果共64噸到外地銷售，規(guī)定每輛汽車只裝運一種水果，且必須裝滿；又裝運每種水果的汽車不少于4輛；同時，裝運的B種水果的重量不超過裝運的A、C兩種水果重量之和．
（1）設用x輛汽車裝運A種水果，用y輛汽車裝運B種水果，根據(jù)下表提供的信息，求y與x之間的函數(shù)關系式并寫出自變量的取值范圍．?
水果品種 A B C
每輛汽車運裝量（噸） 2.2 2.1 2
每噸水果獲利（百元） 6 8 5
（2）設此次外銷活動的利潤為Q（萬元），求Q與x之間的函數(shù)關系式，請你提出一個獲得最大利潤時的車輛分配方案．
四、一次函數(shù)與不等式
一、與選擇
1．已知一次函數(shù) ,函數(shù) 隨著 的增大而減小，且其圖象不經(jīng)過第一象限，則 的取值范圍是 （ ）
A. B. C. D.
2．小高從家門口騎車去單位上班，先走平路到達點A，再走上坡路到達點B，最后走下坡路到達工作單位，所用的時間與路程的關系如圖所示．下班后，如果他沿原路返回，且走平路、上坡路、下坡路的速度分別保持和去上班時一致，那么他從單位到家門口需要的時間是 ( ) A．12分鐘 B．15分鐘C．25分鐘 D．27分鐘
3．如圖，點A、B、C、D在一次函數(shù) 的圖象上，它們的橫坐標依次為-1、1、2，分別過這些點作x軸與y軸的垂線，則圖中陰影部分的面積這和是 （ ） A． B． C． D．
4．函數(shù)y1=x+1與y2=ax+b的圖象如圖所示，這兩個函數(shù)圖象如圖所示，那么使y1,y2的值都大于零的x的取值范圍是
5．若直線y=mx+4，x=l，x=4和x軸圍成的直角梯形的面積是7，則m的值是（ ）
A．－12 B．－ 23 C．－32 D．－2
6．如圖，在直角坐標系中，已知點 ， ，對△ 連續(xù)作旋轉變換，依次得到三角形①、②、③、④…，則三角形⑩的直角頂點的坐標為　　 ．
7．如圖，將邊長為1的正方形OAPB沿x軸正方向連續(xù)翻轉2 007次，點P依次落在點P1, P2, P3, P4, …，P2 007的位置，則P2 007 的橫坐標x2 007＝_ ．
8．已知直線y1=ax+b和y2=mx+n的圖象如圖所示，
根據(jù)圖象填空．
⑴ 當x_ _時，y1＞y2；當x___ _時，y1=y2；
當x___ ___時，y1＜y2.
⑵ 方程組 是 .
9．如圖，直線 經(jīng)過 ， 兩點，
則不等式 的解集為 .
二、解答題
10.如圖，直線y=- x+1分別與X軸，Y軸交于B，A.
（1）求B，A的坐標；
（2）把△AOB以直線AB為軸翻折，點O落在點C，
以BC為一邊做等邊三角形△BCD,求D點的坐標.
11.如圖直線y= x+8與x軸、y軸分別交于點A和點B，M是OB上的一點，若將△ABM沿AM折疊，點B恰好落在x軸上的點P處，求直線AM的解析式.
五．直線型幾何綜合題
典型題目
1．如圖，在矩形ABCD中，AB=2，BC=1，動點P從點B出發(fā)，沿路線B→C→D作勻速運動，那么△ABP的面積S與點P運動的路程 之間的函數(shù)圖象大致是（ ）
2．如圖，在矩形ABCD中，BC=20cm，P，Q，M，N分別從A，B，C，D出發(fā)沿AD，BC，CB，DA方向在矩形的邊上同時運動，當有一個點先到達所在運動邊的另一個端點時，運動即停止．已知在相同時間內，若BQ=xcm( )，則AP=2xcm，CM=3xcm，DN=x2cm．
（1）當x為何值時，以PQ，MN為兩邊,以矩形的邊（AD或BC）的一部分為第三邊構成一個三角形；
（2）當x 為何值時，以P，Q，M，N為頂點的四邊形是平行四邊形；
（3）以P，Q，M，N為頂點的四邊形能否為等腰梯形?如果能，求x的值；如果不能，請說明理由．
4．如圖，在等腰梯形ABCD中，AB∥DC，∠A=45°，AB=10cm，CD=4cm，等腰直角三角形PMN的斜邊MN=10cm，A點與N點重合，MN和AB在一條直線上，設等腰梯形ABCD不動，等腰直角三角形PMN沿AB所在直線以1cm/s的速度向右移動，直到點N與點B重合為止。
（1）等腰直角三角形PMN在整個移動過程中與等腰梯形ABCD重疊部分的形狀由________形變化為___________形；
（2）設當?shù)妊�直角△PMN移動x（s）時，等腰直角△PMN與等腰梯形ABCD重疊部分的面積為y（cm2）。
① 當x=6時，求y的值；
② 當6＜x≤10時，求y與x的函數(shù)關系。
同步練習
1．如圖,一艘旅游船從A點駛向C點. 旅游船先從A點沿以D為圓心的弧AB行駛到B點,然后從B點沿直徑行駛到圓D上的C點.假如旅游船在整個行駛過程中保持勻速,則下面各圖中,能反映旅游船與D點的距離隨時間變化的圖象大致是（ ）
2．如圖，A，B的坐標為（2，0），（0，1）若將
線段 平移至 ，則—2（ ）的值為（　�。�
A．2 B．3 C．4 D．5
3．如圖，點A的坐標為(－1，0)，點B在直線y=x上運動，當線段AB最短時，點B的坐標為 （ ）
（A）（0，0） （B）（ ， ）
（C）（－ ，－ ） （D）（－ ，－ ）
8．如圖，四邊形ABCD中，AB=AD，CB=CD，但AD CD，我們稱這樣的四邊形為“半菱形”。小明說“‘半菱形’的面積等于兩條對角線乘積的一半”。他的說法正確嗎？請你判斷并證明你的結論。
9．如圖，直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠BCD=Rt∠，AB=AD=10?，BC=8?。點P從點A出發(fā)，以每秒2?的速度沿線段AB方向向點B運動，點Q從點D出發(fā)，以每秒3?的速度沿線段DC方向向點C運動。已知動點P、Q同時發(fā)，當點P運動到點B時，P、Q運動停止，設運動時間為t。
（1）求CD的長；（2）當四邊形PBQD為平行四邊形時，求四邊形PBQD的周長；
（3）在點P、點Q的運動過程中，是否存在某一時刻，使得△BPQ的面積為20?2，若存在，請求出所有滿足條件的t的值；若不存在，請說明理由。
六、函數(shù)及一次函數(shù)
同步練習
1、一次函數(shù)y=2x－2的圖象不經(jīng)過的象限是（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2、P1(x1，y1)，P2(x2，y2)是正比例函數(shù)y= -x圖象上的兩點，則下列判斷正確的是（ ）
A．y1>y2 B．y1y2 D．當x1A．乙>甲B．丙>甲 C．甲>乙 D．丙>乙
第4題圖 第5題圖
4、如圖1，在直角梯形ABCD中，動點P從點B出發(fā)，沿BC，CD運動至點D停止．設點P運動的路程為 ，△ABP的面積為y，如果y關于x的函數(shù)圖象如圖2所示，則△BCD的面積是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
5、如圖，點G、D、C在直線a上，點E、F、A、B在直線b上，若 從如圖所示的位置出發(fā)，沿直線b向右勻速運動，直到EG與BC重合．運動過程中 與矩形 重合部分的面積（S）隨時間（t）變化的圖象大致是（ ）
6、已知關于 、 的一次函數(shù) 的圖象經(jīng)過平面直角坐標系中的第一、三、四象限，那么 的取值范圍是 ．
7、如圖，正方形 的邊長為10，點E在CB的延長線上， ，點P在邊CD上運動（C、D兩點除外），EP與AB相交于點F，若 ，四邊形 的面積為 ，則 關于 的函數(shù)關系式是 ．
第8題圖 第9題圖
8、如圖，已知一次函數(shù) 的圖象與反比例函數(shù) 的圖象在第一象限相交于點 ，與 軸相交于點 軸于點 ， 的面積為1，則 的長為 （保留根號）．
9、如圖，已知直線 的解析式為 ，直線 與x軸、y軸分別相交于A、B兩點，直線 經(jīng)過B、C兩點，點C的坐標為（8，0），又已知點P在x軸上從點A向點C移動，點Q在直線 從點C向點B移動．點P、Q同時出發(fā)，且移動的速度都為每秒1個單位長度，設移動時間為t秒 （ ）．
（1）求直線 的解析式．
（2）設△PCQ的面積為S，請求出S關于t的函數(shù)關系式．
（3）試探究：當t為何值時，△PCQ為等腰三角形？
七、多邊形和平行四邊形
同步練習
1、在□ABCD中，∠B＝50°，AB＝5cm，BC＝7cm，則∠D＝ ，□ABCD的周長為 .
2、如圖1，□ABCD的周長是28?，△ABC的周長是22?，對角線交于點O，則 OC的長為 cm.
3、如圖2，在□ABCD中，AD＝5，AB＝3，AE平分∠BAD交BC邊于點E，則線段BE，EC的長度分別為 .
4、如圖3，已知□ABCD的兩條對角線AC與BD交于平面直角坐標系的原點，點A的坐標為(－2，3)，則點C的坐標為 ( )
A．(－3，2) B．(－2，－3) C．(3，－2) D．(2，－3)
5、在四邊形ABCD中，O是對角線交點，下列條件中，不能判定四邊形ABCD是平行四邊形的是( )
A．AD∥BC，AD＝BC B．AB＝DC，AD＝BC
C．AB∥DC，AD＝BC D．OA＝OC，OD＝OB
6、如圖4，一個四邊形花壇ABCD，被兩條線段MN,EF分成四個部分，分別種上紅、黃、紫、白四種花卉，種植面積依次是S1, S2, S3, S4,，若MN∥AB∥DC，EF∥DA∥CB，則有（ ）
A．S1= S4 B．S1+ S4= S2+ S3 C．S1S4= S2S3 D．都不對
7、如圖5，在□ABCD中，E是BC的中點，且∠AEC=∠DCE，則下列結論不正確的是
A． B．
C．四邊形AECD是等腰梯 D．
8、如圖，平行四邊形ABCD中，∠DAB＝60°，點E、F分別在CD、AB的延長線上，且AE＝AD，CF＝CB。
(1)試說明：四邊形AFCE是平行四邊形.
(2)若去掉已知條件的“∠DAB＝60°，上述的結論還成立嗎?若成立，請寫出證明過程；若不成立，請說明理由.
9、已知：□ABCD的對角線交于點O，點P是直線BD上任意一點(異于B、O、D三點)，過P點作平行于AC的直線，交直線AD于E，交直線AB于F.
(1)若點P在線段BD上(如圖所示).試說明：AC＝PE＋PF.
(2)若點P在BD或DB的延長線上，試探究AC、PE、PF滿足的等量關系式.(只寫出結論，不作證明)
10、如圖，ABCD是矩形紙片，翻折∠B、∠D，使BC、AD恰好落在AC上、設F、H分別是B、D落在AC上的兩點，E、G分別是折痕CE、AG與AB、CD的交點、
(1)試說明：四邊形AECG是平行四邊形；
(2)若AB＝4cm，BC＝3cm，求線段EF的長、
11、如圖，在平行四邊形ABCD中，AD＝4 cm，∠A＝60°，BD⊥AD. 一動點P從A出發(fā)，以每秒1 cm的速度沿A→B→C的路線勻速運動，過點P作直線PM，使PM⊥AD .
(1) 當點P運動2秒時，設直線PM與AD相交于點E，求△APE的面積；
(2) 當點P運動2秒時，另一動點Q也從A出發(fā)沿A→B→C的路線運動，且在AB上以每秒1 cm的速度勻速運動，在BC上以每秒2 cm的速度勻速運動. 過Q作直線QN，使QN∥PM. 設點Q運動的時間為t秒(0≤t≤10)，直線PM與QN截平行四邊形ABCD所得圖形的面積為S cm2 .
① 求S關于t的函數(shù)關系式；
② 求S的最大值.


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