2.1.2橢圓的簡單幾何性質(zhì)
目標(biāo)：
(1)通過對(duì)橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的討論，使學(xué)生掌握橢圓的幾何性質(zhì)，并正確地畫出它的圖形；領(lǐng)會(huì)每一個(gè)幾何性質(zhì)的內(nèi)涵，并學(xué)會(huì)運(yùn)用它們解決一些簡單問題。
（2）培養(yǎng)學(xué)生觀察、分析、抽象、概括的邏輯思維能力；運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想解決實(shí)際問題的能力。
重點(diǎn)：橢圓的簡單幾何性質(zhì)及其探究過程。
教學(xué)難點(diǎn)：利用曲線方程研究曲線幾何性質(zhì)的基本方法和離心率是用來刻畫橢的扁平程度的給出過程
教學(xué)過程：
一、復(fù)習(xí)引入：
1．橢圓定義：在平面內(nèi)，到兩定點(diǎn)距離之和等于定長（定長大于兩定點(diǎn)間的距離）的動(dòng)點(diǎn)的軌跡
2．標(biāo)準(zhǔn)方程： ， （ ）
二、新課講解：
1．范圍：
由標(biāo)準(zhǔn)方程知，橢圓上點(diǎn)的坐標(biāo) 滿足不等式 ，
∴ ， ，∴ ， ，
說明橢圓位于直線 ， 所圍成的矩形里.

2．對(duì)稱性：
在曲線方程里，若以 代替 方程不變，所以若點(diǎn) 在曲線上時(shí)，點(diǎn) 也在曲線上，所以曲線關(guān)于 軸對(duì)稱，同理，以 代替 方程不變，則曲線關(guān)于 軸對(duì)稱。若同時(shí)以 代替 ， 代替 方程也不變，則曲線關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.
所以，橢圓關(guān)于 軸、 軸和原點(diǎn)對(duì)稱.這時(shí)，坐標(biāo)軸是橢圓的對(duì)稱軸，原點(diǎn)是對(duì)稱中心，橢圓的對(duì)稱中心叫橢圓的中心.
3．頂點(diǎn)：
確定曲線在坐標(biāo)系中的位置，常需要求出曲線與 軸、 軸的交點(diǎn)坐標(biāo).
在橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程中，令 ，得 ，則 ， 是橢圓與 軸的兩個(gè)交點(diǎn)。同理令 得 ，即 ， 是橢圓與 軸的兩個(gè)交點(diǎn).
所以，橢圓與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)有四個(gè)，這四個(gè)交點(diǎn)叫做橢圓的頂點(diǎn).
同時(shí)，線段 、 分別叫做橢圓的長軸和短軸，它們的長分別為 和 ， 和 分別叫做橢圓的長半軸長和短半軸長.
由橢圓的對(duì)稱性知：橢圓的短軸端點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離為 ；在 中， ， ， ，且 ，即 ．
4．離心率：
橢圓的焦距與長軸的比 叫橢圓的離心率.
∵ ，∴ ，且 越接近 ， 就越接近 ，從而 就越小，對(duì)應(yīng)的橢圓越扁；反之， 越接近于 ， 就越接近于 ，從而 越接近于 ，這時(shí)橢圓越接近于圓。
當(dāng)且僅當(dāng) 時(shí)， ，兩焦點(diǎn)重合，圖形變?yōu)閳A，方程為 ．
5.填寫下列表格：
方程
圖像
a、b、c
焦點(diǎn)
范圍
對(duì)稱性橢圓關(guān)于y軸、x軸和原點(diǎn)都對(duì)稱
頂點(diǎn)


長、短軸長長軸: A1A2 長軸長 短軸：B1B2短軸長
離心率


例1．求橢圓 的長軸和短軸的長、離心率、焦點(diǎn)和頂點(diǎn)的坐標(biāo)．
解：把已知方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程 ， ， ，
∴ ，
∴橢圓長軸和短軸長分別為 和 ，離心率，
焦點(diǎn)坐標(biāo) ， ，頂點(diǎn) ， ， ， ．
例2．過適合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：
（1）經(jīng)過點(diǎn) 、 ；
（2）長軸長等于 ，離心率等于 ．
解：（1）由題意， ， ，又∵長軸在 軸上，
所以，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為 ．
（2）由已知 ， ，
∴ ， ，∴ ，
所以，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為 或 ．
例3.如圖，設(shè) 與定點(diǎn) 的距離和它到直線 ： 的距離的比是常數(shù) ，求點(diǎn) 的軌跡方程．
分析：若設(shè)點(diǎn) ，則 ，到直線 ： 的距離 ，則容易得點(diǎn) 的軌跡方程．
作業(yè)：P47第4、5題

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