第04講： 基本不等式
高考《考試大綱》的要求：
① 了解基本不等式的證明過程
② 會用基本不等式解決簡單的最大（�。┲祮栴}
（一）基礎知識回顧：
1.定理1. 如果a,b ,那么 ，（當且僅當_______時，等號成立）.

2.定理2（基本不等式）：如果a,b>0,那么______________（當且僅當_______時，等號成立）.
稱_______為a,b的算術平均數，_____為a,b的幾何平均數。基本不等式又稱為________.
3. 基本不等式的幾何意義是：_________不小于_________. 如圖

4.利用基本不等式求最大（小）值時，要注意的問題：（一“正”；二“定”；三“相等”）
即: （1）和、積中的每一個數都必須是正數；
（2）求積的最大值時，應看和是否為定值；求和的最小值時，應看積是否為定值，；
簡記為：和定積最_____，積定和最______.
（3）只有等號能夠成立時，才有最值。
（二）例題分析：
例1．（2006陜西）設x、y為正數，則有(x+y)(1x＋4y)的最小值為（ ）
A．15 B．12C．9 D．6

例2．函數 的值域是_________________________.

　例3（2001江西、陜西、天津,全國、理） 設計一幅宣傳畫，要求畫面面積為4840cm2，畫面的寬與高的比為 ，畫面的上、下各有8cm空白，左、右各有5cm空白，怎樣確定畫面的高與寬尺寸，能使宣傳畫所用紙張的面積最��？

（三）基礎訓練：
1.設 且 則必有( )
(A) (B)
(C) (D)

2.（2004湖南理）設a＞0, b＞0，則以下不等式中不恒成立的是（ ）
（A） ≥4 （B） ≥
（C） ≥ （D） ≥
3.（2001春招北京、內蒙、安徽、理）若 為實數，且 ，則 的最小值是（ ）
（A）18 （B）6（C） （D）

4. 已知a,b ,下列不等式中不正確的是（ ）
�。ˋ） （B）
（C） （D）
5．（2005福建）下列結論正確的是（ ）
A．當 B．
C． 的最小值為2D．當 無最大值

6. 已知兩個正實數 滿足關系式 , 則 的最大值是_____________.

7.若 且 則 中最小的一個是__________.

8.（2005北京春招、理）經過長期觀測得到：在交通繁忙的時段內，某公路段汽車的車流量 （千輛/小時）與汽車的平均速度 （千米/小時）之間的函數關系為： 。
（1）在該時段內，當汽車的平均速度 為多少時，車流量最大？最大車流量為多少？（精確到 千輛/小時）
（2）若要求在該時段內車流量超過10千輛/小時，則汽車站的平均速度應在什么范圍內？

（四）拓展訓練：
1.(2000全國、江西、天津、廣東）若 ,P= ,Q= ,R= ,則（ ）
（A）R<P<Q　 （B）P<Q<R�。–）Q<P<R　�。―）P<R<Q

2．若正數a、b滿足ab=a+b+3，分別求ab與a+b的取值范圍。

參考答案
第04講： 基本不等式
（二）例題分析： 例1． C； 例2． ；
例3解：設畫面高為x cm，寬為λx cm，則λ x2 = 4840．
設紙張面積為S，有S = (x＋16) (λ x＋10)= λ x2＋(16λ＋10) x＋160，
將 代入上式，得 ．
當 時，即 時，S取得最小值．
此時，高： ，寬： ．
答：畫面高為88cm，寬為55cm時，能使所用紙張面積最小．
（三）基礎訓練： 1. B； 2. B； 3. B； 4. B 5．B； 6. 2 ; 7.
8. 解：（Ⅰ）依題意，

（Ⅱ）由條得
整理得v2－89v+1600<0, 即（v－25）（v－64）<0, 解得25<v<64.
答：當v=40千米/小時，車流量最大，最大車流量約為11.1千輛/小時.如果要求在該時段內車流量超過10千輛/小時，則汽車的平均速度應大于25千米/小時且小于64千米/小時．

（四）拓展訓練：1. B;
2．解：因為a、b是正數，所以 ，即 ，
法一：令 ，則 ，由ab=a+b+3≥2 +3，得 ，（t>0）
解得t≥3, 即 ，所以ab≥9,a+b=ab-3≥6.
法二：令 ，則由ab=a+b+3可知a+b+3 = ，得 ，（x>0）
整理得 ，又x>0，解得x≥6,即a+b≥6，所以ab=a+b+3≥9.

答： ab與a+b的取值范圍分別是 與 。

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