2013年武漢市初中畢業(yè)生學(xué)業(yè)考試
數(shù)學(xué)試卷
第I卷（ 共30分）
一、（共12小題，每小題3分，共36分）
1．下列各數(shù)中，最大的是（ ）
A．－3 B．0 C．1 D．2
答案：D
解析：0大于負(fù)數(shù)，正數(shù)大于0，也大于負(fù)數(shù)，所以，2最大，選D。
2．式子 在實數(shù)范圍內(nèi)有意義，則x的取值范圍是（ ）
A． <1 B． ≥1 C． ≤－1 D． <－1
答案：B
解析：由二次根式的意義，知：x－1≥0，所以x≥1。
3．不等式組 的解集是（ ）
A．－2≤ ≤1 B．－2< <1 C． ≤－1 D． ≥2
答案：A
解析：解（1）得：x≥-2,解（2）得x≤1，所以，－2≤ ≤1
4．袋子中裝有4個黑球和2個白球，這些球的形狀、大小、質(zhì)地等完全相同，在看不到球的條件下，隨機地從袋子中摸出三個球．下列事件是必然事件的是（ ）
A．摸出的三個球中至少有一個球是黑球．
B．摸出的三個球中至少有一個球是白球．
C．摸出的三個球中至少有兩個球是黑球．
D．摸出的三個球中至少有兩個球是白球．
答案：A
解析：因為白球只有2個，所以，摸出三個球中，黑球至少有一個，選A。
5．若 ， 是一元二次方程 的兩個根，則 的值是（ ）
A．－2 B．－3 C．2 D．3
答案：B
解析：由韋達(dá)定理，知： ＝－3。
6．如圖，△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BD是AC邊上的高，則∠DBC的
度數(shù)是（ ）
A．18° B．24° C．30° D．36°
答案：A
解析：因為AB＝AC，所以，∠C＝∠ABC＝ （180°－36°）＝72°，
又BD為高，所以，∠DBC＝90°72°＝18°
7．如圖，是由4個相同小正方體組合而成的幾何體，
它的左視圖是（ ）
答案：C
解析：由箭頭所示方向看過去，能看到下面三個小正方形，上面一個小正方形，所以選C。
8．兩條直線最多有1個交點，三條直線最多有3個交點，四條直線最多有6個交點，……，那么六條直線最多有（ ）
A．21個交點 B．18個交點 C．15個交點 D．10個交點
答案：C
解析：兩條直線的最多交點數(shù)為： ×1×2＝1，
三條直線的最多交點數(shù)為： ×2×3＝3，
四條直線的最多交點數(shù)為： ×3×4＝6，
所以，六條直線的最多交點數(shù)為： ×5×6＝15，
9．為了解學(xué)生課外的喜好，某校從八年級隨機抽取部分學(xué)生進(jìn)行問卷調(diào)查，調(diào)查要求每人只選取一種喜歡的書籍，如果沒有喜歡的書籍，則作“其它”類統(tǒng)計。圖（1）與圖（2）是整理數(shù)據(jù)后繪制的兩幅不完整的統(tǒng)計圖。以下結(jié)論不正確的是（ ）
A．由這兩個統(tǒng)計圖可知喜歡“科普常識”的學(xué)生有90人．
B．若該年級共有1200名學(xué)生，則由這兩個統(tǒng)計圖可估計喜愛“科普常識”的學(xué)生約有
360個．
C．由這兩個統(tǒng)計圖不能確定喜歡“小說”的人數(shù)．
D．在扇形統(tǒng)計圖中，“漫畫”所在扇形的圓心角為72°．
答案：C
解析：讀左邊圖，知“其它”有30人，讀右邊圖，知“其它”占10%，所以，總?cè)藬?shù)為300人，“科普知識”人數(shù)：30%×300＝90，所以，A正確；該年級“科普知識”人數(shù)：30%×1200＝360，所以，B正確；，因為“漫畫”有60人，占20%，圓心角為：20%×360＝72°，
小說的比例為：1－10%－30%－20%＝40%，所以，D正確，C錯誤，選C。
10．如圖，⊙A與⊙B外切于點D，PC，PD，PE分別是圓的切線，C，D，E是切點，
若∠CED＝ °，∠ECD＝ °，⊙B的半徑為R，則 的長度是（ ）
A． B．
C． D．
答案：B
解析：由切線長定理，知：PE＝PD＝PC，設(shè)∠PEC＝z°
所以，∠PED＝∠PDE＝（x＋z）°，∠PCE＝∠PEC＝z°，
∠PDC＝∠PCD＝（y＋z）°，
∠DPE＝（180－2x－2z）°，∠DPC＝（180－2y－2z）°，
在△PEC中，2z°＋（180－2x－2z）°＋（180－2y－2z）°＝180°，
化簡，得：z＝（90－x－y）°，
在四邊形PEBD中，∠EBD＝（180°－∠DPE）＝180°－（180－2x－2z）°＝（2x＋2z）°＝（2x＋180－2x－2y）＝（180－2y）°，
所以，弧DE的長為： ＝
選B。
第II卷（非選擇題 共84分）
二、題（共4小題，每小題3分，共12分）
11．計算 ＝ ．
答案：
解析：直接由特殊角的余弦值，得到。
12．在2013年的體育中考中，某校6名學(xué)生的分?jǐn)?shù)分別是27、28、29、28、26、28．這組
數(shù)據(jù)的眾數(shù)是 ．
答案：28
解析：28出現(xiàn)三次，出現(xiàn)的次數(shù)最多，所以，填28。
13．太陽的半徑約為696 000千米，用科學(xué)記數(shù)法表示數(shù)696 000為 ．
答案：
解析：科學(xué)記數(shù)法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤a＜10，n為整數(shù)．確定n的值時，要看把原數(shù)變成a時，小數(shù)點移動了多少位，n的絕對值與小數(shù)點移動的位數(shù)相同．當(dāng)原數(shù)絕對值＞1時，n是正數(shù)；當(dāng)原數(shù)的絕對值＜1時，n是負(fù)數(shù)．
696 000＝
14．設(shè)甲、乙兩車在同一直線公路上勻速行駛，開始甲車在乙車的前面，當(dāng)乙車追上甲車后，兩車停下來，把乙車的貨物轉(zhuǎn)給甲車，然后甲車?yán)^續(xù)前行，乙車向原地返回．設(shè) 秒后兩車間的距離為 千米， 關(guān)于 的函數(shù)關(guān)系如圖所示，則甲車的速度是 米/秒．
答案：20
解析：設(shè)甲車的速度為v米/秒，乙車的速度為u米/秒，由圖象可得方程：
，解得v＝20米/秒
15．如圖，已知四邊形ABCD是平行四邊形，BC＝2AB，A，B兩點的坐標(biāo)分別是（－1，0），（0，2），C，D兩點在反比例函數(shù) 的圖象上，則 的值等于 ．
答案：－12
解析：如圖，過C、D兩點作x軸的垂線，垂足為F、G，CG交AD于M點，過D點作DH⊥CG，垂足為H，
∵CD∥AB，CD=AB，∴△CDH≌△ABO（AAS），
∴DH=AO=1，CH=OB=2，設(shè)C（m，n），D（m－1，n－2），
則mn＝（m－1）（n－2）=k，解得n=2－2m，
設(shè)直線BC解析式為y=ax+b，將B、C兩點坐標(biāo)代入得
，又n=2－2m，
BC＝ ＝ ，AB＝ ，因為BC＝2AB，
解得：m＝－2，n＝6，所以，k＝mn＝－12
16．如圖，E，F(xiàn)是正方形ABCD的邊AD上兩個動點，滿足AE＝DF．連接CF交BD于G，連接BE交AG于點H．若正方形的邊長為2，則線段DH長度的最小值是 ．
答案：
解析：
三、解答題（共9小題，共72分）
17．（本題滿分6分）解方程： ．
解析：方程兩邊同乘以 ，得
解得 ．
經(jīng)檢驗， 是原方程的解．
18．（本題滿分6分）直線 經(jīng)過點（3，5），求關(guān)于 的不等式 ≥0的解集．
解析：∵直線 經(jīng)過點（3，5）∴ ．
∴ ．
即不等式為 ≥0，解得 ≥ ．
19．（本題滿分6分）如圖，點E、F在BC上，BE＝CF，AB＝DC，∠B＝∠C．
求證：∠A＝∠D．
解析：證明：∵BE＝CF，∴BE+EF＝CF+EF，即BF＝CE．
在△ABF和△DCE中，
∴△ABF≌△DCE， ∴∠A＝∠D．
20．（本題滿分7分）有兩把不同的鎖和四把不同的鑰匙，其中兩把鑰匙恰好分別能打開這兩把鎖，其余的鑰匙不能打開這兩把鎖．現(xiàn)在任意取出一把鑰匙去開任意一把鎖．
（1）請用列表或畫樹狀圖的方法表示出上述試驗所有可能結(jié)果；
（2）求一次打開鎖的概率．
解析：（1）設(shè)兩把不同的鎖分別為A、B，能把兩鎖打開的鑰匙分別為 、 ，其余兩把鑰匙分別為 、 ，根據(jù)題意，可以畫出如下樹形圖：
由上圖可知，上述試驗共有8種等可能結(jié)果．（列表法參照給分）
（2）由（1）可知，任意取出一把鑰匙去開任意一把鎖共有8種可能的結(jié)果，一次打開鎖的結(jié)果有2種，且所有結(jié)果的可能性相等．
∴P（一次打開鎖）＝ ．
21．（本題滿分7分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，
Rt△ABC的三個頂點分別是A（－3，2），B（0，4），
C（0，2）．
（1）將△ABC以點C為旋轉(zhuǎn)中心旋轉(zhuǎn)180°，畫出旋
轉(zhuǎn)后對應(yīng)的△ C；平移△ABC，若A的對應(yīng)點
的坐標(biāo)為（0，4），畫出平移后對應(yīng)的△ ；
（2）若將△ C繞某一點旋轉(zhuǎn)可以得到△ ，
請直接寫出旋轉(zhuǎn)中心的坐標(biāo)；
（3）在 軸上有一點P，使得PA+PB的值最小，請直
接寫出點P的坐標(biāo)．
解析：
（1）畫出△A1B1C如圖所示：
（2）旋轉(zhuǎn)中心坐標(biāo)（ ， ）；
（3）點P的坐標(biāo)（－2，0）．
22．（本題滿分8分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，△ABC是⊙O的內(nèi)接三角形，AB＝AC，點P是 的中點，連接PA，PB，PC．
（1）如圖①，若∠BPC＝60°，求證： ；
（2）如圖②，若 ，求 的值．
解析：
（1）證明：∵弧BC＝弧BC，∴∠BAC＝∠BPC＝60°．
又∵AB＝AC，∴△ABC為等邊三角形
∴∠ACB＝60°，∵點P是弧AB的中點，∴∠ACP＝30°，
又∠APC＝∠ABC＝60°，∴AC＝ AP．
（2）解：連接AO并延長交PC于F，過點E作EG⊥AC于G，連接OC．
∵AB＝AC，∴AF⊥BC，BF＝CF．
∵點P是弧AB中點，∴∠ACP＝∠PCB，∴EG＝EF．
∵∠BPC＝∠FOC，
∴sin∠FOC＝sin∠BPC= ．
設(shè)FC＝24a，則OC＝OA＝25a，
∴OF＝7a，AF＝32a．
在Rt△AFC中，AC2＝AF2+FC2，∴AC＝40a．
在Rt△AGE和Rt△AFC中，sin∠FAC＝ ，
∴ ，∴EG＝12a．
∴tan∠PAB＝tan∠PCB= ．
23．（本題滿分10分）科幻小說《實驗室的故事》中，有這樣一個情節(jié)，科學(xué)家把一種珍奇的植物分別放在不同溫度的環(huán)境中，經(jīng)過一天后，測試出這種植物高度的增長情況（如下表）：
溫度 /℃……－4－20244.5……
植物每天高度增長量 /mm……414949412519.75……
由這些數(shù)據(jù)，科學(xué)家推測出植物每天高度增長量 是溫度 的函數(shù)，且這種函數(shù)是反比例函數(shù)、一次函數(shù)和二次函數(shù)中的一種．
（1）請你選擇一種適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)，求出它的函數(shù)關(guān)系式，并簡要說明不選擇另外兩種函數(shù)的理由；
（2）溫度為多少時，這種植物每天高度的增長量最大？
（3）如果實驗室溫度保持不變，在10天內(nèi)要使該植物高度增長量的總和超過250mm，那么實驗室的溫度 應(yīng)該在哪個范圍內(nèi)選擇？請直接寫出結(jié)果．
解析：
（1）選擇二次函數(shù)，設(shè) ，得 ，解得
∴ 關(guān)于 的函數(shù)關(guān)系式是 ．
不選另外兩個函數(shù)的理由：
注意到點（0，49）不可能在任何反比例函數(shù)圖象上，所以 不是 的反比例函數(shù)；點（－4，41），（－2，49），（2，41）不在同一直線上，所以 不是 的一次函數(shù)．
（2）由（1），得 ，∴ ，
∵ ，∴當(dāng) 時， 有最大值為50．
即當(dāng)溫度為－1℃時，這種植物每天高度增長量最大．
（3） ．
24．（本題滿分10分）已知四邊形ABCD中，E、F分別是AB、AD邊上的點，DE與CF交于點G．
（1）如圖①，若四邊形ABCD是矩形，且DE⊥CF，求證 ；
（2）如圖②，若四邊形ABCD是平行四邊形，試探究：當(dāng)∠B與∠EGC滿足什么關(guān)系時，使得 成立？并證明你的結(jié)論；
（3）如圖③，若BA=BC=6，DA=DC=8，∠BAD＝90°，DE⊥CF，請直接寫出 的值．
解析：
（1）證明：∵四邊形ABCD是矩形，∴∠A＝∠ADC＝90°，
∵DE⊥CF，∴∠ADE＝∠DCF，∴△ADE∽△DCF，∴ ．
（2）當(dāng)∠B+∠EGC＝180°時， 成立，證明如下：
在AD的延長線上取點M，使CM＝CF，則∠CMF＝∠CFM．
∵AB∥CD，∴∠A＝∠CDM，
∵∠B+∠EGC＝180°，
∴∠AED＝∠FCB，∴∠CMF＝∠AED．
∴△ADE∽△DCM，
∴ ，即 ．
（3） ．
25．（本題滿分12分）如圖，點P是直線 ： 上的點，過點P的另一條直線 交拋物線 于A、B兩點．
（1）若直線 的解析式為 ，求A、B兩點的坐標(biāo)；
（2）①若點P的坐標(biāo)為（－2， ），當(dāng)PA＝AB時，請直接寫出點A的坐標(biāo)；
②試證明：對于直線 上任意給定的一點P，在拋物線上都能找到點A，使得PA＝AB成立．
（3）設(shè)直線 交 軸于點C，若△AOB的外心在邊AB上，且∠BPC＝∠OCP，求點P的坐標(biāo)．
解析：
（1）依題意，得 解得 ，
∴A（ ， ），B（1，1）．
（2）①A1（－1，1），A2（－3，9）．
②過點P、B分別作過點A且平行于 軸的直線的垂線，垂足分別為G、H.
設(shè)P（ ， ），A（ ， ），∵PA＝PB，∴△PAG≌△BAH，
∴AG＝AH，PG＝BH，∴B（ ， ），
將點B坐標(biāo)代入拋物線 ，得 ，
∵△＝
∴無論 為何值時，關(guān)于 的方程總有兩個不等的實數(shù)解，即對于任意給定的
點P，拋物線上總能找到兩個滿足條件的點A．
（3）設(shè)直線 ： 交y軸于D，設(shè)A（ ， ），B（ ， ）．
過A、B兩點分別作AG、BH垂直 軸于G、H．
∵△AOB的外心在AB上，∴∠AOB＝90°，
由△AGO∽△OHB，得 ，∴ ．
聯(lián)立 得 ，依題意，得 、 是方程 的兩根，∴ ，∴ ，即D（0，1）．
∵∠BPC＝∠OCP，∴DP＝DC＝3．P
設(shè)P（ ， ），過點P作PQ⊥ 軸于Q，在Rt△PDQ中， ，
∴ ．∴ （舍去）， ，∴P（ ， ）．
∵PN平分∠MNQ，∴PT＝NT，∴ ，


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