§15．2 完全平方公式（一）
目標
（一）知識點
1．完全平方公式的推導及其應用．
2．完全平方公式的幾何解釋．
（二）能力訓練要求
1．經(jīng)歷探索完全平方公式的過程，進一步發(fā)展符號感和推理能力．
2．重視學生對算理的理解，有意識地培養(yǎng)學生的思維條理性和表達能力．
（三）情感與價值觀要求
在靈活應用公式的過程中激發(fā)學生學習數(shù)學的興趣，培養(yǎng)創(chuàng)新能力和探索精神．
教學重點 完全平方公式的推導過程、結構特點、幾何解釋，靈活應用．
教學難點 理解完全平方公式的結構特征并能靈活應用公式進行計算．
教學方法
自主探索法
有了平方差公式的學習基礎，學生可以在教師引導下自主探索完全平方公式，最后達到靈活、準確應用公式的目的．
教具準備 投影片．
教學過程
Ⅰ．提出問題，創(chuàng)設情境
[師]請同學們探究下列問題：
（出示投影片）
一位老人非常喜歡孩子．每當有孩子到他家做客時，老人都要拿出糖果招待他們．來一個孩子，老人就給這個孩子一塊糖，來兩個孩子，老人就給每個孩子兩塊塘，…
（1）第一天有a個男孩去了老人家，老人一共給了這些孩子多少塊糖？
（2）第二天有b個女孩去了老人家，老人一共給了這些孩子多少塊糖？
（3）第三天這（a+b）個孩子一起去看老人，老人一共給了這些孩子多少塊糖？
（4）這些孩子第三天得到的糖果數(shù)與前兩天他們得到的糖果總數(shù)哪個多？多多少？為什么？
[生]（1）第一天老人一共給了這些孩子a2糖．
（2）第二天老人一共給了這些孩子b2糖．
（3）第三天老人一共給了這些孩子（a+b）2糖．
（4）孩子們第三天得到的糖塊總數(shù)與前兩天他們得到的糖塊總數(shù)比較，應用減法．即：
（a+b）2（a2+b2）
我們上一節(jié)學了平方差公式即（a+b）（a-b）=a2-b2，現(xiàn)在遇到了兩個數(shù)的和的平方，這倒是個新問題．
[師]老師很欣賞你的觀察力，這正是我們這節(jié)課要研究的問題．
Ⅱ．導入新課
[師]能不能將（a+b）2轉化為我們學過的知識去解決呢？
[生]可以．我們知道a2=a?a，所以（a+b）2=（a+b）（a+b），這樣就轉化成多項式與多項式的乘積了．
[師]像研究平方差公式一樣，我們探究一下（a+b）2的運算結果有什么規(guī)律．
（出示投影片）
計算下列各式，你能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律？
（1）（p+1）2=（p+1）（p+1）=_______；
（2）（m+2）2=_______；
（3）（p-1）2=（p-1）（p-1）=________；
（4）（m-2）2=________；
（5）（a+b）2=________；
（6）（a-b）2=________．
[生甲]（1）（p+1）2=（p+1）（p+1）=p2+p+p+1=p2+2p+1
（2）（m+2）2=（m+2）（m+2）=m2+2m+m?2+2×2=m2+4m+4
（3）（p-1）2=（p-1）（p-1）=p2+p?（-1）+（-1）?p+（-1）×（-1）=p2-2p+1
（4）（m-2）2=（m-2）（m-2）=m2+m?（-2）+（-2）?m+（-2）×（-2）=m2-4m+4
（5）（a+b）2=（a+b）（a+b）=a2+ab+ba+b2=a2+2ab+b2
（6）（a-b）2=（a-b）（a-b）=a2-ab-ab+b2=a2-2ab+b2
[生乙]我還發(fā)現(xiàn)（1）結果中的2p=2?p?1，（2）結果中4m=2?m?2，（3）、（4）與（1）、（2）比較只有一次項有符號之差，（5）、（6）更具有一般性，我認為它可以做公式用．
[師]大家分析得很好．可以用語言敘述嗎？
[生]兩數(shù)和（或差）的平方等于這兩數(shù)的平方和再加（或減）它們的積的2倍．
[生]它是一個完全平方的形式，能不能叫完全平方公式呢？
[師]很有道理．它和平方差公式一樣，使整式運算簡便易行．于是我們得到完全平方公式：
文字敘述：兩數(shù)和（或差）的平方，等于它們的平方和，加（或減）它們的積的2倍．
符號敘述：（a+b）2=a2+2ab+b2 （a-b）2=a2-2ab+b2
其實我們還可以從幾何角度去解釋完全平方差公式．
（出示投影片）
你能根據(jù)圖（1）和圖（2）中的面積說明完全平方公式嗎？

[生甲]先看圖（1），可以看出大正方形的邊長是a+b．
[生乙]還可以看出大正方形是由兩個小正方形和兩個矩形組成，所以大正方形的面積等于這四個圖形的面積之和．
[生丙]陰影部分的正方形邊長是a，所以它的面積是a2；另一個小正方形的邊長是b，所以它的面積是b2；另外兩個矩形的長都是a，寬都是b，所以每個矩形的面積都是ab；大正方形的邊長是a+b，其面積是（a+b）2．于是就可以得出：（a+b）2=a2+ab+b2．這正好符合完全平方公式．
[生丁]那么，我們可以用完全相同的方法來研究圖（2）的幾何意義了．
如圖（2）中，大正方形的邊長是a，它的面積是a2；矩形DCGE與矩形BCHF是全等圖形，長都是a，寬都是b，所以它們的面積都是a?b；正方形HCGM的邊長是b，其面積就是b2；正方形AFME的邊長是（a-b），所以它的面積是（a-b）2．從圖中可以看出正方形AEMF的面積等于正方形ABCD的面積減去兩個矩形DCGE和BCHF的面積再加上正方形HCGM的面積．也就是：（a-b）2=a2-2ab+b2．這也正好符合完全平方公式．
[師]數(shù)學源于生活，又服務于生活，于是我們可以進一步理解完全平方公式的結構特征．現(xiàn)在，大家可以輕松解開課時提出的老人用糖招待孩子的問題了．
（a+b）2-（a2+b2）
=a2+2ab+b2-a2-b2=2ab．于是得孩子們第三天得到的糖果總數(shù)比前兩天他們得到的糖果總數(shù)多2ab塊．
應用舉例：
出示投影片：
[例1]應用完全平方公式計算：
（1）（4m+n）2 （2）（y- ）2
（3）（-a-b）2 （4）（b-a）2
[例2]運用完全平方公式計算：
（1）1022 （2）992
分析：利用完全平方公式計算，第一步先選擇公式；第二步準確代入公式；第三步化簡．
[例1]解：
（1）（4m+n）2=（4m）2+2?4m?n+n2
（a+b）2=a2+2?a?b+b2
=16m2+8mn+n2
（2）方法一：
（y- ）2=y2-2?y? +（ ）2
（a-b）2=a2-2?a?b+b2
=y2-y+
方法二：（y- ）2
=[y+（- ）]2=y2+2?y?（- ）+（- ）2
（a+b）2=a2+2?a?b+b2
=y2-y+
（3）（-a-b）2=（-a）2-2?（-a）?b+b2=a2+2ab+b2
（4）（b-a）2=b2-2ba+a2=a2-2ab+b2
從（3）、（4）的計算可以發(fā)現(xiàn)：
（a+b）2=（-a-b）2，（a-b）2=（b-a）2
[例2]解：（1）1022=（100+2）2
=1002+2×100×2+22
=10000+400+4
=10404．
（2）992=（100-1）2
=1002-2×100×1+12
=10000-200+1
=9801．
[師]請同學們總結完全平方公式的結構特征．
[生]公式的左邊是一個二項式的完全平方；右邊是三項，其中有兩項是左邊二項式中每一項的平方．而另一項是左邊二項式中兩項乘積的2倍．
[師]說得很好，我們還要正確理解公式中字母的廣泛含義：它可以是數(shù)字、字母或其他代數(shù)式，只要符合公式的結構特征，就可以運用這一公式．
Ⅲ．隨堂練習
課本練習1、2．
Ⅳ．課堂小結（略）
Ⅴ．課后作業(yè)
課本習題2、4、7題．

本文來自：逍遙右腦記憶 http://www.portlandfoamroofing.com/chuer/76061.html

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