j.Co M
2.3.2拋物線的簡單幾何性質(zhì)
（一）目標(biāo)：
1．掌握拋物線的范圍、對稱性、頂點、離心率等幾何性質(zhì)；
2．能根據(jù)拋物線的幾何性質(zhì)對拋物線方程進(jìn)行討論，在此基礎(chǔ)上列表、描點、畫拋物線圖形；
3．在對拋物線幾何性質(zhì)的討論中，注意數(shù)與形的結(jié)合與轉(zhuǎn)化 .
（二）重點：拋物線的幾何性質(zhì)及其運用
（三）教學(xué)難點：拋物線幾何性質(zhì)的運用
（四）教學(xué)過程：
一、復(fù)習(xí)引入：（學(xué)生回顧并填表格）
1．拋物線定義：平面內(nèi)與一個定點F和一條定直線 的距離相等的點的軌跡叫做拋物線. 定點F叫做拋物線的焦點，定直線 叫做拋物線的準(zhǔn)線.
圖形

方程

焦點


準(zhǔn)線


2．拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程：
相同點：(1)拋物線都過原點；(2)對稱軸為坐標(biāo)軸；(3)準(zhǔn)線都與對稱軸垂直，垂足與焦點在對稱軸上關(guān)于原點對稱 它們到原點的距離都等于一次項系數(shù)絕對值的 ，即 .
不同點：(1)圖形關(guān)于x軸對稱時，x為一次項，y為二次項，方程右端為 、左端為 ；圖形關(guān)于y軸對稱時，x為二次項，y為一次項，方程右端為 ，左端為 . （2）開口方向在x軸（或y軸）正向時，焦點在x軸（或y軸）的正半軸上，方程右端取正號；開口在x軸（或y軸）負(fù)向時，焦點在x軸（或y軸）負(fù)半軸時，方程右端取負(fù)號.
二、講解新課：
類似研究雙曲線的性質(zhì)的過程，我們以 為例來研究一下拋物線的簡單幾何性質(zhì)：
1．范圍
因為p＞0，由方程 可知，這條拋物線上的點M的坐標(biāo)(x，y)滿足不等式x≥0，所以這條拋物線在y軸的右側(cè)；當(dāng)x的值增大時，y也增大，這說明拋物線向右上方和右下方無限延伸．
2．對稱性
以－y代y，方程 不變，所以這條拋物線關(guān)于x軸對稱，我們把拋物線的對稱軸叫做拋物線的軸．
3．頂點
拋物線和它的軸的交點叫做拋物線的頂點．在方程 中，當(dāng)y=0時，x=0，因此拋物線 的頂點就是坐標(biāo)原點．
4．離心率
拋物線上的點M與焦點的距離和它到準(zhǔn)線的距離的比，叫做拋物線的離心率，用e表示．由拋物線的定義可知，e=1．
對于其它幾種形式的方程，列表如下：（學(xué)生通過對照完成下表）
標(biāo)準(zhǔn)方程圖形頂點對稱軸焦點準(zhǔn)線離心率




注意強調(diào) 的幾何意義：是焦點到準(zhǔn)線的距離.
思考：拋物線有沒有漸近線？（體會拋物線與雙曲線的區(qū)別）
三、例題講解：
例1 已知拋物線關(guān)于x軸為對稱，它的頂點在坐標(biāo)原點，并且經(jīng)過點 ，求它的標(biāo)準(zhǔn)方程，并用描點法畫出圖形．
分析：首先由已知點坐標(biāo)代入方程，求參數(shù)p．
解：由題意，可設(shè)拋物線方程為 ，因為它過點 ，
所以 ，即
因此，所求的拋物線方程為 ．
將已知方程變形為 ，根據(jù) 計算拋物線在 的范圍內(nèi)幾個點的坐標(biāo)，得
x01234…
y022.83.54…
描點畫出拋物線的一部分，再利用對稱性，就可以畫出拋物線的另一部分
點評：在本題的畫圖過程中，如果描出拋物線上更多的點，可以發(fā)現(xiàn)這條拋物線雖然也向右上方和右下方無限延伸，但并不能像雙曲線那樣無限地接近于某一直線，也就是說，拋物線沒有漸近線．
例2斜率為1的直線經(jīng)過拋物線y2=4x的焦點，與拋物線交于兩點A、B，求線段AB的長.
解法1：如圖所示，由拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程可知，焦點F（1，0），準(zhǔn)線方程x=?1.
由題可知，直線AB的方程為y=x?1
代入拋物線方程y2=4x，整理得：x2?6x+1=0
解上述方程得x1=3+2 ,x2=3?2
分別代入直線方程得y1=2+2 ,y2=2?2
即A、B的坐標(biāo)分別為（3+2 ，2+2 ），（3?2 ，2?2 ）
∴AB=
解法2：設(shè)A(x1,y1)、B(x2,y2)，則x1+x2=6,x1?x2=1
∴AB= x1?x2

解法3：設(shè)A（x1,y1)、B(x2,y2),由拋物線定義可知，
AF等于點A到準(zhǔn)線x=?1的距離AA′
即AF=AA′=x1+1
同理BF=BB′=x2+1
∴AB=AF+BF=x1+x2+2=8
點評：解法2是利用韋達(dá)定理根與系數(shù)的關(guān)系，設(shè)而不求，是解析幾何中求弦長的一種普遍適用的方法；解法3充分利用了拋物線的定義，解法簡潔，值得引起重視。
變式訓(xùn)練：過拋物線 的焦點 作直線，交拋物線于 , 兩點，若 ，求 。
解： ， ， 。
點評：由以上例2以及變式訓(xùn)練可總結(jié)出焦點弦弦長： 或 。
四、達(dá)標(biāo)練習(xí)：
1．過拋物線 的焦點作直線交拋物線于 ， 兩點，如果 ，那么 =（ ）
（A）10 （B）8 （C）6 （D）4
2．已知 為拋物線 上一動點， 為拋物線的焦點，定點 ，則 的最小值為（ ）
（A）3 （B）4 （C）5 （D）6
3．過拋物線 焦點 的直線 它交于 、 兩點，則弦 的中點的軌跡方程是 ______
4.定長為 的線段 的端點 、 在拋物線 上移動，求 中點 到 軸距離的最小值，并求出此時 中點 的坐標(biāo).
參考答案：1. B 2. B 3. 4. , M到 軸距離的最小值為 .
五、小結(jié) ：拋物線的離心率、焦點、頂點、對稱軸、準(zhǔn)線、中心等.
六、課后作業(yè)：
1．根據(jù)下列條件，求拋物線的方程，并畫出草圖．
（1）頂點在原點，對稱軸是x軸，頂點到焦點的距離等于8．
（2）頂點在原點，焦點在y軸上，且過P（4，2）點．
（3）頂點在原點，焦點在y軸上，其上點P（m，－3）到焦點距離為5．
2．過拋物線焦點F的直線與拋物線交于A、B兩點，若A、B在準(zhǔn)線上的射影是A2、B2，則∠A2FB2等于　 .
3．拋物線頂點在原點，以坐標(biāo)軸為對稱軸，過焦點且與y軸垂直的弦長為16，求拋物線方程．
4．以橢圓 的右焦點，F(xiàn)為焦點，以坐標(biāo)原點為頂點作拋物線，求拋物線截橢圓在準(zhǔn)線所得的弦長．
5．有一拋物線型拱橋，當(dāng)水面距拱頂4米時，水面寬40米，當(dāng)水面下降1米時，水面寬是多少米？
習(xí)題答案：
1．（1）y2＝±32x（2）x2＝8y（3）x2＝－8y
2．90° 3．x2＝±16 y4． 5． 米
七、板書設(shè)計（略）


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