定積分的背景——面積和路程問(wèn)題
過(guò)程:
一、問(wèn)題引入
師：1.求下圖中陰影部分的面積：

師：對(duì)于哪些圖形的面積，大家會(huì)求呢？（學(xué)生回憶，回答）
師：對(duì)于 ， ， ， 圍成的圖形（曲邊三角形）的面積如何來(lái)求呢？（一問(wèn)激起千層浪，開(kāi)門(mén)見(jiàn)山，讓學(xué)生明確本節(jié)課的所要學(xué)習(xí)的內(nèi)容，對(duì)于學(xué)生未知的東西，學(xué)生往往比較好奇，激發(fā)他們的求知欲）今天我們一起來(lái)探究這種曲邊圖形的面積的求法。
二、學(xué)生活動(dòng)與意義建構(gòu)
1、讓學(xué)生自己探求，討論（3—4分鐘）
2、讓學(xué)生說(shuō)出自己的想法
希望學(xué)生說(shuō)出以 的面積近似代替曲邊三角形的面積，但誤差很大，如何減小誤差呢？希望學(xué)生討論得出將曲邊三角形進(jìn)行分割，形成若干個(gè)曲邊梯形。（在討論的過(guò)程中滲透分割的思想）
師：如何計(jì)算每個(gè)曲邊梯形的面積呢？（通過(guò)討論希望學(xué)生能出以下三種方案，在討論的過(guò)程中，讓學(xué)生想到以直代曲，給學(xué)生創(chuàng)新的機(jī)會(huì)）


方案一 方案二 方案三

方案一：用一個(gè)矩形的面積近似代替曲邊梯形的面積，梯形分割的越多，三角形的面積越小，小矩形的面積就可以近視代替曲邊梯形的面積。
方案二：用一個(gè)大矩形的面積來(lái)近似代替曲邊梯形的面積，梯形分割的越多，三角形的面積越小，大矩形的面積來(lái)近似代替曲邊梯形的面積。
方案三：以梯形的面積來(lái)近似代替曲邊梯形的面積。
（對(duì)于其中的任意一個(gè)曲邊梯形，我們可以用“直邊”來(lái)代替“曲邊”（即在很小的范圍內(nèi)以直代曲），這三種方案是本節(jié)課內(nèi)容的核心，故多花點(diǎn)時(shí)間引導(dǎo)學(xué)生探求，討論得出，讓學(xué)生體會(huì)“以曲代直”的思想，從近似中認(rèn)識(shí)精確，給學(xué)生探求的機(jī)會(huì)）
師：這樣，我們就可以計(jì)算出任意一個(gè)小曲邊梯形的面積的近似值，從而可以計(jì)算出整個(gè)曲邊三角形面積的近似值，（求和），并且分割越細(xì)，面積的近似值就越精確，當(dāng)分割無(wú)限變細(xì)時(shí)，這個(gè)近似值就無(wú)限逼近所求的曲邊三角形的面積。如何求這個(gè)曲邊三角形的面積，以方案一為例：
⑴分割細(xì)化
將區(qū)間 等分成 個(gè)小區(qū)間 ， ，…， ，…， ，每個(gè)區(qū)間的長(zhǎng)度為 （學(xué)生回答），過(guò)各個(gè)區(qū)間端點(diǎn)作 軸的垂線，從而得到 個(gè)小曲邊梯形，它們的面積分別記作 ， ，…， ，…， 。
⑵以直代曲
對(duì)區(qū)間 上的小曲邊梯形，以區(qū)間左端點(diǎn) 對(duì)應(yīng)的函數(shù)值 為一邊的長(zhǎng)，以 為鄰邊的長(zhǎng)的小矩形的面積近似代替小曲邊梯形的面積。即
（當(dāng)分割很細(xì)時(shí)，在 上任一點(diǎn)的函數(shù)值作為矩形的一邊長(zhǎng)都可以，常取左右端點(diǎn)或中點(diǎn)，這樣為以后定積分的定義埋下了伏筆，為學(xué)生的解題提供了方法）
⑶作和
因?yàn)槊總�(gè)小矩形的面積是相應(yīng)的小曲邊梯形面積的近似值，所以 個(gè)小矩形面積之和就是所求曲邊三角形面積 的近似值：

（復(fù)習(xí) 符號(hào)的運(yùn)用）


⑷逼近
當(dāng)分割無(wú)限變細(xì)時(shí)，即 無(wú)限趨近于 （ 趨向于 ）

當(dāng) 趨向 時(shí)， 無(wú)限趨近于 ， 無(wú)限趨近于 ，故上式的結(jié)果無(wú)限趨近于 ， ，即所求曲邊三角形面積是 。（在逼近的過(guò)程中，難點(diǎn)是求 在此應(yīng)給學(xué)生一些時(shí)間探求自然數(shù)的平方和，
最好在講數(shù)列知識(shí)時(shí)補(bǔ)充進(jìn)去。新教材有很多知識(shí)點(diǎn)前后順序編排的有所不妥，有好多知識(shí)應(yīng)該先有伏筆，而不是要用到什么就補(bǔ)充什么，在研究解析幾何中直線部分時(shí)，這個(gè)問(wèn)題也有所體現(xiàn)）
3、分成兩組，分別以方案二、方案三按上述四個(gè)步驟重新計(jì)算曲邊三角形的面積，并將操作過(guò)程和計(jì)算結(jié)果與方案一進(jìn)行比較。
（設(shè)計(jì)的目的是培養(yǎng)學(xué)生的合作交流的能力，優(yōu)化解題方案）
師：請(qǐng)用流程圖表示求曲邊三角形面積的過(guò)程

4、反思
在求曲邊梯形面積過(guò)程中，你認(rèn)為最讓你感到困難的是什么？（如何分割，求和逼近是兩大難點(diǎn)）
（在新課程的課堂過(guò)程中，經(jīng)常性地問(wèn)學(xué)生一些這樣的問(wèn)題，可以讓學(xué)生對(duì)自己的學(xué)習(xí)過(guò)程起到一個(gè)自查作用，查漏補(bǔ)缺，對(duì)培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的自查意識(shí)是一個(gè)很好的途徑，也可以活躍課堂氣氛）
三、數(shù)學(xué)應(yīng)用
1、典型例題
師：在方案一中，和式 （*）表示曲邊梯形的面積的近似值，這一和式不僅是有直觀的幾何意義，還有豐富的實(shí)際背景。
例1：火箭發(fā)射后 的速度為 （單位 ），假定 ，對(duì)函數(shù) 按（*）式所作的和具有怎樣的意義？
解：將區(qū)間 等分成 個(gè)小區(qū)間，每個(gè)小區(qū)間的長(zhǎng)度為 ，在每個(gè)小區(qū)間上取一點(diǎn)，依次為 ，雖然火箭的速度不是常數(shù)，但在一個(gè)小區(qū)間內(nèi)其變化很小，可以用 來(lái)代替火箭在第一個(gè)小區(qū)間上的速度，這樣，
火箭在第一個(gè)時(shí)段內(nèi)運(yùn)行的路程
同理 火箭在第二個(gè)時(shí)段內(nèi)運(yùn)行的路程
從而
火箭在 內(nèi)運(yùn)行的路程總和
這就是函數(shù) 在時(shí)間區(qū)間 上按（*）式所作的和的實(shí)際背景。
（由于學(xué)生初次遇到這類問(wèn)題，語(yǔ)言表達(dá)比較困難，故教師在教學(xué)過(guò)程中最好采用對(duì)話式教學(xué)，邊說(shuō)邊寫(xiě)，規(guī)范板書(shū)）
例2：如圖，有兩個(gè)點(diǎn)電荷 、 ，電量分別為 、 ，固定電荷 將電荷 從距 為 處移到距 為 處，求庫(kù)侖力對(duì)電荷 所做的功。

先分析，再讓學(xué)生嘗試書(shū)寫(xiě)，然后投影解題過(guò)程。
（設(shè)計(jì)兩道例題的目的，一是培養(yǎng)學(xué)生的文字表達(dá)能力，二是讓學(xué)生體會(huì)數(shù)學(xué)在物理上的應(yīng)用，也為后面的定積分的物理意義變力所做的功，變速運(yùn)動(dòng)的位移埋下伏筆）
學(xué)生練習(xí)：課本P46練習(xí)
四、回顧反思
知識(shí)點(diǎn)：⑴求曲邊梯形面積的四個(gè)步驟；⑵數(shù)學(xué)知識(shí)在物理上的應(yīng)用。
反思消化：⑴對(duì)今天學(xué)習(xí)的內(nèi)容，你覺(jué)得有什么困難？
⑵在以前的學(xué)習(xí)過(guò)程中，有哪些地方用到了與今天類似的方法？
（希望學(xué)生能回憶起初中圓的周長(zhǎng)、高中球的表面積以及線性回歸方程等類似的內(nèi)容）
五、布置作業(yè)：
1、探究：有沒(méi)有不同于方案一、方案二、方案三的以直代曲的方案？
2、課課練P41 1. 2
本文來(lái)自：逍遙右腦記憶 http://www.portlandfoamroofing.com/gaoer/72172.html

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