2.1.2橢圓的簡單幾何性質
目標：
(1)通過對橢圓標準方程的討論，使學生掌握橢圓的幾何性質，并正確地畫出它的圖形；領會每一個幾何性質的內涵，并學會運用它們解決一些簡單問題。
（2）培養(yǎng)學生觀察、分析、抽象、概括的邏輯思維能力；運用數(shù)形結合思想解決實際問題的能力。
重點：橢圓的簡單幾何性質及其探究過程。
教學難點：利用曲線方程研究曲線幾何性質的基本方法和離心率是用來刻畫橢的扁平程度的給出過程
教學過程：
一、復習引入：
1．橢圓定義：在平面內，到兩定點距離之和等于定長（定長大于兩定點間的距離）的動點的軌跡
2．標準方程： ， （ ）
二、新課講解：
1．范圍：
由標準方程知，橢圓上點的坐標 滿足不等式 ，
∴ ， ，∴ ， ，
說明橢圓位于直線 ， 所圍成的矩形里.

2．對稱性：
在曲線方程里，若以 代替 方程不變，所以若點 在曲線上時，點 也在曲線上，所以曲線關于 軸對稱，同理，以 代替 方程不變，則曲線關于 軸對稱。若同時以 代替 ， 代替 方程也不變，則曲線關于原點對稱.
所以，橢圓關于 軸、 軸和原點對稱.這時，坐標軸是橢圓的對稱軸，原點是對稱中心，橢圓的對稱中心叫橢圓的中心.
3．頂點：
確定曲線在坐標系中的位置，常需要求出曲線與 軸、 軸的交點坐標.
在橢圓的標準方程中，令 ，得 ，則 ， 是橢圓與 軸的兩個交點。同理令 得 ，即 ， 是橢圓與 軸的兩個交點.
所以，橢圓與坐標軸的交點有四個，這四個交點叫做橢圓的頂點.
同時，線段 、 分別叫做橢圓的長軸和短軸，它們的長分別為 和 ， 和 分別叫做橢圓的長半軸長和短半軸長.
由橢圓的對稱性知：橢圓的短軸端點到焦點的距離為 ；在 中， ， ， ，且 ，即 ．
4．離心率：
橢圓的焦距與長軸的比 叫橢圓的離心率.
∵ ，∴ ，且 越接近 ， 就越接近 ，從而 就越小，對應的橢圓越扁；反之， 越接近于 ， 就越接近于 ，從而 越接近于 ，這時橢圓越接近于圓。
當且僅當 時， ，兩焦點重合，圖形變?yōu)閳A，方程為 ．
5.填寫下列表格：
方程
圖像
a、b、c
焦點
范圍
對稱性橢圓關于y軸、x軸和原點都對稱
頂點


長、短軸長長軸: A1A2 長軸長 短軸：B1B2短軸長
離心率


例1．求橢圓 的長軸和短軸的長、離心率、焦點和頂點的坐標．
解：把已知方程化為標準方程 ， ， ，
∴ ，
∴橢圓長軸和短軸長分別為 和 ，離心率，
焦點坐標 ， ，頂點 ， ， ， ．
例2．過適合下列條件的橢圓的標準方程：
（1）經過點 、 ；
（2）長軸長等于 ，離心率等于 ．
解：（1）由題意， ， ，又∵長軸在 軸上，
所以，橢圓的標準方程為 ．
（2）由已知 ， ，
∴ ， ，∴ ，
所以，橢圓的標準方程為 或 ．
例3.如圖，設 與定點 的距離和它到直線 ： 的距離的比是常數(shù) ，求點 的軌跡方程．
分析：若設點 ，則 ，到直線 ： 的距離 ，則容易得點 的軌跡方程．
作業(yè)：P47第4、5題

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