1.3二項式定理
學(xué)習(xí)目標(biāo)：
1 掌握二項式定理和二項式系數(shù)的性質(zhì)。
2.能靈活運用展開式、通項公式、二項式系數(shù)的性質(zhì)解題
學(xué)習(xí)重點：如何靈活運用展開式、通項公式、二項式系數(shù)的性質(zhì)解題
學(xué)習(xí)難點：如何靈活運用展開式、通項公式、二項式系數(shù)的性質(zhì)解題
授類型：新授
時安排：1時
教 具：多媒體、實物投影儀
過程：
一、復(fù)習(xí)引入：
1．二項式定理及其特例：
（1） ，
（2） .
2．二項展開式的通項公式：
3．求常數(shù)項、有理項和系數(shù)最大的項時，要根據(jù)通項公式討論對 的限制；求有理項時要注意到指數(shù)及項數(shù)的整數(shù)性
4 二項式系數(shù)表（楊輝三角）
展開式的二項式系數(shù)，當(dāng) 依次取 …時，二項式系數(shù)表，表中每行兩端都是 ，除 以 外的每一個數(shù)都等于它肩上兩個數(shù)的和
5．二項式系數(shù)的性質(zhì)：
展開式的二項式系數(shù)是 ， ， ，…， ． 可以看成以 為自變量的函數(shù) ，定義域是 ，例當(dāng) 時，其圖象是 個孤立的點（如圖）
（1）對稱性．與首末兩 端“等距離”的兩個二項式系數(shù)相等（∵ ）．
直線 是圖象的對稱軸．
（2）增減性與最大值：當(dāng) 是偶數(shù)時，中間一項 取得最大值；當(dāng) 是奇數(shù)時，中間兩項 ， 取得最大值．
（3）各二項式系數(shù)和：
∵ ，
令 ，則
二、講解范例：
例1． 設(shè) ，
當(dāng) 時，求 的值
解：令 得：
，
∴ ，
點評：對于 ，令 即 可得各項系數(shù)的和 的值；令 即 ，可得奇數(shù)項系數(shù)和與偶數(shù)項和的關(guān)系
例2．求證： ．
證（法一）倒序相加：設(shè) ①
又∵ 　　�、�
∵ ，∴ ，
由①+②得： ，
∴ ，即 ．
（法二）：左邊各組合數(shù)的通項為
，
∴ ．
例3．已知： 的展開式中，各項系數(shù)和比它的二項式系數(shù)和大 ．
（1）求展開式中二項式系數(shù)最大的項；（2）求展開式中系 數(shù)最大的項
解：令 ，則展開式中各項系數(shù)和為 ，
又展開式中二項式系數(shù)和為 ，
∴ ， ．
（1）∵ ，展開式共 項，二項式系數(shù)最大的項為第三、四兩項，
∴ ， ，
（2）設(shè)展開式中第 項系數(shù)最大，則 ，
∴ ，∴ ，
即展開式中第 項 系數(shù)最大， ．
例4．已知 ，
求證：當(dāng) 為偶數(shù)時， 能被 整除
分析：由二項式定理的逆用化簡 ，再把 變形，化為含有因數(shù) 的多項式
∵ ，
∴ ，∵ 為偶數(shù)，∴設(shè) （ ），
∴

（ ） ，
當(dāng) = 時， 顯然能被 整除，
當(dāng) 時，（ ）式能被 整除，
所以，當(dāng) 為偶數(shù)時， 能被 整除

三、堂練習(xí)：
1． 展開式中 的系數(shù)為 ，各項系數(shù)之和為 ．
2．多項式 （ ）的展開式中， 的系數(shù)為
3．若二項式 （ ）的展開式中含有常數(shù)項，則 的最小值為（ ）
A.4 B.5 C.6 D.8
4．某企業(yè)欲實現(xiàn)在今后10年內(nèi)年產(chǎn)值翻一番的目標(biāo)，那么該企業(yè)年產(chǎn)值的年平均增長率最低應(yīng) （ ）
A.低于5％ B.在5％～6％之間
C.在6％～8％之間 D.在8％以上
5．在 的展開式中，奇數(shù)項之和為 ，偶數(shù)項之和為 ，則 等于（ ）
A.0 B. C. D.
6．求和： ．
7．求證：當(dāng) 且 時， ．
8．求 的展開式中系數(shù)最大的項
答案：1. 45, 0 2. 0 ．提示：
3. B 4. C 5. D 6.
7. (略) 8.
四、小結(jié) ：二項式定理體現(xiàn)了二項式的正整數(shù)冪的展開式的指數(shù)、項數(shù)、二項式系數(shù)等方面的內(nèi)在聯(lián)系，涉 及到二項展開式中的項和系數(shù)的綜合問題，只需運用通項公式和二項式系數(shù)的性質(zhì)對條進行 逐個節(jié)破，對于與組合數(shù)有關(guān)的和的問題，賦值法是常用且重要的方法，同時注意二項式定理的逆用

五、后作業(yè) ：
1．已知 展開式中的各項系數(shù)的和等于 的展開式的常數(shù)項，而 展開式的系數(shù)的最大的項等于 ，求 的值
答案：
2．設(shè)
求：① ② ．
答案：① ； ②
3．求值： ．
答案：
4．設(shè) ，試求 的展開式中：
（1）所有項的系數(shù)和；
（2）所有偶次項的系數(shù)和及所有奇次項的系數(shù)和
答案：（1） ；
（2）所有偶次項的系數(shù)和為 ；
所有奇次項的系數(shù)和為
六、板書設(shè)計（略）
七、后記：

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