1.3二項(xiàng)式定理
學(xué)習(xí)目標(biāo)：
1 掌握二項(xiàng)式定理和二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)。
2.能靈活運(yùn)用展開(kāi)式、通項(xiàng)公式、二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)解題
學(xué)習(xí)重點(diǎn)：如何靈活運(yùn)用展開(kāi)式、通項(xiàng)公式、二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)解題
學(xué)習(xí)難點(diǎn)：如何靈活運(yùn)用展開(kāi)式、通項(xiàng)公式、二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)解題
授類(lèi)型：新授
時(shí)安排：1時(shí)
教 具：多媒體、實(shí)物投影儀
過(guò)程：
一、復(fù)習(xí)引入：
1．二項(xiàng)式定理及其特例：
（1） ，
（2） .
2．二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)公式：
3．求常數(shù)項(xiàng)、有理項(xiàng)和系數(shù)最大的項(xiàng)時(shí)，要根據(jù)通項(xiàng)公式討論對(duì) 的限制；求有理項(xiàng)時(shí)要注意到指數(shù)及項(xiàng)數(shù)的整數(shù)性
4 二項(xiàng)式系數(shù)表（楊輝三角）
展開(kāi)式的二項(xiàng)式系數(shù)，當(dāng) 依次取 …時(shí)，二項(xiàng)式系數(shù)表，表中每行兩端都是 ，除 以 外的每一個(gè)數(shù)都等于它肩上兩個(gè)數(shù)的和
5．二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)：
展開(kāi)式的二項(xiàng)式系數(shù)是 ， ， ，…， ． 可以看成以 為自變量的函數(shù) ，定義域是 ，例當(dāng) 時(shí)，其圖象是 個(gè)孤立的點(diǎn)（如圖）
（1）對(duì)稱性．與首末兩 端“等距離”的兩個(gè)二項(xiàng)式系數(shù)相等（∵ ）．
直線 是圖象的對(duì)稱軸．
（2）增減性與最大值：當(dāng) 是偶數(shù)時(shí)，中間一項(xiàng) 取得最大值；當(dāng) 是奇數(shù)時(shí)，中間兩項(xiàng) ， 取得最大值．
（3）各二項(xiàng)式系數(shù)和：
∵ ，
令 ，則
二、講解范例：
例1． 設(shè) ，
當(dāng) 時(shí)，求 的值
解：令 得：
，
∴ ，
點(diǎn)評(píng)：對(duì)于 ，令 即 可得各項(xiàng)系數(shù)的和 的值；令 即 ，可得奇數(shù)項(xiàng)系數(shù)和與偶數(shù)項(xiàng)和的關(guān)系
例2．求證： ．
證（法一）倒序相加：設(shè) ①
又∵ 　　�、�
∵ ，∴ ，
由①+②得： ，
∴ ，即 ．
（法二）：左邊各組合數(shù)的通項(xiàng)為
，
∴ ．
例3．已知： 的展開(kāi)式中，各項(xiàng)系數(shù)和比它的二項(xiàng)式系數(shù)和大 ．
（1）求展開(kāi)式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)；（2）求展開(kāi)式中系 數(shù)最大的項(xiàng)
解：令 ，則展開(kāi)式中各項(xiàng)系數(shù)和為 ，
又展開(kāi)式中二項(xiàng)式系數(shù)和為 ，
∴ ， ．
（1）∵ ，展開(kāi)式共 項(xiàng)，二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)為第三、四兩項(xiàng)，
∴ ， ，
（2）設(shè)展開(kāi)式中第 項(xiàng)系數(shù)最大，則 ，
∴ ，∴ ，
即展開(kāi)式中第 項(xiàng) 系數(shù)最大， ．
例4．已知 ，
求證：當(dāng) 為偶數(shù)時(shí)， 能被 整除
分析：由二項(xiàng)式定理的逆用化簡(jiǎn) ，再把 變形，化為含有因數(shù) 的多項(xiàng)式
∵ ，
∴ ，∵ 為偶數(shù)，∴設(shè) （ ），
∴

（ ） ，
當(dāng) = 時(shí)， 顯然能被 整除，
當(dāng) 時(shí)，（ ）式能被 整除，
所以，當(dāng) 為偶數(shù)時(shí)， 能被 整除

三、堂練習(xí)：
1． 展開(kāi)式中 的系數(shù)為 ，各項(xiàng)系數(shù)之和為 ．
2．多項(xiàng)式 （ ）的展開(kāi)式中， 的系數(shù)為
3．若二項(xiàng)式 （ ）的展開(kāi)式中含有常數(shù)項(xiàng)，則 的最小值為（ ）
A.4 B.5 C.6 D.8
4．某企業(yè)欲實(shí)現(xiàn)在今后10年內(nèi)年產(chǎn)值翻一番的目標(biāo)，那么該企業(yè)年產(chǎn)值的年平均增長(zhǎng)率最低應(yīng) （ ）
A.低于5％ B.在5％～6％之間
C.在6％～8％之間 D.在8％以上
5．在 的展開(kāi)式中，奇數(shù)項(xiàng)之和為 ，偶數(shù)項(xiàng)之和為 ，則 等于（ ）
A.0 B. C. D.
6．求和： ．
7．求證：當(dāng) 且 時(shí)， ．
8．求 的展開(kāi)式中系數(shù)最大的項(xiàng)
答案：1. 45, 0 2. 0 ．提示：
3. B 4. C 5. D 6.
7. (略) 8.
四、小結(jié) ：二項(xiàng)式定理體現(xiàn)了二項(xiàng)式的正整數(shù)冪的展開(kāi)式的指數(shù)、項(xiàng)數(shù)、二項(xiàng)式系數(shù)等方面的內(nèi)在聯(lián)系，涉 及到二項(xiàng)展開(kāi)式中的項(xiàng)和系數(shù)的綜合問(wèn)題，只需運(yùn)用通項(xiàng)公式和二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)對(duì)條進(jìn)行 逐個(gè)節(jié)破，對(duì)于與組合數(shù)有關(guān)的和的問(wèn)題，賦值法是常用且重要的方法，同時(shí)注意二項(xiàng)式定理的逆用

五、后作業(yè) ：
1．已知 展開(kāi)式中的各項(xiàng)系數(shù)的和等于 的展開(kāi)式的常數(shù)項(xiàng)，而 展開(kāi)式的系數(shù)的最大的項(xiàng)等于 ，求 的值
答案：
2．設(shè)
求：① ② ．
答案：① ； ②
3．求值： ．
答案：
4．設(shè) ，試求 的展開(kāi)式中：
（1）所有項(xiàng)的系數(shù)和；
（2）所有偶次項(xiàng)的系數(shù)和及所有奇次項(xiàng)的系數(shù)和
答案：（1） ；
（2）所有偶次項(xiàng)的系數(shù)和為 ；
所有奇次項(xiàng)的系數(shù)和為
六、板書(shū)設(shè)計(jì)（略）
七、后記：

本文來(lái)自：逍遙右腦記憶 http://www.portlandfoamroofing.com/gaoer/51058.html

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