6.1頻率與概率
本節(jié)通過一個(gè)堂實(shí)驗(yàn)活動(dòng)，讓學(xué)生逐步計(jì)算一個(gè)隨機(jī)事發(fā)生的實(shí)驗(yàn)頻率，并觀察其規(guī)律性，從而歸納出實(shí)驗(yàn)頻率趨近于理論概率這一規(guī)律性，同時(shí)進(jìn)一步介紹一種計(jì)算概率的方法——列表法．實(shí)驗(yàn)頻率穩(wěn)定于理淪概率是本節(jié)乃至本的教學(xué)重點(diǎn)及難點(diǎn)之一，第二個(gè)重點(diǎn)則為能運(yùn)用樹狀圖或列表法計(jì)算簡單事發(fā)生的概率．因此在教學(xué)過程中應(yīng)注意：(1)注重學(xué)生的合作和交流活動(dòng)，在活動(dòng)中促進(jìn)知識(shí)的學(xué)習(xí)，并進(jìn)一步發(fā)展學(xué)生的合作交流意識(shí)和能力．這是社會(huì)迅猛發(fā)展的要求．同時(shí)．在本節(jié)中．要?dú)w納出實(shí)驗(yàn)頻率穩(wěn)定于理論概率這一規(guī)律，必須借助于大量重復(fù)實(shí)驗(yàn)，而堂時(shí)間是有限的，靠一個(gè)學(xué)生完成實(shí)驗(yàn)次數(shù)自然不可能．因此必須綜合多個(gè)學(xué)生甚至全班學(xué)生的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，這就需要全班學(xué)生合作交流完成．(2)注重引導(dǎo)學(xué)生積極參加實(shí)驗(yàn)活動(dòng)，在實(shí)驗(yàn)中頻率的穩(wěn)定性，感受實(shí)驗(yàn)頻率與理論概率之間的關(guān)系，并形成對(duì)概率的全面理解．發(fā)展學(xué)生的初步辯證思維能力，突破實(shí)驗(yàn)頻率穩(wěn)定于理論概率這一難點(diǎn)，進(jìn)一步概率是描述隨機(jī)現(xiàn)象的數(shù)學(xué)模型．(3)關(guān)注學(xué)生對(duì)知識(shí)技能的理解和應(yīng)用，借助列表和樹狀圖計(jì)算簡單事發(fā)生的概率．
6.1頻率與概率(一)
教學(xué)目標(biāo)
(一)教學(xué)知識(shí)點(diǎn)
通過實(shí)驗(yàn)．理解當(dāng)實(shí)驗(yàn)次數(shù)較大時(shí)實(shí)驗(yàn)頻率穩(wěn)定于理論概率，并據(jù)此估計(jì)某一事發(fā)生的概率．
(二)能力訓(xùn)練要求
經(jīng)歷實(shí)驗(yàn)、統(tǒng)計(jì)等活動(dòng)過程，在活動(dòng)中進(jìn)一步發(fā)展學(xué)生合作交流的意識(shí)和能力．
(三)情感與價(jià)值觀要求
1．積極參與數(shù)學(xué)活動(dòng)．通過實(shí)驗(yàn)提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣．
2．發(fā)展學(xué)生的辯證思維能力．
教學(xué)重點(diǎn) 1．通過實(shí)驗(yàn).理解當(dāng)實(shí)驗(yàn)次數(shù)較大時(shí)。實(shí)驗(yàn)頻率穩(wěn)定于理論概率．并據(jù)此估計(jì)某一事發(fā)生的概率．
2．在活動(dòng)中發(fā)展學(xué)生的合作交流意識(shí)和能力．
教學(xué)難點(diǎn)
辯證地理解當(dāng)實(shí)驗(yàn)次數(shù)較大時(shí)，實(shí)驗(yàn)頻率穩(wěn)定于理淪概率．
教學(xué)方法
實(shí)驗(yàn)——交流合作法．
教具準(zhǔn)備
每組準(zhǔn)備兩組相同的牌，每組牌都有兩張；
多媒體演示：
教學(xué)過程
Ⅰ．創(chuàng)設(shè)問題情境，引入新
[師]我們?cè)谄吣昙?jí)時(shí)，曾用擲硬幣的方法決定小明和小麗誰去看周末的電影：任意擲一枚均勻的硬幣.如果正面朝上，小麗去；如果反面朝上，小明去．這樣決定對(duì)雙方公平嗎?
[生]公平!因?yàn)槲覀冏鲞^這樣的試驗(yàn)，歷史上的數(shù)學(xué)家也做過擲硬幣的實(shí)驗(yàn)，經(jīng)過實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)當(dāng)次數(shù)很大時(shí)，任意擲一枚硬幣．會(huì)出現(xiàn)兩種可能的結(jié)果：正面朝上、反面朝上．
這兩種結(jié)果出現(xiàn)的可能性相同.都是
[師]很好!我們?cè)倏匆粋�(gè)問題：任意擲一枚均勻的小立方體(立方體的每個(gè)面上分別標(biāo)有數(shù)字1，2，3，4，5，6)．“6”朝上的概率是多少?
[生]任意擲一枚均勻的小立方體，所有可能出現(xiàn)的結(jié)果有6種：“1”朝上，“2”朝上。
“3”朝上，“4”朝上，“5”朝上，“6”朝上，每種結(jié)果出現(xiàn)的概率都相等，其中“6”朝上的結(jié)果只有一種，因此P(“6”朝上)＝ .
[師]上面兩個(gè)游戲涉及的是一步實(shí)驗(yàn)．如果是連續(xù)擲兩次均勻的硬幣。會(huì)出現(xiàn)幾種等可能的結(jié)果．出現(xiàn)“一正一反”的概率為多少呢?如果將上面均勻的小立方體也連續(xù)擲兩次，會(huì)出現(xiàn)幾種等可能的結(jié)果，兩次總數(shù)都是偶數(shù)的概率為多少呢?從這一節(jié)開始我們將進(jìn)一步學(xué)習(xí)概率的有關(guān)知識(shí)．
我們用實(shí)驗(yàn)的方法估計(jì)出了任意擲一枚硬幣“正面朝上”和“反面朝上”的概率．同樣
的我們也可以通過實(shí)驗(yàn)活動(dòng)．估計(jì)較復(fù)雜事的概率．
Ⅱ．分組實(shí)驗(yàn)，進(jìn)一步理解當(dāng)實(shí)驗(yàn)次數(shù)較大時(shí)，實(shí)驗(yàn)頻率穩(wěn)定于理論概率．
1．活動(dòng)一：
活動(dòng)題
通過摸牌活動(dòng)，探索出“實(shí)驗(yàn)次數(shù)很大時(shí)，實(shí)驗(yàn)的頻率漸趨穩(wěn)定”這一規(guī)律．
活動(dòng)方式
分組實(shí)驗(yàn)，全班合作交流．
活動(dòng)步驟
準(zhǔn)備兩組相同的牌，
每組兩張。兩張牌的牌
面數(shù)字分別是1和2．
從每組牌中各摸出一張，
稱為一次實(shí)驗(yàn)．
(1)估計(jì)一次實(shí)驗(yàn)中。兩張牌的牌面數(shù)字和可能有哪些值?
(2)以同桌為單位，每人做30次實(shí)驗(yàn)，根據(jù)實(shí)驗(yàn)結(jié)果填寫下面的表格：
牌面數(shù)字和234
頻數(shù)
頻率
(3)根據(jù)上表，制作相應(yīng)的頻數(shù)分布直方圖．
(4)根據(jù)頻數(shù)分布直方圖．估計(jì)哪種情況的頻率最大?
(5)計(jì)算兩張牌的牌面數(shù)字和等于3的頻率是多少?
(6)六個(gè)同學(xué)組成一組，分別匯總其中兩人、三人、四人、五人、六人的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，相應(yīng)得到實(shí)驗(yàn)60次、90次、120次、150次、180次時(shí)兩張牌的牌面數(shù)字之和等于3的頻率，填
寫下表．并繪制相應(yīng)的折線統(tǒng)計(jì)圖．
實(shí)驗(yàn)次數(shù)6090120150180
兩張牌面數(shù)字和等于3的頻數(shù)
兩張牌面數(shù)字和等于3的頻率
(在具體實(shí)驗(yàn)活動(dòng)的展開過程中．要力圖體現(xiàn)各個(gè)步驟的漸次遞進(jìn)．(1)在一次實(shí)驗(yàn)中，兩張牌的牌面數(shù)字和可能為2，3，4：(2)學(xué)生根據(jù)自己的實(shí)驗(yàn)結(jié)果如實(shí)填寫實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)；(3)制作相應(yīng)的頻數(shù)分布直方圖，一方面為了復(fù)習(xí)鞏固八年級(jí)下冊(cè)有關(guān)頻數(shù)、頻率的知識(shí)，同時(shí)也便于學(xué)生更為直觀地獲得(4)的結(jié)論；(4)一般而言，學(xué)生通過實(shí)驗(yàn)以及上面(2)(3)的圖表容易猜想兩張牌的牌面數(shù)字和為3的頻率最大．理論上．兩張牌的牌面數(shù)字和為2，3，4的概率依次為 ，應(yīng)該說，經(jīng)過30次實(shí)驗(yàn)，學(xué)生基本能夠猜想兩張牌的牌面數(shù)字和為3的頻率最大．當(dāng)然，這里一定要保證實(shí)驗(yàn)的次數(shù)，如果實(shí)驗(yàn)次數(shù)太少，結(jié)論可能會(huì)有較大出入；(5)有了(4)中的結(jié)淪．自然過渡到研究其頻率的大�。�當(dāng)然，兩張牌的牌面數(shù)字和等于3的頻率因各組實(shí)驗(yàn)結(jié)果而異．正是有了學(xué)生結(jié)論的差異性，才順理成地展開問題(6)，匯總組內(nèi)每人的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)；(6)目的在于通過逐步匯總學(xué)生的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，得到實(shí)驗(yàn)60次、90次、120次、150次、180次時(shí)的頻率．并繪制相應(yīng)的折線統(tǒng)計(jì)圖，從而動(dòng)態(tài)地研究頻率隨著實(shí)驗(yàn)次數(shù)的變化而變化的情況)
2．議一議
[師]在上面的實(shí)驗(yàn)中，你發(fā)現(xiàn)了什么?如果繼續(xù)增加實(shí)驗(yàn)次數(shù)呢?與其他小組交流所繪制的圖表和發(fā)現(xiàn)的結(jié)論．
[生]在與各組交流圖表的過程中，我發(fā)現(xiàn)：在各組的折線統(tǒng)計(jì)圖中，隨著實(shí)驗(yàn)次數(shù)的增加，頻率的“波動(dòng)”較小了．
[生]隨著實(shí)驗(yàn)次數(shù)的增加，實(shí)驗(yàn)結(jié)果的差異較小。實(shí)驗(yàn)的數(shù)據(jù)即兩張牌的牌面數(shù)字和等于3的頻率比較穩(wěn)定．
[生]一個(gè)人的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)相差可能較大，而多人匯總后的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)即兩張牌的牌面數(shù)字和等于3的頻率相差較�。�
[師]也就是說，同學(xué)們從實(shí)驗(yàn)中都能體會(huì)到實(shí)驗(yàn)次數(shù)較大時(shí)，實(shí)驗(yàn)頻率比較穩(wěn)定．請(qǐng)問同學(xué)們估計(jì)一下，當(dāng)實(shí)驗(yàn)次數(shù)很大時(shí)，兩張牌的牌面數(shù)字和等于3的頻率大約是多少?
[生]大約是 ．
[師]很好!準(zhǔn)能將實(shí)驗(yàn)次數(shù)更進(jìn)一步增加呢?越大越好．
[生]可以把全班各組數(shù)據(jù)集中起，這樣實(shí)驗(yàn)次數(shù)就會(huì)大大增加．
[師]太棒了!“眾人拾柴火焰高”，我們集小全班的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，交流合作，可以使實(shí)驗(yàn)次數(shù)達(dá)到一千多次．下面我們匯總?cè)�班的�?shí)驗(yàn)次數(shù)及兩張牌的牌面數(shù)字和為3的頻數(shù)，求出兩張牌的牌面數(shù)字和等于3的頻率．
(可讓各組一一匯報(bào)，然后清同學(xué)們自己算出)
[生]約為 ．
[師]與你們的估計(jì)相近嗎? [生]相近．
3．做—做
[師]你能用我們學(xué)過的知識(shí)計(jì)算出兩張牌的牌面數(shù)字和為3的概率嗎？
[生]每組牌中，每張牌被摸到的可能性是相同的，因此．一次實(shí)驗(yàn)中．兩張牌的牌面數(shù)字的和等可能的情況有：
1+1＝2；1+2＝3；
2+1＝3；2+2＝4．
共有四種情況．而和為3的情況有2種，因此，P(兩張牌的牌面數(shù)字和等于3)= ＝ .
[生]也可以用樹狀圖表示，即

兩張牌的牌面數(shù)字的和有四種等可能的情況，而兩張牌的牌面數(shù)字和為3的情況有2次，因此．兩張牌的牌面數(shù)字的和為3的概率為 ＝ ．
4．想一想
[師]我們?cè)谇懊婀浪愠隽水?dāng)實(shí)驗(yàn)次數(shù)很大時(shí)，兩張牌的牌面數(shù)字和等于3的頻率約為 ．接著又用樹狀圖計(jì)算出了兩張牌的牌面數(shù)字和等于3的概率也為 ．比較兩者之間的關(guān)系，你可以發(fā)現(xiàn)什么呢?同學(xué)們可相互交流意見．
[生]可以發(fā)現(xiàn)“實(shí)驗(yàn)頻率穩(wěn)定于理論概率”這一結(jié)論．
[生]也就是說，當(dāng)實(shí)驗(yàn)次數(shù)很大時(shí)，兩張牌的牌面數(shù)字和等于3的頻率穩(wěn)定在相應(yīng)的概率附近．
[師]很好!由于實(shí)驗(yàn)次數(shù)很大時(shí)，兩張牌的牌面數(shù)字和等于3的頻率穩(wěn)定在相應(yīng)的概率附近，因此我們可以通過多次實(shí)驗(yàn)，用一個(gè)事發(fā)生的頻率估計(jì)這一事發(fā)生的概率．
“當(dāng)實(shí)驗(yàn)次數(shù)很大時(shí)，兩張牌的牌面數(shù)字和等于3的頻率穩(wěn)定在相心的概率附近”是否意味著。實(shí)驗(yàn)次數(shù)越大。就越為靠近?應(yīng)該說．作為一個(gè)整體趨勢，上述結(jié)論是正確的，但也可能會(huì)出現(xiàn)這樣的情形：增加了幾次實(shí)驗(yàn)，實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)與理論概率的差距反而擴(kuò)大了．同學(xué)們可從繪制的折線統(tǒng)計(jì)圖中發(fā)現(xiàn)．
Ⅲ．隨堂練習(xí)
活動(dòng)二：
活動(dòng)題
利用學(xué)生原有的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)兩張牌的牌面數(shù)字和為2的頻率，進(jìn)—步體會(huì)當(dāng)實(shí)驗(yàn)次數(shù)很大時(shí)，頻率的穩(wěn)定性及其與概率之間的關(guān)系．
活動(dòng)方式
小組活動(dòng)，全班討論交流．
活動(dòng)步驟
(1)六個(gè)同學(xué)組成一個(gè)小組，根據(jù)原的實(shí)驗(yàn)分別匯總其中兩人、二人、四人、五人、六人的數(shù)據(jù)，相應(yīng)得到實(shí)驗(yàn)60次、90次、120次、150次、180次時(shí)兩張牌的牌面數(shù)字和等于2的頻率．
(2)根據(jù)上面的數(shù)據(jù)繪制相應(yīng)的統(tǒng)計(jì)圖
表，如折線統(tǒng)計(jì)圖．
(3)根據(jù)統(tǒng)計(jì)圖表估計(jì)兩張牌的牌面數(shù)字和等于2的概率．
(活動(dòng)完成后，討論、)
[生]由我們組繪制的折線統(tǒng)計(jì)圖可以發(fā)現(xiàn)隨著實(shí)驗(yàn)次數(shù)的增加，實(shí)驗(yàn)的頻率在 處波動(dòng)．而且波動(dòng)越越�。�
[生]由此可估計(jì)兩張牌的牌面數(shù)字和等于2的概率為 ．
[師]你能用樹狀圖計(jì)算出它的理論概率嗎?
[生]可以，如下圖：

因此，P(兩張牌的牌面數(shù)字和為2)＝ .
Ⅳ．時(shí)小結(jié)
本節(jié)通過實(shí)驗(yàn)、統(tǒng)計(jì)等活動(dòng)，進(jìn)一步理解“當(dāng)實(shí)驗(yàn)次數(shù)很大時(shí)，實(shí)驗(yàn)頻率穩(wěn)定于理論概率”這一重要的概率思想．
Ⅴ．后作業(yè)
習(xí)題6．1
Ⅵ．活動(dòng)與探究 下列說法正確的是……………( ) A. 某事發(fā)生的概率為 ，這就是說：在兩次重復(fù)實(shí)驗(yàn)中，必有一次發(fā)生
B．一個(gè)袋子里有100個(gè)球，小明摸了8次，每次都只摸到黑球，沒摸到白球，結(jié)論：袋子里只有黑色的球
C．兩枚一元的硬幣同時(shí)拋下，可能出現(xiàn)的情形有：①兩枚均為正；②兩枚均為反；③一正一反，所以出現(xiàn)一正一反的概率是
D．全年級(jí)有400名同學(xué)，一定會(huì)有2人同一天過生日
[過程]“當(dāng)實(shí)驗(yàn)次數(shù)很大時(shí)，實(shí)驗(yàn)頻率穩(wěn)定于理論概率”并不意味著，實(shí)驗(yàn)次數(shù)越大，就越為靠近，應(yīng)該說，作為一個(gè)整體趨勢，上述結(jié)論是正確的，更不能某某事的概率為 ，在兩次重復(fù)試驗(yàn)中．就一定有一次發(fā)生、因此A不正確，B也不正確
而對(duì)于C，兩枚硬幣同時(shí)拋下，等可能的情況由樹狀圖可知有四種：

因此，出現(xiàn)一正一反的概率為 即 ，對(duì)于D，根據(jù)抽屜原理可知是正確的．
[結(jié)果]應(yīng)選D．
板書設(shè)計(jì)
§6．1．1 頻率與概率
活動(dòng)一：
活動(dòng)目的[
活動(dòng)方式
活動(dòng)步驟：(1)(2)(3)(4)(5)(6)
活動(dòng)結(jié)果：當(dāng)實(shí)驗(yàn)次數(shù)很大時(shí)，實(shí)驗(yàn)頻率穩(wěn)定于理論概率．
注：對(duì)上述結(jié)果的正確理解．應(yīng)該說作為一種整體趨勢是正確的．
活動(dòng)二：
活動(dòng)目的
活動(dòng)方式：分組、全班交流討論．
活動(dòng)步驟：(1)(2)
活動(dòng)結(jié)果：同上．


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