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第二章 實(shí)數(shù)
2.1認(rèn)識無理數(shù)
專題 無理數(shù)近似值的確定
1. 設(shè)面積為3的正方形的邊長為x，那么關(guān)于x的說法正確的是（　�。�
A．x是有理數(shù) B．x取0和1之間的實(shí)數(shù)
C．x不存在 D．x取1和2之間的實(shí)數(shù)
2．（1）如圖1，小明想剪一塊面積為25cm2的正方形紙板，你能幫他求出正方形紙板的邊長嗎？

（2）若小明想將兩塊邊長都為3cm的正方形紙板沿對角線剪開，拼成如圖2所示的一個(gè)大正方形，你能幫他求出這個(gè)大正方形的面積嗎？它的邊長是整數(shù)嗎？若不是整數(shù)，那么請你估計(jì)這個(gè)邊長的值在哪兩個(gè)整數(shù)之間．

3. 你能估測一下我們教室的長、寬、高各是多少米嗎？你能估測或?qū)嶋H測量一下數(shù)學(xué)課本的長、寬和厚度嗎？請你再估算一下我們的教室能放下多少本數(shù)學(xué)書？這些數(shù)學(xué)書可供多少所像我們這樣的學(xué)校的初一年級學(xué)生使用呢？請你對每一個(gè)問題給出估測的數(shù)據(jù)，再把估算的過程結(jié)果一一寫出來．

答案：
1．D 【解析】 ∵面積為3的正方形的邊長為x，∴x2=3，而12=1，22=4，∴1＜x2＜4，∴1＜x＜2，故選D.
2．解：（1）邊長為5cm.
（2）設(shè)大正方形的邊長為x，∵大正方形的面積=32+32=18，而42=16，52=25，
∴16＜x2＜25，∴4＜x＜5,故正方形的邊長不是整數(shù),它的值在4和5之間.
3．解：估算的過程：教室的長、寬、高可以用我們的身高估計(jì)出來；數(shù)學(xué)課本的長、寬和厚度可以用我們的手指估計(jì)出來，也可以用直尺測量出來；我們用長寬高相乘估計(jì)出教室的容積與課本的體積相除算出能放下多少本數(shù)學(xué)書，就是能供多少名學(xué)生使用，再用本班人數(shù)乘一年級班數(shù)估計(jì)本校一年級人數(shù)，然后相處就可以估計(jì)出這些數(shù)學(xué)書可供多少所像我們這樣的學(xué)校的初一年級學(xué)生使用了．估測的數(shù)據(jù)、估算的結(jié)果略.

2.2平方根
專題一 非負(fù)數(shù)問題
1. 若 與 互為相反數(shù)，則 的值為（ ）
A． B． C． D．
2． 設(shè)a，b，c都是實(shí)數(shù)，且滿足（2-a）2+ +c+8=0，ax2+bx+c=0，求式子x2+2x的算術(shù)平方根．

3. 若實(shí)數(shù)x，y，z滿足條件 + + = (x+y+z+9)，求xyz的值．

專題二 探究題
4. 研究下列算式，你會發(fā)現(xiàn)有什么規(guī)律？
= =2； = =3； = =4； = =5；…
請你找出規(guī)律，并用公式表示出來．

5.先觀察下列等式，再回答下列問題：
① =1+ - = ；
② =1+ = ；
③ =1+ = ．
（1）請你根據(jù)上面三個(gè)等式提供的信息，猜想 的結(jié)果，并驗(yàn)證；
（2）請你按照上面各等式反映的規(guī)律，試寫出用含n的式子表示的等式（n為正整數(shù)）．

答案：
1．D 【解析】 ∵ 與b+1互為相反數(shù)，
∴ +b+1=0，
∴ =0且b+1=0，
∴a= ，b=?1， = ，故選D.
2．解：由題意，得2-a=0，a2+b+c=0，c+8=0．
∴a=2，c=-8，b=4．
∴2x2+4x-8=0．
∴x2+2x=4． wxkb1.com
∴式子x2+2x的算術(shù)平方根為2．
3．解：將題中等式移項(xiàng)并將等號兩邊同乘以4得x-4 +y-4 +z-4 +9=0，
∴(x-4 +4)+(y-1-4 +4)+(z-2-4 +4)=0,
∴( -2)2+( -2)2+( -2)2=0,
∴ -2=0且 -2=0且 -2=0,
∴ =2 =2 =2,
∴x=4,y-1=4 ,z-2=4,∴x=4,y=5,z=6.
∴xyz=120．
4.解：第n項(xiàng)an= = =n+1，即an=n+1．
5.解：（1） =1+ = ．
驗(yàn)證： = = = = ．
（2） =1+ =1+ （n為正整數(shù)）．

2.3立方根
專題 立方根探究性問題
1. （1）填表：
a0.000001 0.001 11000 1000000


（2）由上表你發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律（請你用語言敘述出來）；
（3）根據(jù)發(fā)現(xiàn)的規(guī)律：
①已知 =1.442，則 =_____________；
②已知 =0.07696，則 =_____________．

2． 觀察下列各式：
（1） =2 ；（2） =3 ；（3） =4 ．
探究1：判斷上面各式是否成立．（1）________；（2）________；（3）________ .
探究2：猜想 = ________ ．
探究3：用含有n的式子將規(guī)律表示出來，說明n的取值范圍，并用數(shù)學(xué)知識說明你所寫式子的正確性．
拓展: =2 ， =3 ， =4 ,…
根據(jù)觀察上面各式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，歸納一個(gè)猜想，并驗(yàn)證你的猜想．

答案：
1.解：（1）直接開立方依次填入：0.01；0.1；1；10；100．
（2）從表中發(fā)現(xiàn)被開方數(shù)小數(shù)點(diǎn)向右移動三位，立方根向右移動一位．
（3）①14.42 ②7.696
2.解：探究1：（1）成立 （2）成立 （3）成立
探究2： 新課 標(biāo)第 一 網(wǎng)
探究3： = （n≥2,且n為整數(shù)）．理由如下：
= = = .
拓展： = ．理由如下：
= = = .

2.4估算
專題 比較無理數(shù)大小
1. 設(shè)a= + ，b= + ，c=2 ，則a，b，c之間的大小關(guān)系是（　�。�
A．a(chǎn)＞b＞cB．a(chǎn)＞c＞bC．b＞a＞c D．c＞b＞a
2. 觀察下列一組等式，然后解答后面的問題：
( +1)( -1)=1，( + )( - )=1，( + )( - )=1，( + )( - )=1…
（1）觀察上面的規(guī)律，計(jì)算下列式子的值
( + + +…+ )•( +1).
（2）利用上面的規(guī)律，試比較 與 的大�。�

3. 先填寫下表，通過觀察后再回答問題．

問：
（1）被開方數(shù)a的小數(shù)點(diǎn)位置移動和它的算術(shù)平方根 的小數(shù)點(diǎn)位置移動有無規(guī)律？
若有規(guī)律，請寫出它的移動規(guī)律；
（2）已知： =1800，- =-1.8，你能求出a的值嗎？
（3）試比較 與a的大�。�

答案：
1．D 【解析】 ∵a2=2000+2 ，b2=2000+2 ，c2=4004=2000+2×1002，
1003×997=1 000 000-9=999 991，1001×999=1 000 000-1=999 999，10022=1 004 004．
∴c＞b＞a．故選D．
2．解：（1）由上面的解題規(guī)律可直接寫出 ，
則( + + +…+ )•( +1)
=[( -1)+ ( - )+( - )+…+( - )]( +1)
=( -1) ( +1)
=2012.
（2）∵ = ， = ,
又 ＜ ，
∴ ＜ ， ∴ ＞ .
3．解：依次填:0.001，0.01，0.1，1，10，100，1000．
（1）有規(guī)律，當(dāng)被開方數(shù)的小數(shù)點(diǎn)每向左（或向右）移動2位，算術(shù)平方根的小數(shù)點(diǎn)向左（或向右）移動1位.
（2）觀察1.8和1800，小數(shù)點(diǎn)向右移動了3位，則a的值為3.24的小數(shù)點(diǎn)向右移動6位,即a=3240000；
（3）當(dāng)0＜a＜1時(shí)， ＞a；當(dāng)a=1或0時(shí)， =a；當(dāng)a＞1時(shí)， ＜a．

2.6實(shí)數(shù)
專題 實(shí)數(shù)與數(shù)軸
1.如圖，以數(shù)軸的單位長度線段為邊作一個(gè)正方形，以表示數(shù)2的點(diǎn)為圓心，正方形對角線長為半徑畫弧，交數(shù)軸于點(diǎn)A，則點(diǎn)A表示的數(shù)是（　　）
A． B． C． D．

2.如圖所示，直線L表示地圖上的一條直線型公路，其中A、B兩點(diǎn)分別表示公路上第140公里處及第157公里處．若將直尺放在此地圖上，使得刻度15，18的位置分別對準(zhǔn)A，B兩點(diǎn)，則此時(shí)刻度0的位置對準(zhǔn)地圖上公路的第（　�。┕�里處
A．17B．55C．72D．85

3. 一個(gè)等腰直角三角形三角板沿著數(shù)軸正方向向前滾動，起始位置如圖，頂點(diǎn)C和A在數(shù)軸上的位置表示的實(shí)數(shù)為-1和1．那么當(dāng)頂點(diǎn)C下一次落在數(shù)軸上時(shí)，所在的位置表示的實(shí)數(shù)是___________．

4. 如圖，已知A、B、C三點(diǎn)分別對應(yīng)數(shù)軸上的數(shù)a、b、c．

（1）化簡：a-b+c-b+c-a；
（2）若a= ，b=-z2，c=-4mn．且滿足x與y互為相反數(shù)，z是絕對值最小的負(fù)整數(shù)，m、n互為倒數(shù)，試求98a+99b+100c的值；
（3）在（2）的條件下，在數(shù)軸上找一點(diǎn)D，滿足D點(diǎn)表示的整數(shù)d到點(diǎn)A，C的距離之和為10，并求出所有這些整數(shù)的和．
答案：
1．B 【解析】 由勾股定理得：正方形的對角線為 ，設(shè)點(diǎn)A表示的數(shù)為x，則2-x= ，解得x=2- ．故選B．
2．B 【解析】 根據(jù)題意，數(shù)軸上刻度15，18的位置分別對準(zhǔn)A，B兩點(diǎn)，而AB兩點(diǎn)間距離157-140=17（公里），即數(shù)軸上的3個(gè)刻度對應(yīng)實(shí)際17公里的距離.又有數(shù)軸上刻度0與15之間有15個(gè)刻度，故刻度0的位置對準(zhǔn)地圖上公路的位置距A點(diǎn)有15× =85(公里), 140-85=55,故刻度0的位置對準(zhǔn)地圖上公路的55公里處.故選B．
3．3+2 【解析】 在直角△ABC中，AC=CB=2，
根據(jù)勾股定理可以得到AB=2 ，
則當(dāng)頂點(diǎn)C下一次落在數(shù)軸上時(shí)，
所在的位置表示的實(shí)數(shù)是4+2 -1=3+2 ．
故答案為：3+2 ．
4．解：（1）由數(shù)軸可知：a-b＞0，c-b＜0，c-a＜0，
所以原式=（a-b）-（c-b）-（c-a）
=a-b-c+b-c+a=2a-2c.
（2）由題意可知：x+y=0，z=-1，mn=1，
所以a=0，b=-（-1）2=-1，c=-4，
∴98a+99b+100c=-99-400=-499.
（3）滿足條件的D點(diǎn)表示的整數(shù)為-7、3，它們的和為-4．

2.7二次根式
專題一 與二次根式有關(guān)的規(guī)律探究題
1.將1、 、 、 按如圖所示的方式排列.

若規(guī)定（m，n）表示第m排從左到右第n個(gè)數(shù)，則（4,2）與（21,2）表示的兩數(shù)之積是（ ）
A.1 B.2 C. D.6
2. 觀察下列各式及其驗(yàn)證過程：
，驗(yàn)證： ．
，驗(yàn)證： ．
（1）按照上述兩個(gè)等式及其驗(yàn)證過程，猜想 的變形結(jié)果并進(jìn)行驗(yàn)證；
（2）針對上述各式反映的規(guī)律，寫出用 （ 為任意自然數(shù)，且 ）表示的等式，并給出驗(yàn)證；
（3）針對三次根式及 次根式（ 為任意自然數(shù)，且 ）,有無上述類似的變形，如果有，寫出用 （ 為任意自然數(shù)，且 ）表示的等式，并給出驗(yàn)證．
3. 材料：
小明在學(xué)習(xí)二次根式后，發(fā)現(xiàn)一些含根號的式子可以寫成另一個(gè)式子的平方，如3+2 = ，善于思考的小明進(jìn)行了以下探索：
設(shè)a+b = （其中a、b、m、n均為正整數(shù)）,則有a+b =m2+2n2+2mn ,
∴a=m2+2n2,b=2mn.這樣小明就找到了一種把部分a+b 的式子化為平方式的方法.
請你仿照小明的方法探索并解決下列問題：
（1）當(dāng)a、b、m、n均為正整數(shù)時(shí)，若a+b = ,用含m、n的式子分別表示a、b，得：a= ，b= ；
（2）利用所探索的結(jié)論，找一組正整數(shù)a、b、m、n： +
=（ ＋ ） ；
（3）若a+4 = ，且a、m、n均為正整數(shù)，求a的值.

專題二 利用二次根式的性質(zhì)將代數(shù)式化簡
4. 化簡二次根式 的結(jié)果是（　　）
A. B. C. D.
5.如圖，實(shí)數(shù)a．b在數(shù)軸上的位置，
化簡： ．

答案：
1.D 【解析】 從圖示中知道，（4，2）所表示的數(shù)是 .∵前20排共有1+2+3+4+…+20=210個(gè)數(shù)，∴（21，2）表示的是第210+2=212個(gè)數(shù).∵這些數(shù)字按照1、 、 、 的順序循環(huán)出現(xiàn)，212÷4=53，∴（21，2）表示的數(shù)是 .∴（4，2）與（21，2）表示的兩數(shù)之積是 .
2.解：（1） ．驗(yàn)證： ．
（2） （ 為任意自然數(shù)，且 ）．
驗(yàn)證： ．
（3） （ 為任意自然數(shù)，且 ）．
驗(yàn)證： ．
（ 為任意自然數(shù)，且 ）．
驗(yàn)證： .
3. 解：(1) 2mn (2)21 12 3 2
(3) ∵ ,4=2mn, ∴mn=2. ∵ m,n為正整數(shù)，∴m=1,n=2或m=2,n=1,
∴a=13或a=7.
4.B 【解析】若二次根式有意義，則 ≥0，-a-2≥0，解得a≤-2，∴原式= = ．故選B．
5.解：由圖知，a＜0，b＞0，∴a?b＜0，
∴ =a?b+a?b=（?a）?b+（b?a）=?2a．

5 Y


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