1．某次測量中，若A在B的南偏東40°，則B在A的(　　)
A．北偏西40°　　　　　　　　B．北偏東50°
C．北偏西50° D．南偏西50°
答案：A
2．已知A、B兩地間的距離為10 k，B、C兩地間的距離為20 k，現(xiàn)測得∠ABC＝120°，則A、C兩地間的距離為(　　)
A．10 k B．103 k
C．105 k D．107 k
解析：選D.由余弦定理可知：
AC2＝AB2＋BC2－2AB•BCcos∠ABC.
又∵AB＝10，BC＝20，∠ABC＝120°，
∴AC2＝102＋202－2×10×20×cos 120°＝700.
∴AC＝107.
3．在一座20 高的觀測臺測得對面一水塔塔頂?shù)难鼋菫?0°，塔底的俯角為45°，觀測臺底部與塔底在同一地平面，那么這座水塔的高度是________.
解析：h＝20＋20tan 60°＝20(1＋3) .
答案：20(1＋3)

4．如圖，一船以每小時15 k的速度向東航行，船在A處看到一個燈塔B在北偏東60°，行駛4 h后，船到達(dá)C處，看到這個燈塔在北偏東15°.求此時船與燈塔間的距離．
解：BCsin∠BAC＝ACsin∠ABC，
且∠BAC＝30°，AC＝60，
∠ABC＝180°－30°－105°＝45°.
∴BC＝302.
即船與燈塔間的距離為302 k.

一、選擇題
1．在某次測量中，在A處測得同一方向的B點的仰角為60°，C點的俯角為70°，則∠BAC等于(　　)
A．10° B．50°
C．120° D．130°

解析：選D.如圖，∠BAC等于A觀察B點的仰角與觀察C點的俯角和，即60°＋70°＝130°.
2．一艘船以4 k/h的速度沿著與水流方向成120°夾角的方向航行，已知河水流速為2 k/h，則經(jīng)過3 h，該船的實際航程為(　　)
A．215 k B．6 k
C．221 k D．8 k

解析：選B.v實＝
22＋42－2×4×2×cos 60°＝23.
∴實際航程＝23×3＝6(k)．故選B.
3.

如圖所示，D，C，B在同一地平面的同一直線上，DC＝10 ，從D，C兩地測得A點的仰角分別為30°和45°，則A點離地面的高度AB等于(　　)
A．10 B．53
C．5(3－1) D．5(3＋1)
解析：選D.在△ADC中，
AD＝10•sin 135°sin 15°＝10(3＋1)()．
在Rt△ABD中，AB＝AD•sin 30°＝5(3＋1)()
4．(2011年無錫調(diào)研)我艦在敵島A處南偏西50°的B處，且AB距離為12海里，發(fā)現(xiàn)敵艦正離開島沿北偏西10°的方向以每小時10海里的速度航行，若我艦要用2小時追上敵艦，則速度大小為(　　)
A．28海里/小時 B．14海里/小時
C．142 海里/小時 D．20海里/小時

解析：選B.如圖，設(shè)我艦在C處追上敵艦，速度為v，則在△ABC中，AC＝10×2＝20(海里)，AB＝12海里，∠BAC＝120°，
∴BC2＝AB2＋AC2－2AB•ACcos 120°＝784，
∴BC＝28海里，
∴v＝14海里/小時．
5．臺風(fēng)中心從A地以每小時20千米的速度向東北方向移動，離臺風(fēng)中心30千米內(nèi)的地區(qū)為危險區(qū)，城市B在A的正東40千米處，則B城市處于危險區(qū)內(nèi)的持續(xù)時間為(　　)
A．0.5小時 B．1小時
C．1.5小時 D．2小時
解析：選B.設(shè)t小時后，B市處于危險區(qū)內(nèi)，
則由余弦定理得：
(20t)2＋402－2×20t×40cos 45°≤302.
化簡得：4t2－82t＋7≤0，
∴t1＋t2＝22，t1•t2＝74.
從而t1－t2＝t1＋t22－4t1t2＝1.
6．要測量底部不能到達(dá)的東方明珠電視塔的高度，在黃浦江西岸選擇甲、乙兩觀測點，在甲、乙兩點測得塔頂?shù)难鼋欠謩e為45°、30°，在水平面上測得電視塔與甲地連線及甲、乙兩地連線所成的角為120°，甲、乙兩地相距500米，則電視塔在這次測量中的高度是(　　)
A．1002米 B．400米
C．2003米 D．500米

解析：選D.由題意畫出示意圖，設(shè)高AB＝h，在Rt△ABC中，由已知BC＝h，在Rt△ABD中，由已知BD＝3h，在△BCD中，由余弦定理BD2＝BC2＋CD2－2BC•CD•cos∠BCD，得3h2＝h2＋5002＋h•500，
解之得h＝500(米)，故選D.
二、填空題
7．一樹干被臺風(fēng)吹斷，折斷部分與殘存樹干成30°角，樹干底部與樹尖著地處相距5米，則樹干原的高度為________米．
答案：10＋53
8.

如圖所示，已知兩座燈塔A和B與海洋觀察站C的距離相等，燈塔A在觀察站C的北偏東40°，燈塔B在觀察站C的南偏東60°，則燈塔A在燈塔B的__________．
解析：由題意可知∠ACB＝180°－40°－60°＝80°.∵AC＝BC，∴∠CAB＝∠CBA＝50°，從而所求為北偏西10°.
答案：北偏西10°
9．海上一觀測站測得方位角240°的方向上有一艘停止待修的商船，在商船的正東方有一艘海盜船正向它靠近，速度為每小時90海里．此時海盜船距觀測站107 海里，20分鐘后測得海盜船距觀測站20海里，再過________分鐘，海盜船即可到達(dá)商船．

解析：如圖，設(shè)開始時觀測站、商船、海盜船分別位于A、B、C處，20分鐘后，海盜船到達(dá)D處，在△ADC中，AC＝107，AD＝20，CD＝30，由余弦定理得
cos∠ADC＝AD2＋CD2－AC22AD•CD
＝400＋900－7002×20×30＝12.
∴∠ACD＝60°，在△ABD中由已知得∠ABD＝30°.
∠BAD＝60°－30°＝30°，
∴BD＝AD＝20，2090×60＝403(分鐘)．
答案：403
三、解答題

10．如圖，A、B兩點都在河的對岸(不可到達(dá))，在河岸邊選定兩點C、D，測得CD＝1000米，∠ACB＝30°，∠BCD＝30°，∠BDA＝30°，∠ADC＝60°，求AB的長．
解：由題意知△ACD為正三角形，
所以AC＝CD＝1000米．
在△BCD中，∠BDC＝90°，
所以BC＝CDcos∠BCD＝1000cos 30°＝200033米．
在△ACB中，AB2＝AC2＋BC2－2AC•BC•cos 30°
＝10002＋200023－2×1000×200033×32
＝10002×13，

所以AB＝100033米．

11．如圖，地面上有一旗桿OP，為了測得它的高度，在地面上選一基線AB，測得AB＝20 ，在A處測得點P的仰角為30°，在B處測得點P的仰角為45°，同時可測得∠AOB＝60°，求旗桿的高度(結(jié)果保留1位小數(shù))．
解：設(shè)旗桿的高度為h，
由題意，知∠OAP＝30°，∠OBP＝45°.
在Rt△AOP中，OA＝OPtan 30°＝3h.
在Rt△BOP中，OB＝OPtan 45°＝h.
在△AOB中，由余弦定理，
得AB2＝OA2＋OB2－2OA•OBcos 60°，
即202＝(3h)2＋h2－23h×h×12.
解得h2＝4004－3≈176.4.
∴h≈13()．
∴旗桿的高度約為13 .
12．一商船行至索馬里海域時，遭到海盜的追擊，隨即發(fā)出求救信號．正在該海域執(zhí)行護(hù)航任務(wù)的海軍“黃”艦在A處獲悉后，即測出該商船在方位角為45°距離10海里的C處，并沿方位角為105°的方向，以9海里/時的速度航行．“黃”艦立即以21海里/時的速度前去營救．求“黃”艦靠近商船所需要的最少時間及所經(jīng)過的路程．

解：如圖所示，若“黃”艦以最少時間在B處追上商船，則A，B，C構(gòu)成一個三角形．
設(shè)所需時間為t小時，
則AB＝21t，BC＝9t.
又已知AC＝10，依題意知，∠ACB＝120°，
根據(jù)余弦定理，AB2＝AC2＋BC2－2•AC•BCcos∠ACB.
∴(21t)2＝102＋(9t)2－2×10×9tcos 120°，
∴(21t)2＝100＋81t2＋90t，
即360t2－90t－100＝0.
∴t＝23或t＝－512(舍)．
∴AB＝21×23＝14(海里)．
即“黃”艦需要用23小時靠近商船，共航行14海里．

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