在數(shù)學(xué)課外活動(dòng)中，在各類數(shù)學(xué)競(jìng)賽中，一元二次方程的整數(shù)解問題一直是個(gè)熱點(diǎn)，它將古老的整數(shù)理論與傳統(tǒng)的一元二次方程知識(shí)相結(jié)合，涉及面廣，解法靈活，綜合性強(qiáng)，備受關(guān)注，解含參數(shù)的一元二次方程的整數(shù)解問題的基本策略有：
從求根入手，求出根的有理表達(dá)式，利用整除求解；
從判別式手，運(yùn)用判別式求出參數(shù)或解的取值范圍，或引入?yún)��?shù)(設(shè)△= )，通過窮舉，逼近求解；
從韋達(dá)定理入手，從根與系數(shù)的關(guān)系式中消去參數(shù)，得到關(guān)于兩根的不定方程，借助因數(shù)分解、因式分解求解；
從變更主元入人，當(dāng)方程中參數(shù)次數(shù)較低時(shí)，可考慮以參數(shù)為主元求解．
注：一元二次方程的整數(shù)根問題，既涉及方程的解法、判別式、韋達(dá)定理等與方程相關(guān)的知識(shí)，又與整除、奇數(shù)、偶數(shù)、質(zhì)數(shù)、合數(shù)等整數(shù)知識(shí)密切相關(guān)．
【例題求解】
【例1】若關(guān)于 的方程 的解都是整數(shù)，則符合條件的整數(shù)是的值有 個(gè)．
思路點(diǎn)撥 用因式分解法可得到根的簡(jiǎn)單表達(dá)式，因方程的類型未指明，故須按一次方程、二次方程兩種情形討論，這樣確定是的值才能全面而準(zhǔn)確．

注： 系數(shù)含參數(shù)的方程問題，在沒有指明是二次方程時(shí)，要注意有可能是一次方程，根據(jù)問題的題設(shè)條件，看是否要分類討論．
【例2】 已知 、 為質(zhì)數(shù)且是方程 的根，那么 的值是( )
A． B． C． D．
思路點(diǎn)撥 由韋達(dá)定理 、 的關(guān)系式，結(jié)合整數(shù)性質(zhì)求出 、 、 的值．



【例3】 試確定一切有理數(shù) ，使得關(guān)于 的方程 有根且只有整數(shù)根．

思路點(diǎn)撥 由于方 程的類型未確定，所以應(yīng)分類 討論．當(dāng) 時(shí)，由根與系數(shù)關(guān)系得到關(guān)于r的兩個(gè)等式，消去r，利用因式(數(shù))分解先求出方程兩整數(shù)根．



【例4】當(dāng) 為整數(shù)時(shí)，關(guān)于 的方程 是否有有理根?如果有，求出 的值；如果沒有，請(qǐng)說明理由．
思路點(diǎn)撥 整系數(shù)方程有有理根的條件是為完全平方數(shù)．
設(shè)△= ( 為整數(shù))解不定方程，討論 的存在性．


注：一元二次方程 (a≠0)而言，方程的根為整數(shù)必為有理數(shù)，而△= 為完全平方數(shù)是方程的 根為有理數(shù)的充要條件．
【例5】 若關(guān)于 的方程 至少有一個(gè)整數(shù)根，求非負(fù)整數(shù) 的值．
思路點(diǎn)撥 因根的表示式復(fù)雜，從韋達(dá)定理得出的 的兩個(gè)關(guān)系式中消去 也較困難，又因 的次數(shù)低于 的次數(shù)，故可將原方程變形為關(guān)于 的一次方程．


學(xué)歷訓(xùn)練
1．已知關(guān)于 的方程 的根都是整數(shù)，那么符合條件的整數(shù) 有 ．
2．已知方程 有兩個(gè)質(zhì)數(shù)解，則m＝ ．
3．給出四個(gè)命題：①整系數(shù)方程 (a≠0)中，若△為一個(gè)完全平方數(shù)，則方程必有有理根；②整系數(shù)方程 (a≠0)中，若方程有有理數(shù)根，則△為完全平方數(shù) ；③無理數(shù)系數(shù)方程 (a≠0)的根只能是無理數(shù)；④若 、 、 均 為奇數(shù)，則方程 沒有有理數(shù)根，其中真命題是 ．
4．已知關(guān)于 的一元二次方程 ( 為整數(shù))的兩個(gè)實(shí)數(shù)根是 、 ，則 = ．
5．設(shè)rn為整數(shù)，且4< m<40，方程 有兩個(gè)整數(shù)根，求m的值及方程的根．(山西省競(jìng)賽題)
6．已知方程 (a≠0)至少有一個(gè)整數(shù)根，求 的值．
7．求使關(guān)于 的方程 的根都是整數(shù)的 值．
8．當(dāng) 為正 整數(shù)時(shí)，關(guān)于 的方程 的兩根均為質(zhì)數(shù)，試解此方程．
9．設(shè)關(guān)于 的二次方程 的兩根都是整數(shù)，試求滿足條件的所有實(shí)數(shù) 的值．
10．試求所有這樣的正整數(shù) ，使得方程 至少有一個(gè)整數(shù)解．


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