選修2-2 1.1 第1課時 變化率問題
一、
1．在平均變化率的定義中，自變量x在x0處的增量Δx(　　)
A．大于零　　　　　　　　B．小于零
C．等于零 D．不等于零
[答案]　D
[解析]　Δx可正，可負，但不為0，故應選D.
2．設函數(shù)y＝f(x)，當自變量x由x0變化到x0＋Δx時，函數(shù)的改變量Δy為(　　)
A．f(x0＋Δx) B．f(x0)＋Δx
C．f(x0)?Δx D．f(x0＋Δx)－f(x0)
[答案]　D
[解析]　由定義，函數(shù)值的改變量Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)，故應選D.
3．已知函數(shù)f(x)＝－x2＋x，則f(x)從－1到－0.9的平均變化率為(　　)
A．3 B．0.29
C．2.09 D．2.9
[答案]　D
[解析]　f(－1)＝－(－1)2＋(－1)＝－2.
f(－0.9)＝－(－0.9)2＋(－0.9)＝－1.71.
∴平均變化率為f(－0.9)－f(－1)－0.9－(－1)＝－1.71－(－2)0.1＝2.9，故應選D.
4．已知函數(shù)f(x)＝x2＋4上兩點A，B，xA＝1，xB＝1.3，則直線AB的斜率為(　　)
A．2 B．2.3
C．2.09 D．2.1
[答案]　B
[解析]　f(1)＝5，f(1.3)＝5.69.
∴kAB＝f(1.3)－f(1)1.3－1＝5.69－50.3＝2.3，故應選B.
5．已知函數(shù)f(x)＝－x2＋2x，函數(shù)f(x)從2到2＋Δx的平均變化率為(　　)
A．2－Δx B．－2－Δx
C．2＋Δx D．(Δx)2－2?Δx
[答案]　B
[解析]　∵f(2)＝－22＋2×2＝0，
∴f(2＋Δx)＝－(2＋Δx)2＋2(2＋Δx)
＝－2Δx－(Δx)2，
∴f(2＋Δx)－f(2)2＋Δx－2＝－2－Δx，故應選B.
6．已知函數(shù)y＝x2＋1的圖象上一點(1,2)及鄰近一點(1＋Δx,2＋Δy)，則ΔyΔx等于(　　)
A．2 B．2x
C．2＋Δx D．2＋(Δx)2
[答案]　C
[解析]　ΔyΔx＝f(1＋Δx)－f(1)Δx
＝[(1＋Δx)2＋1]－2Δx＝2＋Δx.故應選C.
7．質點運動規(guī)律S(t)＝t2＋3，則從3到3.3內，質點運動的平均速度為(　　)
A．6.3 B．36.3
C．3.3 D．9.3
[答案]　A
[解析]　S(3)＝12，S(3.3)＝13.89，
∴平均速度v＝S(3.3)－S(3)3.3－3＝1.890.3＝6.3，故應選A.
8．在x＝1附近，取Δx＝0.3，在四個函數(shù)①y＝x、②y＝x2、③y＝x3、④y＝1x中，平均變化率最大的是(　　)
A．④　　　　B．③　　　　
C．②　　　　D．①
[答案]　B
[解析]　Δx＝0.3時，①y＝x在x＝1附近的平均變化率k1＝1；②y＝x2在x＝1附近的平均變化率k2＝2＋Δx＝2.3；③y＝x3在x＝1附近的平均變化率k3＝3＋3Δx＋(Δx)2＝3.99；④y＝1x在x＝1附近的平均變化率k4＝－11＋Δx＝－1013.∴k3＞k2＞k1＞k4，故應選B.
9．物體做直線運動所經過的路程s可以表示為時間t的函數(shù)s＝s(t)，則物體在時間間隔[t0，t0＋Δt]內的平均速度是(　　)
A．v0 B.Δts(t0＋Δt)－s(t0)
C.s(t0＋Δt)－s(t0)Δt D.s(t)t
[答案]　C
[解析]　由平均變化率的概念知C正確，故應選C.
10．已知曲線y＝14x2和這條曲線上的一點P1，14，Q是曲線上點P附近的一點，則點Q的坐標為(　　)
A.1＋Δx，14(Δx)2 B.Δx，14(Δx)2
C.1＋Δx，14(Δx＋1)2 D.Δx，14(1＋Δx)2
[答案]　C
[解析]　點Q的橫坐標應為1＋Δx，所以其縱坐標為f(1＋Δx)＝14(Δx＋1)2，故應選C.
二、題
11．已知函數(shù)y＝x3－2，當x＝2時，ΔyΔx＝________.
[答案]　(Δx)2＋6Δx＋12
[解析]　ΔyΔx＝(2＋Δx)3－2－(23－2)Δx
＝(Δx)3＋6(Δx)2＋12ΔxΔx
＝(Δx)2＋6Δx＋12.
12．在x＝2附近，Δx＝14時，函數(shù)y＝1x的平均變化率為________．
[答案]�。�29
[解析]　ΔyΔx＝12＋Δx－12Δx＝－14＋2Δx＝－29.
13．函數(shù)y＝x在x＝1附近，當Δx＝12時的平均變化率為________．
[答案]　6－2
[解析]　ΔyΔx＝1＋Δx－1Δx＝11＋Δx＋1＝6－2.
14．已知曲線y＝x2－1上兩點A(2,3)，B(2＋Δx,3＋Δy)，當Δx＝1時，割線AB的斜率是________；當Δx＝0.1時，割線AB的斜率是________．
[答案]　5　4.1
[解析]　當Δx＝1時，割線AB的斜率
k1＝ΔyΔx＝(2＋Δx)2－1－22＋1Δx＝(2＋1)2－221＝5.
當Δx＝0.1時，割線AB的斜率
k2＝ΔyΔx＝(2＋0.1)2－1－22＋10.1＝4.1.
三、解答題
15．已知函數(shù)f(x)＝2x＋1，g(x)＝－2x，分別計算在區(qū)間[－3，－1]，[0,5]上函數(shù)f(x)及g(x)的平均變化率．
[解析]　函數(shù)f(x)在[－3，－1]上的平均變化率為
f(－1)－f(－3)－1－(－3)＝[2×(－1)＋1]－[2×(－3)＋1]2＝2.
函數(shù)f(x)在[0,5]上的平均變化率為
f(5)－f(0)5－0＝2.
函數(shù)g(x)在[－3，－1]上的平均變化率為
g(－1)－g(－3)－1－(－3)＝－2.
函數(shù)g(x)在[0,5]上的平均變化率為
g(5)－g(0)5－0＝－2.
16．過曲線f(x)＝2x2的圖象上兩點A(1,2)，B(1＋Δx,2＋Δy)作曲線的割線AB，求出當Δx＝14時割線的斜率．
[解析]　割線AB的斜率k＝(2＋Δy)－2(1＋Δx)－1＝ΔyΔx
＝2(1＋Δx)2－2Δx＝－2(Δx＋2)(1＋Δx)2＝－7225.
17．求函數(shù)y＝x2在x＝1、2、3附近的平均變化率，判斷哪一點附近平均變化率最大？
[解析]　在x＝2附近的平均變化率為
k1＝f(1＋Δx)－f(1)Δx＝(1＋Δx)2－1Δx＝2＋Δx；
在x＝2附近的平均變化率為
k2＝f(2＋Δx)－f(2)Δx＝(2＋Δx)2－22Δx＝4＋Δx；
在x＝3附近的平均變化率為
k3＝f(3＋Δx)－f(3)Δx＝(3＋Δx)2－32Δx＝6＋Δx.
對任意Δx有，k1＜k2＜k3，
∴在x＝3附近的平均變化率最大．
18．(2010?杭州高二檢測)路燈距地面8m，一個身高為1.6m的人以84m/min的速度在地面上從路燈在地面上的射影點C處沿直線離開路燈．
(1)求身影的長度y與人距路燈的距離x之間的關系式；
(2)求人離開路燈的第一個10s內身影的平均變化率．
[解析]　(1)如圖所示，設人從C點運動到B處的路程為xm，AB為身影長度，AB的長度為ym，由于CD∥BE，
則ABAC＝BECD，
即yy＋x＝1.68，所以y＝f(x)＝14x.
(2)84m/min＝1.4m/s，在[0,10]內自變量的增量為
x2－x1＝1.4×10－1.4×0＝14，
f(x2)－f(x1)＝14×14－14×0＝72.
所以f(x2)－f(x1)x2－x1＝7214＝14.


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