轉(zhuǎn)化思想和構(gòu)造思想是中兩大基本的思想，本文就是想利用轉(zhuǎn)化思想最重要也是最有效的思想之一��轉(zhuǎn)化為已能解決的問(wèn)題來(lái)解競(jìng)賽題。本文以競(jìng)賽題目中經(jīng)常會(huì)出現(xiàn)一些關(guān)于素?cái)?shù)、帶余除法、完全平方數(shù)等問(wèn)題為著手點(diǎn)，這些都是屬于初等數(shù)論范疇，而且這些幾乎在每年競(jìng)賽題中都會(huì)出現(xiàn)，包括聯(lián)賽、冬令營(yíng)、中國(guó)國(guó)家隊(duì)選拔，乃至在IMO中都是必考的內(nèi)容，所以大家應(yīng)該對(duì)此給予重視。對(duì)于數(shù)論的，不能操之過(guò)急，應(yīng)該首先把數(shù)論的基礎(chǔ)和性質(zhì)認(rèn)真的系統(tǒng)的一遍，對(duì)競(jìng)賽中出現(xiàn)相應(yīng)的題目進(jìn)行反思，這一點(diǎn)是很重要的。我們一同來(lái)體會(huì)一下最近幾年全國(guó)和各省市競(jìng)賽題目中常見(jiàn)的問(wèn)題，如何把問(wèn)題轉(zhuǎn)化。
例1 設(shè)m是不能表示為三個(gè)互不相等的合數(shù)之和的最大整數(shù)，求m的值。
分析 我們不妨先求出三個(gè)互不相等的合數(shù)之和，即4+6+8=18，所以容易想到17是不能表示為三個(gè)互不相等的合數(shù)之和的最大整數(shù)。
解：由于4+6+8=18，故下面我們就來(lái)證明m的最大整數(shù)是17。
當(dāng)m>18時(shí)，若，則m>9

即任意大于18的整數(shù)均可以表示為三個(gè)互不相等的合數(shù)之和，故m=17
此題容易入手，逆向去考慮，采取極端性想法使問(wèn)題得以解決。
例2 求滿足等式的正整數(shù)x、y。
分析 此問(wèn)題容易想到因式分解，再加之問(wèn)題里有數(shù)2003，因?yàn)?003是質(zhì)數(shù)，這也是一個(gè)信息。
解：觀察式子特點(diǎn)不難得出


故所求的正整數(shù)對(duì)（x,y）=（1，2003），（2003，1）
此問(wèn)題考察的重點(diǎn)在于因式分解。
例3 如果對(duì)于不小于8的自然數(shù)n，當(dāng)3n+1是一個(gè)完全平方數(shù)時(shí)，n+1都能表示成k個(gè)完全平方數(shù)的和，那么k的最小值是________。
分析 我們采取分析法，因?yàn)槭且粋�(gè)完全平方數(shù)，所以設(shè)，再去推導(dǎo)n和a的關(guān)系，使問(wèn)題不斷得到解決。
解：由已知是一個(gè)完全平方數(shù)，所以我們就設(shè)，顯然不是3的倍數(shù)，于是，從而
即，所以k的最小值是3
此是解決數(shù)論問(wèn)題的一個(gè)常用的，也是基本的一個(gè)。
例4 設(shè)為完全平方數(shù)，且N不超過(guò)2392。求滿足上述條件的一切正整數(shù)對(duì)（x,y）共有________對(duì)。
分析此題與例3有相似之處，但是要難一些。首先用到了性質(zhì)8，然后再結(jié)合不等式解決此問(wèn)題。
解：，且23為素?cái)?shù)，N為不超過(guò)2392的完全平方數(shù)


所以共有（1，19），（2，15），（3，11），（4，7），（5，3）以及（1，88），（2，84），…，（22，4）
故滿足條件的（x,y）共有5+22=27對(duì)
此問(wèn)題用到了數(shù)論里常用的方法��不等式法。把一個(gè)整數(shù)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為不等式問(wèn)題，就會(huì)求出上（下）界，從而限定出所求數(shù)的范圍，同時(shí)又是整數(shù)，故而使問(wèn)題得以解決。
例5 已知方程的根都是整數(shù)，求整數(shù)n的值。
分析 已知方程的根是整數(shù)，所以先把根求出來(lái)，所以根號(hào)下的數(shù)就應(yīng)該是完全平方數(shù)，故此問(wèn)題得以解決。
解：由求根公式解得
因?yàn)榉匠痰母�都是整�?shù)
所以是完全平方數(shù)
設(shè)，則有

所以，分別解得整數(shù)n的值為10，0，－18，－8
此題的難點(diǎn)在于知道是完全平方數(shù)之后，如何分解它，實(shí)際上是在解一個(gè)不定方程問(wèn)題。
例6設(shè)四位數(shù)是一個(gè)完全平方數(shù)，且，求這個(gè)四位數(shù)。
解：設(shè)

由于67是質(zhì)數(shù)，故與中至少有一個(gè)是67的倍數(shù)



此問(wèn)題值得注意的是我們?cè)谠O(shè)未知數(shù)的時(shí)候，采取整體代換，即把看成整體，從而使問(wèn)題簡(jiǎn)化。
例7 一個(gè)自然數(shù)減去45及加上44都仍是完全平方數(shù)，求此數(shù)。
分析 此類型問(wèn)題在考試中出現(xiàn)多次，它的方法基本上是設(shè)出之后做差，然后運(yùn)用平方差公式分解，最后去解不定方程。
解：設(shè)此自然數(shù)為x，依題意可得

但89為質(zhì)數(shù)，它的正因子只能是1與89，于是
解之，得n=45。代入(2)得。故所求的自然數(shù)是1981。
此問(wèn)題是比較典型的，兩個(gè)式子三個(gè)未知數(shù)，感覺(jué)沒(méi)有辦法解決，但是一做差就是柳岸花明又一村，所以在一些問(wèn)題中我們經(jīng)常把幾個(gè)式子做差或者做和，來(lái)發(fā)現(xiàn)其中的奧妙。
在解決數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，我們要以不變（知識(shí)）去應(yīng)萬(wàn)變（問(wèn)法），不斷去探索，有時(shí)候我們可以用特值去驗(yàn)證結(jié)論，這樣就會(huì)有一個(gè)大致的方向，再通過(guò)不斷的把問(wèn)題轉(zhuǎn)化，從而解決數(shù)學(xué)問(wèn)題。


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