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兩個相似三角形的對應角相等，對應邊成比例，對應邊之比稱為它們的相似比，可以想到這兩個相似三角形中其他一些對應元素也與相似比有一定的關系．
1．相似三角形對應高的比、對應中線的比，對應角平分線的比都等于相似比；
2．相似三角形周長之比等于相似比；
3．相似三角形面積之比等于相似比的平方．
以上諸多相似三角形的性質，豐富了與角、面積等相關的知識方法，開闊了研究角、面積等問題的視野．

例題求解
【例1】如圖，梯形ABCD中，AD∥BC(AD(浙江省紹興市中考題)

思路點撥只需求的值，而題設條件與面積相關，應求出的值，注意圖形中隱含的豐富的面積關系．
注相似三角形的性質及比例線段的性質，在生產、生活中有廣泛的應用．
人類第一次運用相似原理進行測量，是2000多年前泰勒斯測金字塔的高度，泰勒斯是古希臘著名學者，有“科學之父”的美稱．他把邏輯論證引進了數學，確保了數學命題的正確
性．使具有不可動搖的說明力．
【例2】如圖，在平行四邊形ABCD中．E為CD上一點，DE：CE=2：3，連結AE、BE、BD，且AE、BD交于點 F，則S△DEF：S△EBF ：S△ABF=( )
A．4：10：25 B．4：9：25 C．2：3：5 D．2：5：25
(黑龍江省中考題)

思路點撥運用與面積相關知識，把面積比轉化為線段比．
【例3】如圖，有一批形狀大小相同的不銹鋼片，呈直角三角形，已知∠C=90°，AB=5cm，BC=3?，試設計一種方案，用這批不銹鋼片裁出面積達最大的正方形不銹鋼片，并求出這種正方形不銹鋼片的邊長．

思路點撥要在三角形內裁出面積最大的正方形，那么這正方形所有頂點應落在△ABC的邊上，先畫出不同方案，把每種方案中的正方形邊長求出．
注本例是一道有實際應用背景的開放性題型，通過分析、推理、構思可能的方案，再通過比較、鑒別、篩選出最佳的設計方案，問題雖簡單，但基本呈現(xiàn)了現(xiàn)實的生產中產生最佳設計方案的基本思路．
【例4】如圖．在△ABC的內部選取一點P，過P點作3條分別與△ABC的三邊平行的直線，這樣所得的3個三角形、、的面積分別為4、9和49，求△ABC的面積．
(美國數學邀請賽試題)

思路點拔圖中有相似三角形、平行四邊形，通過相似三角形性質建立面積關系式，關鍵是恰當選擇相似比，注意等線段的代換．追求形式上的統(tǒng)一．
【例5】如圖，△ABC中．D、E分別是邊 BC、AB上的點，且∠l＝∠2=∠3，如果△ABC、△EBD、△ADC的周長依次是、m1、m2，證明：．
(全國初中數學聯(lián)賽試題)

思路點撥把周長的比用相應線段比表示，力求統(tǒng)一，得到同?線段比的代數式，通過代數變形證明．
注例4還隱舍著下列重要結論：
(1)△FDP∽△IPE∽△PHG∽△ABC；
(2) ；
(3) ．
學力訓練
1．如圖，已知DE∥BC，CD和BE相交于O，若S△DOE：S△COB=9：16，則AD：DB= ．
2．如圖，把正方形ABCD沿著對角線AC的方向移動到正方形A'B'C'D'的位置，它們的重疊部分(圖中的陰影部分)的面積是正方形ABCD面積的一半，若AC= ，則正方形移動的距離AA'是． (江西省中考題)

3．若正方形的4個頂點分別在直角三角形的3條邊上，直角三角形的兩直角邊的長分別為3cm和4cm，則此正方形的邊長為． (武漢市中考題)
4．閱讀下面的短文，并解答下列問題：
我們把相似形的概念推廣到空間：如果兩個幾何體大小不一定相等，但形狀完全相同．就把它們叫做相似體．
如圖，甲、乙是兩個不同的正方體，正方體都是相似體，它們的一切對應線段之比都等于相似比：a：b，設S甲：S乙分別表示這兩個正方體的表面積，則，又設V甲、V乙分別表示這兩個正方體的體積，則．
(1)下列幾何體中，一定屬于相似體的是( )
A．兩個球體 B．兩個圓錐體 C．兩個圓柱體 D．兩個長方體
(2)請歸納出相似體的3條主要性質：
①相似體的一切對應線段(或弧)長的比等于；
②相似體表面積的比等于；
③相似體體積的比等于． (江蘇省泰州市中考題)
5．如圖，一張矩形報紙ABCD的長AB=acm，寬BC=b?，E、F分別是AB、CD的中點，將這張報紙沿著直線EF對折后，矩形AEFD的長與寬之比等于矩形ABCD的長與寬之比，則a：b于( )
A．：1 B．1： C．：1 D．1： (2004年南京市中考題)

6．如圖，D為△ABC的邊AC上的一點，∠DBC=∠A，已知BC= ，△BCD與△ABC的面積的比是2：3，則CD的長是( )
A． B． C． D．
7．如圖，在正三角形ABC中，D、E分別在AC、AB上，且，AE=BE，則有( )
A．△AED∽△BED B．△AED∽△CBD
C．△AED∽△ABD D．△BAD∽△BCD
(2001年杭州市中考題)
8．如圖，已知△ABC中，DE∥FG∥BC，且AD：FD：FB=1：2：3，則S△ADE：S四邊形DFGE：S四邊形FBCG等于( )
A．1：9：36 B．l：4：9 C．1：8：27 D．1：8：36
9．如圖，已知梯形ABCD中，AD∥BC，∠ACD=∠B，求證：．

10．如圖，在平行四邊形ABCD中，過點B作BE⊥CD于E，連結AE，F(xiàn)為AE上一點，且∠BFE=∠C．
(1)求證：△ABF∽△EAD；
(2)若AB=4，∠BAE=30°，求AE的長；
(3)在(1)、(2)的條件下，若AD=3，求BF的長． (2003年長沙市中考題)
11．如圖，在△ABC中，AB＝5，BC=3，AC=4，PQ∥AB，P點在AC上(與點A、C不重合)，Q點在BC上．
(1)當△PQC的面積與四邊形PABQ的面積相等時，求CP的長；
(2)當△PQC的周長與四邊形PABQ的周長相等時，求CP的長；
(3)試問：在AB上是否存在點M，使得△PQM為等腰直角三角形?若不存在，請簡要說明理由，若存在，請求出PQ的長． (廈門市中考題)

12．如圖，在△ABC中，AB＝AC＝，BC=2，在BC上有100個不同的點Pl、P2、…P100，過這100個點分別作△ABC的內接矩形P1E1F1G1，P2E2F2G2…P100E100F100G100，設每個內接矩形的周長分別為L1、L2，…L100，則L1+L2+…+L100= ． (安徽省競賽題)
13．如圖，在△ABC中，DE∥FG∥BC，GI∥EF∥AB，若△ADE、△EFG、△GIC的面積分別為20cm2、45cm2、80cm2，則△ABC的面積為．

14．如圖，一個邊長為3、4、5厘米的直角三角形的一個頂點與正方形的頂點B重合，另兩個頂點分別在正方形的兩條邊AD、DC上，那么這個正方形的面積是厘米2．
( “希望杯”邀請賽試題)
15．如圖，正方形ABCD中，AE＝EF=FB，BG= 2CG，DE，DF分別交AG于P、Q，以下說法中，不正確的是( )
A．AG⊥FD B．AQ：QG＝6，7
C．EP ：PD=2 ： 11 D．S四邊形GCDQ：S四邊形BGQF=17：9 (2002年重慶市競賽題)
16．如圖，梯形ABCD中，AB∥CD，且CD=3AB，EF∥CD，EF將梯形ABCD分成面積相等的兩部分，則AE：ED等于( )
A．2 B． C． D．

17．如圖，正方形OPQR內接于△ABC，已知△AOR、△BOP和△CRQ的面積分別是S1=1，S2=3和S3=1，那么正方形OPQR的邊長是( )
A． B． C．2 D．3
18．在一塊銳角三角形的余料上，加工成正方形零件，使正方形的4個頂點都在三角形邊上，若三角形的三邊長分別為 a、b、c，且a＞b＞c d，問正方形的2個頂點放在哪條邊上可使加工出來的正方形零件面積最大?

19．如圖，△PQR和△P′Q′R′，是兩個全等的等邊三角形，它們的重疊部分是一個六邊形ABCDEF，設這個六邊形的邊長為AB= a1，BC =b1，CD= a2，DE= b2，EF= a3，F(xiàn)A =b3 ．求證：a1 +a2 +a3= b1+ b2 +b3．
20．如圖，在△ABC中，AB=4，D在AB邊上移動(不與A、B重合)，DE∥BC交AC于E，連結CD，設S△ABC= S，S△DEC=S1．
(1)當D為AB中點時，求的值；
(2)若AD= x，，求與x之間的關系式，并指出x的取值范圍；
(3)是否存在點D，使得成立?若存在，求出D點位置；若不存在，請說明理由．
(福州市中考題)
21．已知∠AOB=90°，OM是∠AOB的平分線，按以下要求解答問題：
(1)將三角板的直角頂點P在射線OM上移動，兩直角邊分別與邊OA，OB交于點C，D．
①在圖甲中，證明：PC=PD；
②在圖乙中，點G是CD與OP的交點，且PG= PD，求△POD與△PDG的面積之比．

本文來自：逍遙右腦記憶 http://www.portlandfoamroofing.com/chuer/76183.html

相關閱讀：相似三角形的性質(2)教學案(河網中學八年級下)

相似三角形的性質

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