常州市2013中考數(shù)學(xué)試卷分析
數(shù) 學(xué) 試 題
注意事項：
1.本試卷共6頁，全卷滿分120分，考試時間為20分鐘，考生將答案全部填寫在答題卡位置上，寫在本試卷上無效，考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回，考試時不允許使用計算器。
2.答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、考試證號填寫在試卷上，并趕寫好答題卡上的考生信息。
3.作圖必須用2B鉛筆，并加黑加粗，清楚。
一．（本大題共有8小題，每小題2分，共16分，在每小題所給的四個選項中，只有一項是正確的）
1.在下列實數(shù)中，無理數(shù)是 （ ）
A．2B．3.14C． D．
答案:D
解析：無理數(shù)指無限不循環(huán)小數(shù)，而A、B、C分別是整數(shù)、有理數(shù)、分?jǐn)?shù)，而D是無理數(shù)。
2.如圖所示圓柱的左視圖是 （ ）
A．B．C．D．
答案：C
解析：圓柱體：正視圖是長方形，左視圖是長方形，俯視圖是圓形
3. 下列函數(shù)中，圖像經(jīng)過點（1，-1)的反比例函數(shù)關(guān)系式是 （ ）
A. B. C. D.
答案：A
解析：將點坐標(biāo)帶入各個選項中，發(fā)現(xiàn)只有A選項符合
4.下列計算中，正確的是 （ ）
A．（a3b）2=a6b2B．a(chǎn)*a4=a4C．a(chǎn)6÷a2=a3D．3a+2b=5ab
答案：A
解析：冪運算公式的應(yīng)用，B為a的5次方，C為a的4次方，D為原式
5.已知：甲乙兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)都是5，甲組數(shù)據(jù)的方差 ，乙組數(shù)據(jù)的方差 ，下列結(jié)論中正確的是 （ ）
A．甲組數(shù)據(jù)比乙組數(shù)據(jù)的波動大B．乙組數(shù)據(jù)的比甲組數(shù)據(jù)的波動大C．甲組數(shù)據(jù)與乙組數(shù)據(jù)的波動一樣大D．甲組數(shù)據(jù)與乙組數(shù)據(jù)的波動不能比較
答案：B
解析：當(dāng)均值相同時，方差越大，成績越不穩(wěn)定，反之亦然。
6.已知⊙O的半徑是6，點O到直線l的距離為5，則直線l與⊙O的位置關(guān)系是（ ）
A．相離B．相切C．相交D．無法判斷
答案：C
解析：圓半徑為6，圓心到直線距離為5，當(dāng)圓心到直線距離小于半徑時，直線與圓相交。
7.二次函數(shù) （a、b、c為常數(shù)且a≠0）中的x與y的部分對應(yīng)值如下表：
x-3-2-1012345
y1250-3-4-30512
給出了結(jié)論：
(1)二次函數(shù) 有最小值，最小值為-3；
(2)當(dāng) 時，y<0;
(3)二次函數(shù) 的圖象與x軸有兩個交點，且它們分別在y軸兩側(cè)。
則其中正確結(jié)論的個數(shù)是 （ ）
A．3B．2C．1D．0
答案：B
解析：將（-1,0），（0，-3），（3,0）代入解析式，得到二次函數(shù)為 ，配方后二次函數(shù)變?yōu)?，所以函數(shù)最小值為-4；此題可以借助二次函數(shù)圖像，很容易看出（2）、（3）是對的；所以正確的有2個
8.有3張邊長為a的正方形紙片，4張邊分別為a、b(b>a)的矩形紙片，5張邊長為b的正方形紙片，從其中取出若干張紙片，每種紙片至少取一張，把取出的這些紙片拼成一個正方形（按原紙乍進行無空隙、無重疊拼接），則拼成的正方形的邊長最長可以為
（ ）
A．a(chǎn)+bB．2a+bC．3a+bD．a(chǎn)+2b
答案：D
解析：將各個選項進行完全平方展開，C首先排除，需要9個正方形才行，A、B、D都可以，但是由于b>a，所以表達式中b越大，則面積越大，故選D
二．題（本大題共有9小題，第9小題4分，其余8小題每小題2分，共20分，不需寫出解答過程，請把答案直接填寫在答題卡相應(yīng)的位置上）
9.計算-(-3)=____3____,-3=___3____,(-3)-1=___-4____,(-3)2=___-6____.
解析：考查絕對值及相反數(shù)的運算。
10.已知點P（3，2），則點P關(guān)于y軸的對稱點P1的坐標(biāo)是_（-3,2）_____,點P關(guān)于原點O的對稱點P2的坐標(biāo)是_（-3，-2）_______.
解析：考查點關(guān)于x軸、y軸及原點對稱問題。
11.已知一次函數(shù)y=kx+b(k、b為常數(shù)且k≠0)的圖象經(jīng)過點A（0,-2）和點B（1,0），則 k=___2___，b=__-2____。
解析：一次函數(shù)，利用待定系數(shù)法，將A，B兩點代入一次函數(shù)解析式可得k與b
12.已知扇形的半徑為6cm，圓心角為150°，則此扇形的弧長是__5π____cm，扇形的面積是____15π____cm2（結(jié)果保留π）。
解析：求有關(guān)弧長、面積問題，扇形弧長l= ，扇形面積=
13.函數(shù)y= 中自變量x的取值范圍是__x_>=3_____，若分式 的值為0，則x=_ ___。
解析：二次根式及分式的概念
14.我市某一周的每一天的最高氣溫統(tǒng)計如下表：
最高氣溫（℃）25262728
天數(shù)1123
則這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是__27______，眾數(shù)是___28____。
解析：考查中位數(shù)、眾數(shù)基本概念
15.已知x=-1是關(guān)于x的方程2x2+ax-a2=0的一個根，則a=_-2或1
______。
解析：本題主要考察一元二次方程知識點，首先可以根據(jù)x的解代入方程，得到a2+a-2=0，轉(zhuǎn)化為關(guān)于a的一元二次方程，從而可根據(jù)一元二次方程的四種解法解出a的值，用因式分解法頗為簡單
16.如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，∠BAC=120°，AB=AC，BD為⊙O的直徑，AD=6，則DC=___ _____.
解析：考查圓內(nèi)相關(guān)問題。由∠BAC=120°，AB=AC得∠C=30°，則∠D=30°，
由直徑所對的圓周角為直角得AB= ，∠DBC=30°，在同圓中圓周角所對的弦相等得AB=CD
17.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知第一象限內(nèi)的點A在反比例函數(shù) 的圖象上，第二象限內(nèi)的點B在反比例函數(shù) 的圖象上，連接OA、OB，若OA⊥OB，OB= OA，則k=__ _____.
解析：考查反比例函數(shù)，相似的性質(zhì)。過點A作AC垂直x軸交與C點，過點B作BD垂直與x軸于D點，由已知得 ，由OB= OA得 ，又
三、解答題（本大題共2小題，共18分）
18.化簡（每小題4分，共8分）
解析：=2－1＋1
=2
本題目主要考察平方根、冪的運算和銳角三角函數(shù)最基本的知識點，屬于簡單題
解析：本題目主要考察分式的化簡習(xí)題，首先要去尋找分母的最小公倍數(shù)，需要注意的是當(dāng)把后面分式的分母x+2化為x2－4時，分母上此時變?yōu)閤－2，這時候減去的需要時一個整體－（x－2）
19.解方程組和不等式組：（每小題5分，共10分）
解析：本題目主要考察二元一次方程的解法，我們可以采用代入消元法或加減消元法去做
法一：我們可以把x用y代替，或把y用x代替，代入另外一個式子，從而解出其中一個字母，最后解出另外一個，此方法為代入消元法
法二：我們可以把x或y前面的系數(shù)化為相等或相反的數(shù)，從而再把他們相減或相加，起到消元的效果，此方法為加減消元法
解析：此題目主要考察解分式方程，解分式方程的中心思想是要把分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程，最終還要把結(jié)果進行檢驗，以免產(chǎn)生增根
四、解答題（本大題共2小題，共15分請在答題卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答或?qū)懗鑫淖终f明及演算步驟）
20.（本小題滿分7分）
為保證中小學(xué)生每天鍛煉一小時，某校開展了形式多樣的體育活動項目，小明對某班同學(xué)參加鍛煉的情況進行了統(tǒng)計，并繪制了下面的統(tǒng)計圖（1）和圖（2）。
（1）請根據(jù)所給信息在圖（1）中將表示“乒乓球”項目的圖形補充完整；
（2）扇形統(tǒng)計圖（2）中表示”足球”項目扇形的圓心角度數(shù)為____72°____.
解析：本題目主要考察統(tǒng)計相關(guān)知識點，思路簡單，主要思路為根據(jù)已知某項具體的人數(shù)及所占的比例求出總的人數(shù)，可算出各自所占的百分比，最后算出對應(yīng)的圓心角的度數(shù)。該題屬于基礎(chǔ)型題。
21.（本小題滿分8分）
一只不透明的箱子里共有3個球，其中2個白球，1個紅球，它們除顏色外均相同。
（1）從箱子中隨機摸出一個球是白球的概率是多少？
(2 ) 從箱子中隨機摸出一個球，，記錄下顏色后不將它放回箱子，攪勻后再摸出一個球，
求兩次摸出的球都是白球的概率，并畫出樹狀圖。
解：（1）∵共有3個球，2個白球，
∴隨機摸出一個球是白球的概率為2/3
（2）根據(jù)題意畫出樹狀圖如下：
一共有6種情況，兩次摸出的球都是白球的情況有2種，
所以，P（兩次摸出的球都是白球）=2/6=1/3．
解析：此題目是和概率相關(guān)的題目，考察學(xué)科對樹狀圖和列表法的理解；始終遵循一個原則：分母上為總的可能性，分子上為符合題目意思的可能性，在第二問中需要注意的是他是有放回的，所以共有9種選擇。
五．解答題（本大題共2小時，共13分，請在答題卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答應(yīng)寫出證明過程）
22．（本小題滿分6分）
如圖，C是AB的中點，AD=BE，CD=CE。
求證：∠A=∠B。
23.如圖，在△ABC中，AB=AC，∠B=60°，∠FAC、∠ECA是△ABC的兩個外角，AD平分∠FAC，CD平分∠ECA。
求證：四邊形ABCD是菱形。
解析：22、23兩題都是初中階段平面幾何的證明題。22題屬于容易題，通過AC=CB和CD=CE、AD=BE三個條件利用SSS證明全等；23題屬于中等偏容易的題型，由AB=AC，∠B=60°以及兩個外角的條件，通過平分可以得知△ACD也是等邊，從而原題得證。
六．解答題（本大題共2小題，請在答題卡指定區(qū)域內(nèi)作答，共13分）
24.在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=1，BC= ，點O為Rt△ABC內(nèi)一點，連接A0、BO、CO,且∠AOC=∠COB=BOA=120°，按下列要求畫圖（保留畫圖痕跡）：
以點B為旋轉(zhuǎn)中心，將△AOB繞點B順時針方向旋轉(zhuǎn)60°，得到△A′O′B
（得到A、O的對應(yīng)點分別為點A′、O′），并回答下列問題：
∠ABC=___30°___,∠A′BC=___90°__,OA+OB+OC=__ __.
解析：解直角三角形求出∠ABC=30°，然后過點B作BC的垂線，在截取A′B=AB，再以點A′為圓心，以AO為半徑畫弧，以點B為圓心，以BO為半徑畫弧，兩弧相交于點O′，連接A′O′、BO′，即可得到△A′O′B；根據(jù)旋轉(zhuǎn)角與∠ABC的度數(shù)，相加即可得到∠A′BC；
根據(jù)直角三角形30°角所對的直角邊等于斜邊的一半求出AB=2AC，即A′B的長，再根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)求出△BOO′是等邊三角形，根據(jù)等邊三角形的三條邊都相等可得BO=OO′，等邊三角形三個角都是60°求出∠BOO′=∠BO′O=60°，然后求出C、O、A′、O′四點共線，再利用勾股定理列式求出A′C，從而得到OA+OB+OC=A′C．
25.（本小題滿分7分）
某飲料廠以300千克的A種果汁和240千克的B種果汁為原料，配制生產(chǎn)甲、乙兩種新型飲料，已知每千克甲種飲料含0.6千克A種果汁，含0.3千克B種果汁；每千克乙種飲料含0.2千克A種果汁，含0.4千克B種果汁。飲料廠計劃生產(chǎn)甲、乙兩種新型飲料共650千克，設(shè)該廠生產(chǎn)甲咱飲料x（千克）。
（1）列出滿足題意的關(guān)于x的不等式組，并求出x的取值范圍；
（2）已知該飲料廠的甲種飲料銷售價是每1千克3元，乙種飲料銷售價是每1千克4元，那么該飲料廠生產(chǎn)甲、乙兩種飲料各多少千克，才能使得這批飲料銷售總金額最大？
解：（1）設(shè)該廠生產(chǎn)甲種飲料x千克，則生產(chǎn)乙種飲料（650-x）千克，根據(jù)題意得，
0.6x+0.2(650-x)≤300①
0.3x+0.4(650-x)≤240②
由①得，x≤425，
由②得，x≥200，
所以，x的取值范圍是200≤x≤425；
（2）設(shè)這批飲料銷售總金額為y元，
根據(jù)題意得，y=3x+4（650-x）=3x+2600-4x=-x+2600，
即y=-x+2600，
∵k=-1＜0，
∴當(dāng)x=200時，這批飲料銷售總金額最大，為-200+2600=2400元．
解析：本題考查了一次函數(shù)的應(yīng)用，列一元一次不等式組解實際問題，根據(jù)A、B果汁的數(shù)量列出不等式組是解題的關(guān)鍵，（2）主要利用了一次函數(shù)的增減性．
七．解答題（本大題共3小題，共25分，解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）
26（本小題滿分6分）
用水平線和豎起線將平面分成若干個邊長為1的小正方形格子，小正方形的頂點稱為格點，以格點為頂點的多邊形稱為格點多邊形。設(shè)格點多邊形的面積為S，該多邊形各邊上的格點個數(shù)和為a,內(nèi)部的格點個數(shù)為b，則 (史稱“皮克公式”).
小明認(rèn)真研究了“皮克公式”，并受此啟發(fā)對正三角開形網(wǎng)格中的類似問題進行探究：正三角形網(wǎng)格中每個小正三角形面積為1，小正三角形的頂點為格點，以格點為頂點的多邊形稱為格點多邊形，下圖是該正三角形格點中的兩個多邊形：
根據(jù)圖中提供的信息填表：
格點多邊形各邊上的格點的個數(shù)格點邊多邊形內(nèi)部的格點個數(shù)格點多邊形的面積
多邊形1818
多邊形27311
…………
一般格點多邊形abS
則S與a、b之間的關(guān)系為S=____S=a+2（b-1）______(用含a、b的代數(shù)式表示)。
解析：考查了作圖-應(yīng)用與設(shè)計作圖．此題需要根據(jù)圖中表格和自己所算得的數(shù)據(jù)，總結(jié)出規(guī)律．尋找規(guī)律是一件比較困難的活動，需要仔細(xì)觀察和大量的驗算．
27.（本小題滿分9分）
在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點A（6，0）,點B(0,6)，動點C在以半徑為3的⊙O上，連接OC,過O點作OD⊥OC,OD與⊙O相交于點D（其中點C、O、D按逆時針方向排列），連接AB。
（1）當(dāng)OC∥AB時，∠BOC的度數(shù)為____45°或135°___;
（2）連接AC，BC，當(dāng)點C在⊙O上運動到什么位置時，△ABC的面積最大？并求出△ABC的面積的最大值。
（3）連接AD，當(dāng)OC∥AD時，
①求出點C的坐標(biāo)；②直線BC是否為⊙O的切線？請作出判斷，并說明理由。
解析：作為壓軸題之一，27題考查了圓中的動態(tài)問題，同時對考生圖形的旋轉(zhuǎn)帶來的變化提出了較高的能力要求。（1）較為容易，Rt△ABO是明顯的等腰直角三角形；
（1）根據(jù)點A和點B坐標(biāo)易得△OAB為等腰直角三角形，則∠OBA=45°，由于OC∥AB，所以當(dāng)C點在y軸左側(cè)時，有∠BOC=∠OBA=45°；當(dāng)C點在y軸右側(cè)時，有∠BOC=180°-∠OBA=135°；
（2），根據(jù)三角形面積公式得到當(dāng)點C到AB的距離最大時，△ABC的面積最大，過O點作OE⊥AB于E，OE的反向延長線交⊙O于C，此時C點到AB的距離的最大值為CE的長然后利用等腰直角三角形的性質(zhì)計算出OE，然后計算△ABC的面積；
（3）①過C點作CF⊥x軸于F，易證Rt△OCF∽Rt△AOD，則CF= ，所以∠COF=30°，則可得到∴BOC=60°，∠AOD=60°，然后根據(jù)“SAS”判斷△BOC≌△AOD，所以∠BCO=∠ADC=90°，再根據(jù)切線的判定定理可確定直線BC為⊙O的切線．
28.(本小題滿分10分)
在平面直角坐標(biāo)系xOy中，一次函數(shù)y=2x+2的圖象與x軸交于A，與y軸交于點C，點B的坐標(biāo)為(a,0),(其中a>0),直線l過動點M(0,m)(0(1)寫出A、C兩點的坐標(biāo)；
(2)當(dāng)0

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