一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系，通常也稱為韋達(dá)定理，這是因?yàn)樵摱ɡ硎怯?6世紀(jì)法國最杰出的數(shù)學(xué)家韋達(dá) 發(fā)現(xiàn)的．
韋達(dá)定理簡單的形式中包含了豐富的數(shù)學(xué)內(nèi)容，應(yīng)用廣泛，主要體現(xiàn)在：
運(yùn)用韋達(dá)定理，求方程中參數(shù)的值；
運(yùn)用韋達(dá)定理，求代數(shù)式的值；
利用韋達(dá)定理并結(jié)合根的判別式，討論根的符號特征；
利用韋達(dá)定理逆定理，構(gòu)造一元二次方程輔助解題等．
韋達(dá)定理具有對稱性，設(shè)而不求、整體代入是利用韋達(dá)定理解題的基本思路．
韋達(dá)定理，充滿 活力，它與代數(shù)、幾何中許多知識可有機(jī)結(jié)合，生成豐富多彩的數(shù)學(xué)問題，而解這類問題常用到對稱分析、構(gòu)造等數(shù)學(xué)思想方法．
【例題求解】
【例1】 已知 、 是方程 的兩個實(shí)數(shù) 根，則代數(shù)式 的值為 ．
思路點(diǎn)撥 所求代數(shù)式為 、 的非對稱式，通過根的定義、一元二次方程的變形轉(zhuǎn)化為(例
【例2】如果 、 都是質(zhì)數(shù)，且 ， ，那么 的值為( )
A． B． 或2 C． D． 或2

思路點(diǎn)撥 可將兩個等式相減，得到 、 的關(guān)系，由于兩個等式結(jié)構(gòu)相同，可視 、 為方程 的兩實(shí)根，這樣就為根與系數(shù)關(guān)系的應(yīng)用創(chuàng)造了條件．


注：應(yīng)用韋達(dá)定理的代數(shù)式的值，一般是關(guān)于 、 的對稱式，這類問題可通過變形用 + 、 表示求解，而非對稱式的求值常用到以下技巧：
(1)恰當(dāng)組合；
(2)根據(jù)根的定義降次；
(3)構(gòu)造對稱式．
【例3 】 已知關(guān)于 的方程：
(1)求證：無論m取什么實(shí)數(shù)值，這個方程總有兩個相異實(shí)根．
(2)若這個方程的兩個實(shí)根 、 滿足 ，求m的值及 相應(yīng)的 、 ．

思路點(diǎn)撥 對于(2)，先判定 、 的符號特征，并從分類討論入手．


【例4】 設(shè) 、 是方程 的兩個實(shí)數(shù)根，當(dāng)m為何值時 ， 有最小值?并求出這個最小值．
思 路點(diǎn)撥 利用根與系數(shù)關(guān)系把待求式用m的代數(shù)式表示，再從配方法入手，應(yīng)注意本例是在一定約束條件下(△≥0)進(jìn)行的．



注：應(yīng)用韋達(dá)定理的前提條件是一元二次方程有兩個實(shí)數(shù)根，即應(yīng)用韋達(dá)定理 解題時，須滿足判別式△≥0這一條件，轉(zhuǎn)化是一種重要的數(shù)學(xué)思想方法，但要注意轉(zhuǎn)化前后問題 的等價性．
【例5】 已知：四邊形ABCD中，AB∥CD，且AB、CD的長是關(guān)于 的方程 的兩個根．
(1)當(dāng)m＝2和m>2時，四邊形ABCD分別是哪種四邊形?并說明理由．
(2)若M、N分別是AD、BC的中點(diǎn)，線段MN分別交AC、BD于點(diǎn)P，Q，PQ＝1，且AB思路點(diǎn)撥 對于(2)，易建立含AC、BD及m的關(guān)系式，要求出m值，還需運(yùn)用與中點(diǎn)相關(guān)知識找尋C D、AB的另一隱含關(guān)系式．


注：在處理以線段的長為根的一元二次方程問題時，往往通過韋達(dá)定理、幾何性質(zhì)將幾何問題從“形”向“數(shù)”(方程)轉(zhuǎn)化，既要注意通過根的判別式的檢驗(yàn)，又要考慮幾何量的非負(fù)性．



學(xué)歷訓(xùn)練
1．(1)已知 和 為一元二次方程 的兩個實(shí)根，并 和 滿足不等式 ，則實(shí)數(shù) 取值范圍是 ．
(2)已知關(guān)于 的一元二次方程 有兩個負(fù)數(shù)根，那么實(shí)數(shù) 的取值范圍是 ．
2．已知 、 是方程的兩個實(shí)數(shù)根，則代數(shù)式 的值為 ．

3．CD是Rt△ABC斜邊上的高線，AD、BD是方程 的兩根，則△ABC的面積是 ．
4．設(shè) 、 是關(guān)于 的方程 的兩根， +1、 +1是關(guān)于 的方程 的兩根，則 、 的值分別等于( )
A．1，-3 B．1，3 C．-1，-3 D．-1，3

5．在Rt△ABC中，∠C＝90°，a、b、c分別是∠A、∠B、∠C的對邊，a、b是關(guān)于
的方程 的兩根，那么AB邊上的 中線長是( )
A． B． C．5 D．2
6．方程 恰有兩個正整數(shù)根 、 ，則 的值是( )
A．1 B．-l C． D．
7．若關(guān)于 的一元二次方程的兩個實(shí)數(shù)根滿足關(guān)系式： ，判斷 是否正確?
8．已知關(guān)于 的方程 ．
(1)當(dāng) 是為何值時，此方程有實(shí)數(shù)根；
(2)若此方程的兩個實(shí)數(shù)根 、 滿足： ，求 的值．

9．已知方程 的兩根均為正整數(shù)，且 ，那 么這個方程兩根為 ．

10．已知 、 是方程 的兩個根，則 的值為 ．

11．△ABC的一邊長為5，另兩邊長恰為方程 的兩根，則m的取值范圍是 ．
12．兩個質(zhì)數(shù) 、 恰好是整系數(shù)方程的兩個根，則 的值是( )
A．9413 B． C． D．
13．設(shè)方程有一個正根 ，一個負(fù)根 ，則以 、 為根的一元二次方程為( )
A． B．
C． D．
14．如果方程 的三根可以作為一個三角形的三邊之長，那么實(shí)數(shù)m的取值范圍是( )
A．0≤m≤1 B．m≥ C． D． ≤m≤1
15．如圖，在矩形ABCD中，對角線AC的長為10，且AB、BC(AB>BC)的長是關(guān)于 的方程的兩個根．
(1)求rn的值；
（2）若E是AB上的一點(diǎn)，CF⊥DE于F，求BE為何值時，△CEF的面積是△CED的面積的 ，請說明理由．



16．設(shè)m是不小于 的實(shí)數(shù)，使得關(guān)于 的方程工 有兩個不相等的實(shí)數(shù)根 、 ．
(1)若 ，求m的值．
(2)求 的最大值．
17．如圖，已知在△ABC中，∠ACB=90°，過C作CD⊥AB于D，且AD＝m，BD=n，AC2：BC2＝2：1；又關(guān)于x的方程 兩實(shí)數(shù)根的差的平方小于192，求整數(shù)m、n的值．
18．設(shè) 、 、 為三個不同的實(shí)數(shù)，使得方程和 和 有一個相同的實(shí)數(shù)根，并且使方程 和 也有一個相同的實(shí)數(shù)根，試求 的值．


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