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第二章 實數(shù)
2.1認識無理數(shù)
專題 無理數(shù)近似值的確定
1. 設面積為3的正方形的邊長為x，那么關于x的說法正確的是（　　）
A．x是有理數(shù) B．x取0和1之間的實數(shù)
C．x不存在 D．x取1和2之間的實數(shù)
2．（1）如圖1，小明想剪一塊面積為25cm2的正方形紙板，你能幫他求出正方形紙板的邊長嗎？

（2）若小明想將兩塊邊長都為3cm的正方形紙板沿對角線剪開，拼成如圖2所示的一個大正方形，你能幫他求出這個大正方形的面積嗎？它的邊長是整數(shù)嗎？若不是整數(shù)，那么請你估計這個邊長的值在哪兩個整數(shù)之間．

3. 你能估測一下我們教室的長、寬、高各是多少米嗎？你能估測或實際測量一下數(shù)學課本的長、寬和厚度嗎？請你再估算一下我們的教室能放下多少本數(shù)學書？這些數(shù)學書可供多少所像我們這樣的學校的初一年級學生使用呢？請你對每一個問題給出估測的數(shù)據(jù)，再把估算的過程結果一一寫出來．

答案：
1．D 【解析】 ∵面積為3的正方形的邊長為x，∴x2=3，而12=1，22=4，∴1＜x2＜4，∴1＜x＜2，故選D.
2．解：（1）邊長為5cm.
（2）設大正方形的邊長為x，∵大正方形的面積=32+32=18，而42=16，52=25，
∴16＜x2＜25，∴4＜x＜5,故正方形的邊長不是整數(shù),它的值在4和5之間.
3．解：估算的過程：教室的長、寬、高可以用我們的身高估計出來；數(shù)學課本的長、寬和厚度可以用我們的手指估計出來，也可以用直尺測量出來；我們用長寬高相乘估計出教室的容積與課本的體積相除算出能放下多少本數(shù)學書，就是能供多少名學生使用，再用本班人數(shù)乘一年級班數(shù)估計本校一年級人數(shù)，然后相處就可以估計出這些數(shù)學書可供多少所像我們這樣的學校的初一年級學生使用了．估測的數(shù)據(jù)、估算的結果略.

2.2平方根
專題一 非負數(shù)問題
1. 若 與 互為相反數(shù)，則 的值為（ ）
A． B． C． D．
2． 設a，b，c都是實數(shù)，且滿足（2-a）2+ +c+8=0，ax2+bx+c=0，求式子x2+2x的算術平方根．

3. 若實數(shù)x，y，z滿足條件 + + = (x+y+z+9)，求xyz的值．

專題二 探究題
4. 研究下列算式，你會發(fā)現(xiàn)有什么規(guī)律？
= =2； = =3； = =4； = =5；…
請你找出規(guī)律，并用公式表示出來．

5.先觀察下列等式，再回答下列問題：
① =1+ - = ；
② =1+ = ；
③ =1+ = ．
（1）請你根據(jù)上面三個等式提供的信息，猜想 的結果，并驗證；
（2）請你按照上面各等式反映的規(guī)律，試寫出用含n的式子表示的等式（n為正整數(shù)）．

答案：
1．D 【解析】 ∵ 與b+1互為相反數(shù)，
∴ +b+1=0，
∴ =0且b+1=0，
∴a= ，b=?1， = ，故選D.
2．解：由題意，得2-a=0，a2+b+c=0，c+8=0．
∴a=2，c=-8，b=4．
∴2x2+4x-8=0．
∴x2+2x=4． wxkb1.com
∴式子x2+2x的算術平方根為2．
3．解：將題中等式移項并將等號兩邊同乘以4得x-4 +y-4 +z-4 +9=0，
∴(x-4 +4)+(y-1-4 +4)+(z-2-4 +4)=0,
∴( -2)2+( -2)2+( -2)2=0,
∴ -2=0且 -2=0且 -2=0,
∴ =2 =2 =2,
∴x=4,y-1=4 ,z-2=4,∴x=4,y=5,z=6.
∴xyz=120．
4.解：第n項an= = =n+1，即an=n+1．
5.解：（1） =1+ = ．
驗證： = = = = ．
（2） =1+ =1+ （n為正整數(shù)）．

2.3立方根
專題 立方根探究性問題
1. （1）填表：
a0.000001 0.001 11000 1000000


（2）由上表你發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律（請你用語言敘述出來）；
（3）根據(jù)發(fā)現(xiàn)的規(guī)律：
①已知 =1.442，則 =_____________；
②已知 =0.07696，則 =_____________．

2． 觀察下列各式：
（1） =2 ；（2） =3 ；（3） =4 ．
探究1：判斷上面各式是否成立．（1）________；（2）________；（3）________ .
探究2：猜想 = ________ ．
探究3：用含有n的式子將規(guī)律表示出來，說明n的取值范圍，并用數(shù)學知識說明你所寫式子的正確性．
拓展: =2 ， =3 ， =4 ,…
根據(jù)觀察上面各式的結構特點，歸納一個猜想，并驗證你的猜想．

答案：
1.解：（1）直接開立方依次填入：0.01；0.1；1；10；100．
（2）從表中發(fā)現(xiàn)被開方數(shù)小數(shù)點向右移動三位，立方根向右移動一位．
（3）①14.42 ②7.696
2.解：探究1：（1）成立 （2）成立 （3）成立
探究2： 新課 標第 一 網(wǎng)
探究3： = （n≥2,且n為整數(shù)）．理由如下：
= = = .
拓展： = ．理由如下：
= = = .

2.4估算
專題 比較無理數(shù)大小
1. 設a= + ，b= + ，c=2 ，則a，b，c之間的大小關系是（　�。�
A．a(chǎn)＞b＞cB．a(chǎn)＞c＞bC．b＞a＞c D．c＞b＞a
2. 觀察下列一組等式，然后解答后面的問題：
( +1)( -1)=1，( + )( - )=1，( + )( - )=1，( + )( - )=1…
（1）觀察上面的規(guī)律，計算下列式子的值
( + + +…+ )•( +1).
（2）利用上面的規(guī)律，試比較 與 的大小．

3. 先填寫下表，通過觀察后再回答問題．

問：
（1）被開方數(shù)a的小數(shù)點位置移動和它的算術平方根 的小數(shù)點位置移動有無規(guī)律？
若有規(guī)律，請寫出它的移動規(guī)律；
（2）已知： =1800，- =-1.8，你能求出a的值嗎？
（3）試比較 與a的大�。�

答案：
1．D 【解析】 ∵a2=2000+2 ，b2=2000+2 ，c2=4004=2000+2×1002，
1003×997=1 000 000-9=999 991，1001×999=1 000 000-1=999 999，10022=1 004 004．
∴c＞b＞a．故選D．
2．解：（1）由上面的解題規(guī)律可直接寫出 ，
則( + + +…+ )•( +1)
=[( -1)+ ( - )+( - )+…+( - )]( +1)
=( -1) ( +1)
=2012.
（2）∵ = ， = ,
又 ＜ ，
∴ ＜ ， ∴ ＞ .
3．解：依次填:0.001，0.01，0.1，1，10，100，1000．
（1）有規(guī)律，當被開方數(shù)的小數(shù)點每向左（或向右）移動2位，算術平方根的小數(shù)點向左（或向右）移動1位.
（2）觀察1.8和1800，小數(shù)點向右移動了3位，則a的值為3.24的小數(shù)點向右移動6位,即a=3240000；
（3）當0＜a＜1時， ＞a；當a=1或0時， =a；當a＞1時， ＜a．

2.6實數(shù)
專題 實數(shù)與數(shù)軸
1.如圖，以數(shù)軸的單位長度線段為邊作一個正方形，以表示數(shù)2的點為圓心，正方形對角線長為半徑畫弧，交數(shù)軸于點A，則點A表示的數(shù)是（　　）
A． B． C． D．

2.如圖所示，直線L表示地圖上的一條直線型公路，其中A、B兩點分別表示公路上第140公里處及第157公里處．若將直尺放在此地圖上，使得刻度15，18的位置分別對準A，B兩點，則此時刻度0的位置對準地圖上公路的第（　�。┕�里處
A．17B．55C．72D．85

3. 一個等腰直角三角形三角板沿著數(shù)軸正方向向前滾動，起始位置如圖，頂點C和A在數(shù)軸上的位置表示的實數(shù)為-1和1．那么當頂點C下一次落在數(shù)軸上時，所在的位置表示的實數(shù)是___________．

4. 如圖，已知A、B、C三點分別對應數(shù)軸上的數(shù)a、b、c．

（1）化簡：a-b+c-b+c-a；
（2）若a= ，b=-z2，c=-4mn．且滿足x與y互為相反數(shù)，z是絕對值最小的負整數(shù)，m、n互為倒數(shù)，試求98a+99b+100c的值；
（3）在（2）的條件下，在數(shù)軸上找一點D，滿足D點表示的整數(shù)d到點A，C的距離之和為10，并求出所有這些整數(shù)的和．
答案：
1．B 【解析】 由勾股定理得：正方形的對角線為 ，設點A表示的數(shù)為x，則2-x= ，解得x=2- ．故選B．
2．B 【解析】 根據(jù)題意，數(shù)軸上刻度15，18的位置分別對準A，B兩點，而AB兩點間距離157-140=17（公里），即數(shù)軸上的3個刻度對應實際17公里的距離.又有數(shù)軸上刻度0與15之間有15個刻度，故刻度0的位置對準地圖上公路的位置距A點有15× =85(公里), 140-85=55,故刻度0的位置對準地圖上公路的55公里處.故選B．
3．3+2 【解析】 在直角△ABC中，AC=CB=2，
根據(jù)勾股定理可以得到AB=2 ，
則當頂點C下一次落在數(shù)軸上時，
所在的位置表示的實數(shù)是4+2 -1=3+2 ．
故答案為：3+2 ．
4．解：（1）由數(shù)軸可知：a-b＞0，c-b＜0，c-a＜0，
所以原式=（a-b）-（c-b）-（c-a）
=a-b-c+b-c+a=2a-2c.
（2）由題意可知：x+y=0，z=-1，mn=1，
所以a=0，b=-（-1）2=-1，c=-4，
∴98a+99b+100c=-99-400=-499.
（3）滿足條件的D點表示的整數(shù)為-7、3，它們的和為-4．

2.7二次根式
專題一 與二次根式有關的規(guī)律探究題
1.將1、 、 、 按如圖所示的方式排列.

若規(guī)定（m，n）表示第m排從左到右第n個數(shù)，則（4,2）與（21,2）表示的兩數(shù)之積是（ ）
A.1 B.2 C. D.6
2. 觀察下列各式及其驗證過程：
，驗證： ．
，驗證： ．
（1）按照上述兩個等式及其驗證過程，猜想 的變形結果并進行驗證；
（2）針對上述各式反映的規(guī)律，寫出用 （ 為任意自然數(shù)，且 ）表示的等式，并給出驗證；
（3）針對三次根式及 次根式（ 為任意自然數(shù)，且 ）,有無上述類似的變形，如果有，寫出用 （ 為任意自然數(shù)，且 ）表示的等式，并給出驗證．
3. 材料：
小明在學習二次根式后，發(fā)現(xiàn)一些含根號的式子可以寫成另一個式子的平方，如3+2 = ，善于思考的小明進行了以下探索：
設a+b = （其中a、b、m、n均為正整數(shù)）,則有a+b =m2+2n2+2mn ,
∴a=m2+2n2,b=2mn.這樣小明就找到了一種把部分a+b 的式子化為平方式的方法.
請你仿照小明的方法探索并解決下列問題：
（1）當a、b、m、n均為正整數(shù)時，若a+b = ,用含m、n的式子分別表示a、b，得：a= ，b= ；
（2）利用所探索的結論，找一組正整數(shù)a、b、m、n： +
=（ ＋ ） ；
（3）若a+4 = ，且a、m、n均為正整數(shù)，求a的值.

專題二 利用二次根式的性質將代數(shù)式化簡
4. 化簡二次根式 的結果是（　�。�
A. B. C. D.
5.如圖，實數(shù)a．b在數(shù)軸上的位置，
化簡： ．

答案：
1.D 【解析】 從圖示中知道，（4，2）所表示的數(shù)是 .∵前20排共有1+2+3+4+…+20=210個數(shù)，∴（21，2）表示的是第210+2=212個數(shù).∵這些數(shù)字按照1、 、 、 的順序循環(huán)出現(xiàn)，212÷4=53，∴（21，2）表示的數(shù)是 .∴（4，2）與（21，2）表示的兩數(shù)之積是 .
2.解：（1） ．驗證： ．
（2） （ 為任意自然數(shù)，且 ）．
驗證： ．
（3） （ 為任意自然數(shù)，且 ）．
驗證： ．
（ 為任意自然數(shù)，且 ）．
驗證： .
3. 解：(1) 2mn (2)21 12 3 2
(3) ∵ ,4=2mn, ∴mn=2. ∵ m,n為正整數(shù)，∴m=1,n=2或m=2,n=1,
∴a=13或a=7.
4.B 【解析】若二次根式有意義，則 ≥0，-a-2≥0，解得a≤-2，∴原式= = ．故選B．
5.解：由圖知，a＜0，b＞0，∴a?b＜0，
∴ =a?b+a?b=（?a）?b+（b?a）=?2a．

5 Y


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