若A為橢圓內(nèi)一定點（異于焦點），P是C上的一個動點，F(xiàn)是C的一個焦點，e是C的離心率，求 的最小值。
例1. 已知橢圓 內(nèi)有一點A（2，1），F(xiàn)是橢圓C的左焦點，P為橢圓C上的動點，求 的最小值。
分析：注意到式中的數(shù)值“ ”恰為 ，則可由橢圓的第二定義知 等于橢圓上的點P到左準線的距離。這種方法在本期《橢圓中減少運算量的主要方法》一文中已經(jīng)介紹過，這里不再重復，答案為 。
二、 的最值
若A為橢圓C內(nèi)一定點（異于焦點），P為C上的一個動點，F(xiàn)是C的一個焦點，求 的最值。
例2. 已知橢圓 內(nèi)有一點A（2，1），F(xiàn)為橢圓的左焦點，P是橢圓上動點，求 的最大值與最小值。
解：如圖1，設橢圓的右焦點為 ，可知其坐標為（3，0）

圖1
由橢圓的第一定義得：

可知，當P為 的延長線與橢圓的交點時， 最大，最大值為 ，當P為 的延長線與橢圓的交點時， 最小，最小值為 。
故 的最大值為 ，最小值為 。
三、 的最值
若A為橢圓C外一定點， 為C的一條準線，P為C上的一個動點，P到 的距離為d，求 的最小值。
例3. 已知橢圓 外一點A（5，6）， 為橢圓的左準線，P為橢圓上動點，點P到 的距離為d，求 的最小值。
解：如圖2，設F為橢圓的左焦點，可知其坐標為

圖2
根據(jù)橢圓的第二定義有： ，即

可知當P、F、A三點共線且P在線段AF上時， 最小，最小值 。
故 的最小值為10。
四、橢圓上定長動弦中點到準線距離的最值
例4. 定長為 的線段AB的兩個端點分別在橢圓 上移動，求AB的中點M到橢圓右準線 的最短距離。
解：設F為橢圓的右焦點，如圖3，作 于A”，BB”⊥ 于B”，MM”⊥ 于M”

圖3
則
當且僅當AB過焦點F時等號成立。
故M到橢圓右準線的最短距離為 。

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