課時5 平面向量基本定理
【學(xué)習(xí)目標(biāo)】
1．掌握平面向量的基本定理，能用兩個不共線向量表示一個向量；或一個向量分解為兩個向量。
2．能應(yīng)用平面向量基本定理解決一些幾何問題。
【知識梳理】
若 ， 是不共線向量， 是平面內(nèi)任一向量
在平面內(nèi)取一點(diǎn)O，作 = ， = ， = ，使 =λ1 =λ2
= = + =λ1 +λ2
得平面向量基本定理：


注意：1? 、 必須不共線，且它是這一平面內(nèi)所有向量的一組基底
2? 這個定理也叫共面向量定理
3?λ1，λ2是被 ， ， 唯一確定的實數(shù)。
【例題選講】
1．如圖，ABCD是平行四邊形，對角線AC，BD交于M， ， ，試用基底 、 表示 。

2．設(shè) 、 是平面內(nèi)一組基底，如果 =3 -2 ， =4 + ， =8 -9 ，求證：A，B，D三點(diǎn)共線。


3．設(shè) 、 是平面內(nèi)一組基底，如果 =2 +k ， =- -3 ， =2 - ，若A，B，D三點(diǎn)共線，求實數(shù)k的值。

4． 中， ，DE//BC，與邊AC相交于點(diǎn)E，中線AM與DE交于點(diǎn)N，如圖， ， ，試用 、 表示 。



【歸納反思】
1．平面向量基本定理是平面向量坐標(biāo)表示的基礎(chǔ)，它說明同一平面內(nèi)的任一向量都可以表示為其他兩個不共線向量的線性組合。
2．在解具體問題時適當(dāng)?shù)剡x取基底，使其它向量能夠用基底來表示，選擇了兩個不共線地向量 ，平面內(nèi)的任何一個向量都可以用 唯一表示，這樣幾何問題就可以轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題，轉(zhuǎn)化為只含 的代數(shù)運(yùn)算。
【課內(nèi)練習(xí)】
1．下面三種說法，正確的是
（1）一個平面內(nèi)只有一對不共線的向量可作為表示該平面所有向量的基底；
（2）一個平面內(nèi)有無數(shù)對不共線的向量可作為表示該平面所有向量的基底；
（3）零向量不可為基底中的向量；
2．如果 、 是平面 內(nèi)一組基底，，那么下列命題中正確的是
（1）若實數(shù)m,n，使m +n = ,則m=n=0;
（2）空間任一向量 可以表示為 = m +n ，這里m,n是實數(shù)；
（3）對實數(shù)m,n，向量m +n 不一定在平面 ；
（4）對平面 內(nèi)的任一向量 ，使 = m +n 的實數(shù)m,n有無數(shù)組。
3．若G是 的重心，D、E、F分別是AB、BC、CA的中點(diǎn)，則 =
4．如圖，在 中，AM：AB=1：3，AN：AC=1：4，BN與CM交于點(diǎn)P，設(shè) ，試用 ， 表示 。


5．設(shè) ， ， ，求證：A、B、D三點(diǎn)共線。


【鞏固提高】
1．設(shè) 是平面內(nèi)所有向量的一組基底，則下面四組中不能作為基底的是
A + 和 - B 3 -2 和-6 +4
C +2 和 +2 D 和 +
2．若 ， ， ，則 =
A + B + C + D +
3．平面直角坐標(biāo)系中，O為原點(diǎn)，A（3，1），B（-1，3），點(diǎn)C滿足 ，其中 ，且 =1，則點(diǎn)C的軌跡方程為
4．O是平面上一定點(diǎn)，A，B，C是平面上不共線的三個點(diǎn)，動點(diǎn)P滿足
，則P的軌跡一定通過 的 心
5．若點(diǎn)D在 的邊BC上，且 = ，則3m+n的值為
6．設(shè) = +5 ， = -2 +8 ， =3（ - ），求證：A、B、D三點(diǎn)共線。


7．在圖中，對于平行四邊形ABCD，點(diǎn)M是AB的中點(diǎn)，點(diǎn)N在BD上，且BN= BD，求證：M，N，C三點(diǎn)共線。



8．已知 =5 +2 ， =6 +y ， ， ， 是一組基底，求y的值。



9．如圖，在 中，D、E分別是線段AC的兩個四等份點(diǎn)，點(diǎn)F是線段BC的中點(diǎn)，設(shè) ， ，試用 ， 為基底表示向量 。



問題統(tǒng)計與分析

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