“補(bǔ)形法”是解幾何題常用的重要之一。所謂“補(bǔ)形”，就是根據(jù)題目的條件和圖形，經(jīng)過(guò)觀察、分析和聯(lián)想，運(yùn)用添加輔助線的，使之轉(zhuǎn)化為熟悉的基本圖形，從而可溝通條件和結(jié)論之間的聯(lián)系，為解題開(kāi)辟了新的途徑和，達(dá)到了解題的目的。下面舉例說(shuō)明補(bǔ)形法的應(yīng)用。
1、補(bǔ)成三角形
例1 如圖1，在四邊形ABCD中，∠B=∠D=90°，∠A=60°，AB=4，AD=5。求。

圖1
解：延長(zhǎng)AD、BC交于點(diǎn)E（如圖1），由條件可知
∠E=30°
所以，

于是
所以
故
例2 如圖2，在△ABC中，E是BC的中點(diǎn)，D在AC邊上，若∠BAC=60°，∠ACB=20°，∠DEC=80°，AC=1，求。

圖2
解：延長(zhǎng)AB到F，使AF=AC，連結(jié)FC，由∠BAC=60°，得
△ACF是等邊三角形。
作∠BCF的平分線CG，交AF于G點(diǎn)，則
∠1=∠2=∠3=20°，
∠GBC=∠A+∠2=60°+20°=80°=∠DEC
所以
又
所以
于是

2、補(bǔ)成平行四邊形
例3 如圖3，六邊形ABCDEF的六個(gè)內(nèi)角相等，且AB+BC=11，AF－CD=3，求BC+DE的值。

圖3
分析：由六邊形ABCDEF的六個(gè)內(nèi)角相等，得六邊形ABCDEF的內(nèi)角都是120°。
延長(zhǎng)FA、CB交于P點(diǎn)，延長(zhǎng)CD、FE交于Q點(diǎn)，則四邊形CQFP是平行四邊形，△ABP、△DEQ是等邊三角形。
于是有PA+AF=CD+DQ
所以
又
所以
又AB+BC=11
所以BC+DE=14
3、補(bǔ)成菱形
例4 如圖4，凸五邊形ABCDE中，∠A=∠B=120°，EA=AB=BC=2，CD=DE=4。求。

圖4
解：延長(zhǎng)EA、CB交于F點(diǎn)。由∠A=∠B=120°易得△ABF是等邊三角形，
所以四邊形CDEF是菱形，
故

4、補(bǔ)成矩形
例5 八邊形ABCDEFGH的八個(gè)內(nèi)角都相等，各邊長(zhǎng)度如圖5所示，求八邊形ABCDEFGH的周長(zhǎng)。

圖5
解：由八邊形ABCDEFGH的八個(gè)內(nèi)角相等，得其內(nèi)角都是135°。
延長(zhǎng)AB、DC交于M點(diǎn)，延長(zhǎng)CD、FE交于N點(diǎn)，延長(zhǎng)EF、HG交于P點(diǎn)，延長(zhǎng)GH、BA交于Q點(diǎn)，則MNPQ是矩形，△BCM、△DEN、△FGP、△AHQ均為等腰直角三角形。
設(shè)AH=x，GH=y
由MQ=NP，MN=PQ，得


所以
故八邊形ABCDEFGH的周長(zhǎng)。
5、補(bǔ)成正方形
例6 如圖6，在△ABC中，∠BAC=45°，AD⊥BC于D，BD=2，CD=3，求。

圖6
分析：由于∠BAC=45°，分別將△BAD、△CAD沿AB、AC向外翻折至△BAF、△CAE處，延長(zhǎng)FB、EC交于G點(diǎn)，則四邊形AEGF是正方形。
設(shè)AD=x，則
在△BCG中，
即
解得或（舍去）
所以
6、補(bǔ)成梯形
例7 如圖7，四邊形ABCD中，∠ABC=135°，∠BCD=120°，，，CD=6，求AD。

圖7
分析：由于∠ABC=135°，∠BCD=120°，故可過(guò)點(diǎn)A作AE垂直于CB的延長(zhǎng)線于E，過(guò)點(diǎn)D作DF垂直于BC的延長(zhǎng)線于F，則△ABE是等腰直角三角形，△CDF是含30°角的直角三角形，所以四邊形ADFE是直角梯形。
過(guò)A作AM⊥DF于M，則




所以
7、補(bǔ)成正六邊形
例8 六個(gè)半徑為1的圓的位置如圖8所示，求中間沒(méi)被蓋住的空白部分的面積。

圖8
解：如圖8，連結(jié)相鄰兩圓的圓心，得六邊形ABCDEF是正六邊形。
故

8、補(bǔ)成整圓
例9 如圖9，半圓的O的直徑在梯形ABCD的下底AB上，且與其余三邊AD、DC、CB相切，若BC=2，AD=3，求AB的長(zhǎng)。

圖9
解：將半圓O補(bǔ)成整圓，作平行于AB的切線EF，交DA、CB的延長(zhǎng)線于E、F，則

AB是梯形CDEF的中位線，
故
從以上分析可以看出，“補(bǔ)形法”在解有關(guān)幾何題時(shí)，有它獨(dú)特的魅力，可以使解答簡(jiǎn)單流暢 中考，別具一格，使一些復(fù)雜的問(wèn)題迎刃而解。開(kāi)拓了的思路，提高了解題，對(duì)培養(yǎng)的也大有裨益。
練習(xí)：
1、六邊形ABCDEF的六個(gè)內(nèi)角都是120°，其連續(xù)四邊的長(zhǎng)分別是AB=3，BC=6，CD=5，DE=4，求六邊形ABCDEF的周長(zhǎng)和面積。
2、在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，D是AC上一點(diǎn)，且AE⊥BD的延長(zhǎng)線于E，。求證BD平分∠ABC。
3、四邊形ABCD中，AB=AC=AD=a，CD=b，AD//BC，求對(duì)角線BD的長(zhǎng)。
4、△ABC中，AD平分∠BAC，AD的垂直平分線EF交BC的延長(zhǎng)線于E。求證。
5、在四邊形ABCD中，∠BCD=∠CDA=120°，BC=5，CD=4，DA=6。求AB。
6、△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，P為形內(nèi)一點(diǎn)，BP=BA，∠ABP=30°，求證PA=PC。
答案：
1、補(bǔ)成等邊三角形，29；
2、補(bǔ)成等腰三角形
3、補(bǔ)成等腰梯形，
4、補(bǔ)成等腰三角形
5、補(bǔ)成矩形，
6、補(bǔ)成正方形。


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