作課類別課題24.1.2 垂直于弦的直徑課型新授
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學
目
標知識
技能1.通過觀察實驗，使學生理解圓的對稱性.
2.掌握垂徑定理及其推論，理解其證明，并會用它解決有關的證明與計算問題.
過程
方法1.利用操作幾何的方法，理解圓是軸對稱圖形，過圓心的直線都是它的對稱軸．
2.經(jīng)歷探索垂徑定理及其推論的過程，進一步和理解研究幾何圖形的各種方法.
情感
態(tài)度激發(fā)學生觀察、探究、發(fā)現(xiàn)數(shù)學問題的興趣和欲望.
教學重點垂徑定理及其運用．
教學難點發(fā)現(xiàn)并證明垂徑定理
教學過程設計
教學程序及教學內容師生行為設計意圖
一、導語：直徑是圓中特殊的弦，研究直徑是研究圓的重要突破口，這節(jié)課我們就從對直徑的研究開始來研究圓的性質.
二、探究新知
(一)圓的對稱性
沿著圓的任意一條直徑所在直線對折，重復做幾次，看看你能發(fā)現(xiàn)什么結論？
得到：把圓沿著它的任意一條直徑所在直線對折，直徑兩旁的兩個半圓就會重合在一起，因此，圓是軸對稱圖形，任何一條直徑所在的直線都是圓的對稱軸.
（二）、垂徑定理
完成課本思考
分析：1.如何說明圖24.1-7是軸對稱圖形？
2.你能用不同方法說明圖中的線段相等，弧相等嗎？
?垂徑定理：垂直于弦的直徑平分弦，并且平分弦所對的兩條�。�
即：直徑CD垂直于弦AB則CD平分弦AB，并且平分弦AB所對的兩條�。�
推理驗證：可以連結OA、OB，證其與AE、BE構成的兩個全等三角形，進一步得到不同的等量關系.
分析：垂徑定理是由哪幾個已知條件得到哪幾條結論？
即一條直線若滿足過圓心、垂直于弦、則可以推出平分弦、平分弦所對的優(yōu)弧，平分弦所對的劣弧.
?垂徑定理推論
平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條�。�
思考：1.這條推論是由哪幾個已知條件得到哪幾條結論？
2.為什么要求“弦不是直徑”？否則會出現(xiàn)什么情況？
?垂徑定理的進一步推廣
思考：類似推論的結論還有嗎？若有，有幾個？分別用語言敘述出來.
歸納：只要已知一條直線滿足“垂直于弦、過圓心、平分弦、平分弦所對的優(yōu)弧，平分弦所對的劣弧.”中的兩個條件，就可以得到另外三個結論.
（三）、垂徑定理、推論的應用
完成課本趙州橋問題
分析：1.根據(jù)橋的實物圖畫出的幾何圖形應是怎樣的？
2.結合所畫圖形思考：圓的半徑r、弦心距d、弦長a,弓形高h有怎樣的數(shù)量關系？
3.在圓中解決有關弦的問題時，常常需要作垂直于弦的直徑，作為輔助線，這樣就可以把垂徑定理和勾股定理結合起來，得到圓的半徑r、弦心距d、弦長a的一半之間的關系式:
三、課堂訓練
完成課本88頁練習
補充：
1．如圖，一條公路的轉彎處是一段圓弧，點O是圓心，其中CD=600m，E為圓O上一點，OE⊥CD，垂足為F，EF=90m，求這段彎路的半徑．
2.有一石拱橋的橋拱是圓弧形，如圖所示，正常水位下水面寬AB=60m，水面到拱頂距離CD=18m，當洪水泛濫時，水面寬MN=32m時是否需要采取緊急措施？請說明理由．（當水面距拱頂3米以內時需要采取緊急措施）

四、小結歸納
1. 垂徑定理和推論及它們的應用
2. 垂徑定理和勾股定理相結合，將圓的問題轉化為直角三角形問題.
3.圓中常作輔助線：半徑、過圓心的弦的垂線段
五、作業(yè)設計
作業(yè)：課本94頁 1，95頁 9，12
補充：已知：在半徑為5?的⊙O中，兩條平行弦AB,CD分別長8?，6?.求兩條平行弦間的距離.教師從直徑引出課題，引起學生思考

學生用紙剪一個圓，按教師要求操作，觀察，思考，交流，嘗試發(fā)現(xiàn)結論.


學生觀察圖形，結合圓的對稱性和相關知識進行思考，嘗試得出垂徑定理，并從不同角度加以解釋.再進行嚴格的幾何證明.


師生分析，進一步理解定理，析出定理的題設和結論.



教師引導學生類比定理獨立用類似的方法進行探究，得到推論

學生根據(jù)問題進行思考，更好的理解定理和推論，并弄明白它們的區(qū)別與聯(lián)系



學生審題，嘗試自己畫圖，理清題中的數(shù)量關系，并思考解決方法，由本節(jié)課知識想到作輔助線辦法，


教師組織學生進行練習，教師巡回檢查，集體交流評價，教師指導學生寫出解答過程，方法，規(guī)律.


引導學生分析：要求當洪水到來時，水面寬MN=32m是否需要采取緊急措施，只要求出DE的長，因此只要求半徑R，然后運用幾何代數(shù)解求R．

讓學生嘗試歸納，，發(fā)言，體會，反思，教師點評匯總

通過學生親自動手操作發(fā)現(xiàn)圓的對稱性，為后續(xù)探究打下基礎

通過該問題引起學生思考，進行探究，發(fā)現(xiàn)垂徑定理，初步感知培養(yǎng)學生的分析能力，解題能力.


為繼續(xù)探究其推論奠定基礎


培養(yǎng)學生解決問題的意識和能力

全面的理解和掌握垂徑定理和它的推論，并進行推廣，得到其他幾個定理，完整的把握所學知識.



體會轉化思想，化未知為已知，從而解決本題，同時把握一類題型的解題方法，作輔助線方法.


運用所學知識進行應用，鞏固知識，形成做題技巧

讓學生通過練習進一步理解，培養(yǎng)學生的應用意識和能力

歸納提升，加強學習反思，幫助學生養(yǎng)成系統(tǒng)整理知識的習慣


鞏固深化提高
板 書 設 計
課題
垂徑定理垂徑定理的進一步推廣
趙州橋問題歸納


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