達(dá)州市2013年高中階段教育學(xué)校招生統(tǒng)一考試
數(shù) 學(xué)
本試卷分為第I卷（）和第II卷（非）兩部分。第I卷1至2頁，第II卷3至10頁�？荚嚂r間120分鐘，滿分120分。
第I卷（選擇題，共30分）
溫馨提示：
1、答第I卷前，請考生務(wù)必將姓名、準(zhǔn)考證號、考試科目等按要求填涂在機(jī)讀卡上。
2、每小題選出正確答案后，請用2B鉛筆把機(jī)讀卡上對應(yīng)題號的答案標(biāo)號涂黑。
3、考試結(jié)束后，請將本試卷和機(jī)讀卡一并交回。
一．選擇題：（本題10個小題，每小題3分，共30分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）
1．－2013的絕對值是（ ）
A．2013 B．-2013 C．±2013 D．
答案：A
解析：負(fù)數(shù)的絕對值是它的相反數(shù)，故選A。
2．某中學(xué)在蘆山地震捐款活動中，共捐款二十一萬三千元。這一數(shù)據(jù)用科學(xué)記數(shù)法表示為（ ）
A． 元 B． 元 C． 元 D． 元
答案：C
解析：科學(xué)記數(shù)法寫成： 形式，其中 ，二十一萬三千元＝213000＝ 元
3．下列圖形中，既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形的是（ ）
答案：D
解析：A、C只是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形；B是中心對稱圖形，不是軸對稱軸圖形，只有D符合。
4．甲、乙、丙三家超市為了促銷一種定價相同的商品，甲超市先降價20%，后又降價10%；乙超市連續(xù)兩次降價15%；丙超市一次降價30%。那么顧客到哪家超市購買這種商品更合算（�。�
A．甲 B．乙 C．丙 D．一樣
答案：C
解析：設(shè)原價a元，則降價后，甲為：a（1－20%）（1－10%）＝0.72a元，
乙為：（1－15%）2a＝0.7225a元，丙為：（1－30%）a＝0.7a元，所以，丙最便宜。
5．下面是一天中四個不同時刻兩座建筑物的影子，將它們按時間先后順序正確的是（　）
A．（3）（1）（4）（2） B．（3）（2）（1）（4）
C．（3）（4）（1）（2） D．（2）（4）（1）（3）
答案：C
解析：因?yàn)樘�陽從東邊出來，右邊是東，所以，早上的投影在左邊，（3）最先，下午的投影在右邊，（2）最后，選C。
6．若方程 有兩個不相等的實(shí)數(shù)根，則m的取值范圍在數(shù)軸上表示正確的是（�。�
答案：B
解析：因?yàn)榉匠逃袃蓚�不相等的實(shí)數(shù)根，所以，△＝36－12m＞0，得m＜3，故選B。
7．下列說法正確的是（　 ）
A．一個游戲中獎的概率是 ，則做100次這樣的游戲一定會中獎
B．為了了解全國中學(xué)生的心理健康狀況，應(yīng)采用普查的方式
C．一組數(shù)據(jù)0，1，2，1，1的眾數(shù)和中位數(shù)都是1
D．若甲組數(shù)據(jù)的方差 ，乙組數(shù)據(jù)的方差 ，則乙組數(shù)據(jù)比甲組數(shù)據(jù)穩(wěn)定
答案：C
解析：由概率的意義，知A錯；全國中學(xué)生較多，應(yīng)采用抽樣調(diào)查，故B也錯；經(jīng)驗(yàn)證C正確；方差小的穩(wěn)定，在D中，應(yīng)該是甲較穩(wěn)定，故D錯。
8．如圖，一條公路的轉(zhuǎn)變處是一段圓�。�即圖中弧CD，點(diǎn)O是弧CD的圓心），其中CD=600米，E為弧CD上一點(diǎn)，且OE⊥CD，垂足為F，OF= 米，則這段彎路的長度為（　）
A．200π米 B．100π米
C．400π米 D．300π米
答案：A
解析：CF＝300，OF＝ ，所以，∠COF＝30°，∠COD＝60°，
OC＝600，因此，弧CD的長為： ＝200π米
9．如圖，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=3，BC=4，點(diǎn)D在BC上，以AC為對角線的所有□ADCE中，DE最小的值是（　 ）
A．2 B．3
C．4 D．5
答案：B
解析：由勾股定理，得AC＝5，因?yàn)槠叫羞呅蔚膶�角線互相平分，所以，DE一定經(jīng)過AC中點(diǎn)O，當(dāng)DE⊥BC時，DE最小，此時OD＝ ，所以最小值DE＝3
10．二次函數(shù) 的圖象如圖所示，反比例函數(shù) 與一次函數(shù) 在同一平面直角坐標(biāo)系中的大致圖象是（ 　 ）
答案：B
解析：由二次函數(shù)圖象，知a＜0，c＞0， ＞0，所以，b＞0，
所以，反比例函數(shù)圖象在一、三象限，排除C、D，直線y＝cx＋a中，因?yàn)閍＜0，所以，選B。
第II卷（非選擇題，共90分）
二．題：（本題6個小題，每小題3分，共18分。把最后答案直接填在題中的橫線上）
11．分解因式： =_　　　　　_.
答案：x（x＋3）（x－3）
解析：原式＝x（x2－9）＝x（x＋3）（x－3）
12．某校在今年“五?四”開展了“好書伴我成長”的讀書活動。為了解八年級450名學(xué)生的讀書情況，隨機(jī)調(diào)查了八年級50名學(xué)生本學(xué)期讀書冊數(shù)，并將統(tǒng)計數(shù)據(jù)制成了扇形統(tǒng)計圖，則該校八年級學(xué)生讀書冊數(shù)等于3冊的約有　　　名。
答案：162
解析：讀書冊數(shù)等于3的約占比例：1－6%－24%－30%－6%＝36%，
36%×450＝162
13．點(diǎn) 、 在反比例函數(shù) 的圖象上，當(dāng) 時， ,則k的取值可以是___　_（只填一個符合條件的k的值）.
答案：－1
解析：由題知，y隨x的增大而增大，故k是負(fù)數(shù)，此題答案不唯一。
14．如果實(shí)數(shù)x滿足 ，那么代數(shù)式 的值為_　　_.
答案：5
解析：由知，得 ＝3，原式＝ ＝5。
15．如圖，折疊矩形紙片ABCD，使B點(diǎn)落在AD上一點(diǎn)E處，折痕的兩端點(diǎn)分別在AB、BC上（含端點(diǎn)），且AB=6，BC=10。設(shè)AE=x，則x 的取值范圍是　　　　.
答案：2≤x≤6
解析：如圖，設(shè)AG＝y(tǒng)，則BG＝6－y，在Rt△GAE中，
x2＋y2＝（6－y）2，即 （ ，當(dāng)y＝0時，x取最大值為6；當(dāng)y＝ 時,x取最小值2，故有2≤x≤6
16．如圖，在△ABC中，∠A=m°，∠ABC和∠ACD的平分線交于點(diǎn)A1，得∠A1；∠A1BC和∠A1CD的平分線交于點(diǎn)A2，得∠A2；…∠A2014BC和∠A2014CD的平分線交于點(diǎn)A2013，則∠A2013=　　　　度。
答案：
解析：∵A1B、A1C分別平分∠ABC和∠ACD，
∴∠ACD=k∠A1CD，∠ABC=2∠A1BC，
而∠A1CD=∠A1+∠A1BC，∠ACD=∠ABC+∠A，
∴∠A=2∠A1，∴∠A1= ，
同理可得∠A1=2∠A2，即∠A=22∠A2，∴∠A2= ，
所以，猜想：∠A2013=
三．解答題（72分，解答時應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟）
（一）（本題2個小題，共13分）
17．（6分）計算：
解析：原式＝1＋2 － ＋9＝10＋
18．（7分）釣魚島自古以來就是中國領(lǐng)土。中國有關(guān)部門已對釣魚島及其附屬島嶼開展常態(tài)化監(jiān)視監(jiān)測。如圖，E、F為釣魚島東西兩端。某日，中國一艘海監(jiān)船從A點(diǎn)向正北方向巡航，其航線距離釣魚島最近距離CF= 公里，在A點(diǎn)測得釣魚島最西端F在最東端E的東北方向（C、F、E在同一直線上）。求釣魚島東西兩端的距離。（ ， ，結(jié)果精確到0.1）
解析：
由題知，在Rt△ACF中，∠ACF=90°,
∠A=30°，CF=20 公里.
∴cot30°= .
解得，AC=60（公里）.………………………(2分)
又∵E在B的東北方向，且∠ACF=90°
∴∠E=∠CBE=45°，
∴CE=CB.………………………………………………(4分)
又∵CB=AC-AB=60-22=38(公里)，
∴CE=38公里.………………………(5分)
∴EF=CE-CF=38-20 ≈3.4（公里）………………………(6分)
答：釣魚島東西兩端的距離約為3.4公里.………………………(7分)
（二）（本題2個小題，共14分）
19．（7分）已知 ，則
……
已知 ，求n的值。
解析：由題知
f(1)+f(2)+f(3)+…+f(n)
= + + +…+
=1- + - + - +…+ -
=1- ………………………(4分）
= .………………………(4分）
又∵f(1)+f(2)+f(3)+…+f(n)= ,
∴ = .
解得n=14.………………………(6分）
經(jīng)檢驗(yàn)，n=14是上述方程的解.
故n的值為14.………………………(7分）
20．（7分）某中學(xué)舉行“中國夢?我的夢”演講比賽。志遠(yuǎn)班的班長和學(xué)習(xí)委員都想去，于是老師制作了四張標(biāo)有算式的卡片，背面朝上洗勻后，先由班長抽一張，再由學(xué)習(xí)委員在余下三張中抽一張。如果兩張卡片上的算式都正確，班長去；如果兩張卡片上的算式都錯誤，學(xué)習(xí)委員去；如果兩張卡片上的算式一個正確一處錯誤，則都放回去，背面朝上洗勻后再抽。
這個游戲公平嗎？請用樹狀圖或列表的方法，結(jié)合概率予以說明。
解析：公平.………………………(1分)
用列表法或樹狀圖列出該事件的等可能情況如下：
由此可知該事件共有12種等可能結(jié)果.………………………(4分)
∵四張卡片中，A、B中的算式錯誤，C、D中的算式正確，
∴都正確的有CD、DC兩種，都錯誤的有AB、BA兩種.………………………(5分)
∴班長去的概率P（班長去）= = ，
學(xué)習(xí)委員去的概率P（學(xué)習(xí)委員去）= = ，
P（班長去）=P（學(xué)習(xí)委員去)
∴這個游戲公平.………………………(7分)
（三）（本題2個小題，共16分）
21．（8分）已知反比例函數(shù) 的圖象與一次函數(shù) 的圖象交于A 、B 兩點(diǎn)，連結(jié)AO。
（1）求反比例函數(shù)和一次函數(shù)的表達(dá)式；
（2）設(shè)點(diǎn)C在y軸上，且與點(diǎn)A、O構(gòu)成等腰三角形，請直接寫出點(diǎn)C的坐標(biāo)。
解析：
(1)∵y= 的圖像過點(diǎn)（ ，-3），
∴k1=3xy=3× ×(-3)=-3.
∴反比例函數(shù)為y .………………………(1分）
∴a= =1，
∴A（-1,1）.………………………(2分）
∴
解得
∴一次函數(shù)為y=-3x-2.………………………(4分）
16、C(0, )、………………………(5分）
或（0，- ）、………………………(6分）
或（0,1）、………………………(7分）
或（0，2）.………………………(8分）
22．（8分）選取二次三項(xiàng)式 中的兩項(xiàng)，配成完全平方式的過程叫配方。例如
①選取二次項(xiàng)和一次項(xiàng)配方： ；
②選取二次項(xiàng)和常數(shù)項(xiàng)配方： ，
或
③選取一次項(xiàng)和常數(shù)項(xiàng)配方：
根據(jù)上述材料，解決下面問題：
（1）寫出 的兩種不同形式的配方；
（2）已知 ，求 的值。
解析：：（1） ＝x2-8x+16-16+4=(x-4)2-12
或 ＝（x-2）2-4x
(2)
X=-1,y=2.因此xy=(-1)2=1
（四）（本題2個小題，共17分）
23．（8分）今年，6月12日為端午節(jié)。在端午節(jié)前夕，三位同學(xué)到某超市調(diào)研一種進(jìn)價為2元的粽子的銷售情況。請根據(jù)小麗提供的信息，解答小華和小明提出的問題。
（1）小華的問題解答：
解析：（1）解：設(shè)實(shí)現(xiàn)每天800元利潤的定價為x元/個，根據(jù)題意，得
（x-2)（500- ×10）=800 .………………………(2分）
整理得：x2-10x+24=0.
解之得：x1=4,x2=6.………………………(3分）
∵物價局規(guī)定，售價不能超過進(jìn)價的240%，即2×240%=4.8（元）.
∴x2=6不合題意,舍去,得x=4.
答：應(yīng)定價4元/個，才可獲得800元的利潤.………………………(4分）
（2）解：設(shè)每天利潤為W元，定價為x元/個，得
W=（x-2)(500- ×10)
=-100x2+1000x-1600
=-100(x-5)2+900.………………………(6分）
∵x≤5時W隨x的增大而增大,且x≤4.8，
∴當(dāng)x=4.8 時，W最大，
W最大=-100×（4.8-5)2+900=896＞800 .………………………(7分）
故800元不是最大利潤.當(dāng)定價為4.8元/個時，每天利潤最大.………………………(8分）
24．（9分）通過類比聯(lián)想、引申拓展研究典型題目，可達(dá)到解一題知一類的目的。下面是一個案例，請補(bǔ)充完整。
FF
原題：如圖1，點(diǎn)E、F分別在正方形ABCD的邊BC、CD上，∠EAF=45°，連接EF，則EF=BE+DF，試說明理由。
（1）思路梳理
∵AB=CD，
∴把△ABE繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)90°至△ADG，可使AB與AD重合。
∵∠ADC=∠B=90°，
∴∠FDG=180°，點(diǎn)F、D、G共線。
根據(jù)__SAS__________，易證△AFG≌_△AFE_______，得EF=BE+DF。
（2）類比引申
如圖2，四邊形ABCD中，AB=AD，∠BAD=90°點(diǎn)E、F分別在邊BC、CD上，∠EAF=45°。若∠B、∠D都不是直角，則當(dāng)∠B與∠D滿足等量關(guān)系_互補(bǔ)___時，仍有EF=BE+DF。
（3）聯(lián)想拓展
如圖3，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，點(diǎn)D、E均在邊BC上，且∠DAE=45°。猜想BD、DE、EC應(yīng)滿足的等量關(guān)系，并寫出推理過程。
解：BD2+EC2=DE2
解析：(1)SAS………………………(1分）
△AFE………………………(2分）
(2)∠B+∠D=180°………………………(4分）
(3)解：BD2+EC2=DE2.………………………(5分）
∵AB=AC，
∴把△ABD繞A點(diǎn)逆時針旋轉(zhuǎn)90°至△ACG，可使AB與AC重合.
∵△ABC中，∠BAC=90°.
∴∠ACB+∠ACG=∠ACB+∠B=90°,即∠ECG=90°.
∴EC2+CG2=EG2.………………………(7分）
在△AEG與△AED中,
∠EAG=∠EAC+∠CAG=∠EAC+∠BAD=90°-∠EAD=45°=∠EAD,
又∵AD=AG，AE=AE，
∴△AEG≌△AED.
∴DE=EG.又∵CG=BD,
∴BD2+EC2=DE2.………………………(9分）
（五）（本題12分）
25．如圖，在直角體系中，直線AB交x軸于點(diǎn)A（5，0），交y軸于點(diǎn)B，AO是⊙M的直徑，其半圓交AB于點(diǎn)C，且AC=3。取BO的中點(diǎn)D，連接CD、MD和OC。
（1）求證：CD是⊙M的切線；
（2）二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)D、M、A，其對稱軸上有一動點(diǎn)P，連接PD、PM，求△PDM的周長最小時點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）在（2）的條件下，當(dāng)△PDM的周長最小時，拋物線上是否存在點(diǎn)Q，使 ？若存在，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由。
解析：（1）證明：連結(jié)CM.
∵OA 為⊙M直徑,
∴∠OCA=90°.
∴∠OCB=90°.
∵D為OB中點(diǎn),
∴DC=DO.
∴∠DCO=∠DOC.………………………(1分）
∵M(jìn)O=MC,
∴∠MCO=∠MOC.………………………(2分）
∴∠DCM=∠DCO+∠MCO=∠DOC+∠MOC=∠DOM=90°.………………………(3分）
又∵點(diǎn)C在⊙M上，
∴DC是⊙M的切線.………………………(4分）
（2）解：在Rt△ACO中,有OC= .
又∵A點(diǎn)坐標(biāo)（5，0）, AC=3,
∴OC= =4.
∴tan∠OAC= .
∴ .解得 OB= .
又∵D為OB中點(diǎn)，∴OD= .
D點(diǎn)坐標(biāo)為（0， ).………………………(5分）
連接AD，設(shè)直線AD的解析式為y=kx+b,則有
j解得
∴直線AD為y=- x+ .
∵二次函數(shù)的圖象過M（ ,0)、A(5,0)，
∴拋物線對稱軸x= .………………………(6分）
∵點(diǎn)M、A關(guān)于直線x= 對稱，設(shè)直線AD與直線x= 交于點(diǎn)P,
∴PD+PM為最小.
又∵DM為定長，
∴滿足條件的點(diǎn)P為直線AD與直線x= 的交點(diǎn).………………………(7分）
當(dāng)x= 時,y=- + = .
故P點(diǎn)的坐標(biāo)為（ ， ）.………………………(8分）
（3）解：存在.
∵S△PDM=S△DAM-S△PAM
= AM?yD- AM?yP
= AM(yD-yp).
S△QAM= AM? ,由（2）知D（0， ),P( ， ）,
∴ ×（ - ）=yQ 解得yQ=± ………………………(9分）
∵二次函數(shù)的圖像過M(0， )、A(5，0），
∴設(shè)二次函數(shù)解析式為y=a(x- )（x-5).
又∵該圖象過點(diǎn)D（0， )，
a×(- ）×(-5)= ，a= .
∴y= (x- )(x-5).………………………(10分）
又∵C點(diǎn)在拋物線上，且yQ=± ，
∴ (x- )(x-5)=± .
解之，得x1= ，x2= ，x3= .


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