選修2-2 1.7 定積分的簡單應用
一、
1．如圖所示，陰影部分的面積為(　　)
A.abf(x)dx　　　　　　　B.abg(x)dx
C.ab[f(x)－g(x)]dx D.ab[g(x)－f(x)]dx
[答案]　C
[解析]　由題圖易知，當x∈[a，b]時，f(x)>g(x)，所以陰影部分的面積為ab[f(x)－g(x)]dx.
2．如圖所示，陰影部分的面積是(　　)
A．23 B．2－3
C.323 D.353
[答案]　C
[解析]　S＝1－3(3－x2－2x)dx
即F(x)＝3x－13x3－x2，
則F(1)＝3－1－13＝53，
F(－3)＝－9－9＋9＝－9.
∴S＝F(1)－F(－3)＝53＋9＝323.故應選C.
3．由曲線y＝x2－1、直線x＝0、x＝2和x軸圍成的封閉圖形的面積(如圖)是(　　)
A.02(x2－1)dx
B．02(x2－1)dx
C.02x2－1dx
D.01(x2－1)dx＋12(x2－1)dx
[答案]　C
[解析]　y＝x2－1將x軸下方陰影反折到x軸上方，其定積分為正，故應選C.
4．設f(x)在[a，b]上連續(xù)，則曲線f(x)與直線x＝a，x＝b，y＝0圍成圖形的面積為(　　)
A.abf(x)dx B．a(chǎn)bf(x)dx
C.abf(x)dx D．以上都不對
[答案]　C
[解析]　當f(x)在[a，b]上滿足f(x)<0時，abf(x)dx<0，排除A；當陰影有在x軸上方也有在x軸下方時，abf(x)dx是兩面積之差，排除B；無論什么情況C對，故應選C.
5．曲線y＝1－1681x2與x軸所圍圖形的面積是(　　)
A．4　　　　B．3　　　　
C．2　　　　D.52
[答案]　B
[解析]　曲線與x軸的交點為－94，0，94，0
故應選B.
6．一物體以速度v＝(3t2＋2t)m/s做直線運動，則它在t
＝0s到t＝3s時間段內(nèi)的位移是
(　　)
A．31m　　　B．36m　　　
C．38m　　　D．40m
[答案]　B
[解析]　S＝03(3t2＋2t)dt＝(t3＋t2)30＝33＋32＝36(m)，故應選B.
7．(2010?山東理，7)由曲線y＝x2，y＝x3圍成的封閉圖形面積為(　　)
A.112　 　　B.14　　 　
C.13　 　　D.712
[答案]　A
[解析]　由y＝x2y＝x3得交點為(0,0)，(1,1)．
∴S＝01(x2－x3)dx＝13x3－14x410＝112.
8．一物體在力F(x)＝4x－1(單位：N)的作用下，沿著與力F相同的方向，從x＝1運動到x＝3處(單位：m)，則力F(x)所做的功為(　　)
A．8J　 　 　B．10J　　　
C．12J　　　D．14J
[答案]　D
[解析]　由變力做功公式有：W＝13(4x－1)dx＝(2x2－x)31＝14(J)，故應選D.
9．若某產(chǎn)品一天內(nèi)的產(chǎn)量(單位：百件)是時間t的函數(shù)，若已知產(chǎn)量的變化率為a＝36t，那么從3小時到6小時期間內(nèi)的產(chǎn)量為(　　)
A.12 B．3－322
C．6＋32 D．6－32
[答案]　D
[解析]　3636tdt＝66t63＝6－32，故應選D.
10．過原點的直線l與拋物線y＝x2－2ax(a>0)所圍成的圖形面積為92a3，則直線l的方程為(　　)
A．y＝±ax B．y＝ax
C．y＝－ax D．y＝－5ax
[答案]　B
[解析]　設直線l的方程為y＝kx，
由y＝kxy＝x2－2ax得交點坐標為(0,0)，(2a＋k,2ak＋k2)
圖形面積S＝∫2a＋k0[kx－(x2－2ax)]dx
＝k＋2a2x2－x332a＋k0
＝(k＋2a)32－(2a＋k)33＝(2a＋k)36＝92a3
∴k＝a，∴l(xiāng)的方程為y＝ax，故應選B.
二、題
11．由曲線y2＝2x，y＝x－4所圍圖形的面積是________．
[答案]　18
[解析]　如圖，為了確定圖形的范圍，先求出這兩條曲線交點的坐標，解方程組y2＝2xy＝x－4得交點坐標為(2，－2)，(8,4)．
因此所求圖形的面積S＝4－2(y＋4－y22)dy
取F(y)＝12y2＋4y－y36，則F′(y)＝y(tǒng)＋4－y22，從而S＝F(4)－F(－2)＝18.
12．一物體沿直線以v＝1＋tm/s的速度運動，該物體運動開始后10s內(nèi)所經(jīng)過的路程是________．
13．由兩條曲線y＝x2，y＝14x2與直線y＝1圍成平面區(qū)域的面積是________．
[答案]　43
[解析]　如圖，y＝1與y＝x2交點A(1,1)，y＝1與y＝x24交點B(2,1)，由對稱性可知面積S＝2(01x2dx＋12dx－0214x2dx)＝43.
14．一變速運動物體的運動速度v(t)＝2t　(0≤t≤1)at (1≤t≤2)bt (2≤t≤e)
則該物體在0≤t≤e時間段內(nèi)運動的路程為(速度單位：m/s，時間單位：s)______________________．
[答案]　9－8ln2＋2ln2
[解析]　∵0≤t≤1時，v(t)＝2t，∴v(1)＝2；
又1≤t≤2時，v(t)＝at，
∴v(1)＝a＝2，v(2)＝a2＝22＝4；
又2≤t≤e時，v(t)＝bt，
∴v(2)＝b2＝4，∴b＝8.
∴路程為S＝012tdt＋122tdt＋2e8tdt＝9－8ln2＋2ln2 .
三、解答題
15．計算曲線y＝x2－2x＋3與直線y＝x＋3所圍圖形的面積．
[解析]　由y＝x＋3y＝x2－2x＋3解得x＝0及x＝3.
從而所求圖形的面積
S＝03(x＋3)dx－03(x2－2x＋3)dx
＝03[(x＋3)－(x2－2x＋3)]dx
＝03(－x2＋3x)dx
＝－13x3＋32x230＝92.
16．設y＝f(x)是二次函數(shù)，方程f(x)＝0有兩個相等的實根，且f′(x)＝2x＋2.
(1)求y＝f(x)的表達式；
(2)若直線x＝－t(0＜t＜1)把y＝f(x)的圖象與兩坐標軸所圍成圖形的面積二等分，求t的值．
[解析]　(1)設f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，則f′(x)＝2ax＋b，
又已知f′(x)＝2x＋2，∴a＝1，b＝2，
∴f(x)＝x2＋2x＋c.
又方程f(x)＝0有兩個相等實根．
∴判別式Δ＝4－4c＝0，即c＝1.
故f(x)＝x2＋2x＋1.
(2)依題意有－1－t(x2＋2x＋1)dx＝0－t(x2＋2x＋1)dx，
∴13x3＋x2＋x－t－1＝13x3＋x2＋x0－t
即－13t3＋t2－t＋13＝13t3－t2＋t.
∴2t3－6t2＋6t－1＝0，
∴2(t－1)3＝－1，∴t＝1－132 .
17．A、B兩站相距7.2km，一輛電車從A站開往B站，電車開出ts后到達途中C點，這一段速度為1.2t(m/s)，到C點的速度達24m/s，從C點到B站前的D點以等速行駛，從D點開始剎車，經(jīng)ts后，速度為(24－1.2t)m/s，在B點恰好停車，試求：
(1)A、C間的距離；
(2)B、D間的距離；
(3)電車從A站到B站所需的時間．
[解析]　(1)設A到C經(jīng)過t1s，
由1.2t＝24得t1＝20(s)，
所以AC＝∫2001.2tdt＝0.6t2200＝240(m)．
(2)設從D→B經(jīng)過t2s，
由24－1.2t2＝0得t2＝20(s)，
所以DB＝∫200(24－1.2t)dt＝240(m)．
(3)CD＝7200－2×240＝6720(m)．
從C到D的時間為t3＝672024＝280(s)．
于是所求時間為20＋280＋20＝320(s)．
18．在曲線y＝x2(x≥0)上某一點A處作一切線使之與曲線以及x軸所圍成的面積為112，試求：
(1)切點A的坐標；
(2)過切點A的切線方程．
[解析]　如圖所示，設切點A(x0，y0)，由y′＝2x，過A點的切線方程為y－y0＝2x0(x－x0)，
即y＝2x0x－x20.
令y＝0得x＝x02，即Cx02，0.
設由曲線和過A點的切線及x軸所圍成圖形的面積為S，
S＝S曲邊△AOB－S△ABC.
S曲邊△AOB＝∫x00x2dx＝13x30，
S△ABC＝12BC?AB
＝12x0－x02?x20＝14x30，
即S＝13x30－14x30＝112x30＝112.
所以x0＝1，從而切點A(1,1)，切線方程為y＝2x－1.


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