M 3 勻變速直線運(yùn)動的位移與時(shí)間的關(guān)系
整體設(shè)計(jì)
高中物理引入極限思想的出發(fā)點(diǎn)就在于它是一種常用的科學(xué)思維方法，上一章教材用極限思想介紹了瞬時(shí)速度和瞬時(shí)加速度，本節(jié)介紹v-t圖線下面四邊形的面積代表勻變速直線運(yùn)動的位移時(shí)，又一次應(yīng)用了極限思想.當(dāng)然，我們只是讓學(xué)生初步認(rèn)識這些極限思想，并不要求會計(jì)算極限.按教材這樣的方式來接受極限思想，對高中學(xué)生來說是不會有太多困難的.學(xué)生學(xué)習(xí)極限時(shí)的困難不在于它的思想，而在于它的運(yùn)算和嚴(yán)格的證明，而這些，在教材中并不出現(xiàn).教材的宗旨僅僅是“滲透”這樣的思想.在導(dǎo)出位移公式的中，利用實(shí)驗(yàn)探究中所得到的一條紙帶上時(shí)間與速度的記 錄，讓學(xué)生思考與討論如何求出小車的位移，要鼓勵學(xué)生積極思考，充分表達(dá)自己的想法.可啟發(fā)、引導(dǎo)學(xué)生具體、深入地分析，肯定學(xué)生正確的想法，弄清楚錯(cuò)誤的原因.本節(jié)應(yīng)注重?cái)?shù)、形結(jié)合的問題，過程中可采用探究式、討論式進(jìn)行授課.
教學(xué)重點(diǎn)
1.理解勻速直線運(yùn)動的位移及其應(yīng)用.
2.理解勻變速直線運(yùn)動的位移與時(shí)間的關(guān)系及其應(yīng)用.
教學(xué)難點(diǎn)
1.v-t圖象中圖線與t軸所夾的面積表示物體在這段時(shí)間內(nèi)運(yùn)動的位移.
2.微元法推導(dǎo)位移公式.
課時(shí)安排
1課時(shí)
三維目標(biāo)
知識與技能
1.知道勻速直線運(yùn)動的位移與時(shí)間的關(guān)系.
2.理解勻變速直線運(yùn)動的位移及其應(yīng)用.
3.理解勻變速直線運(yùn)動的位移與時(shí)間的關(guān)系及其應(yīng)用.
4.理解v-t圖象中圖線與t軸所夾的面積表示物體在這段時(shí)間內(nèi)運(yùn)動的位移.
過程與方法
1.通過近似推導(dǎo)位移公式的過程，體驗(yàn)微元法的特點(diǎn)和技巧，能把瞬時(shí)速度的求法與此比較.
2.感悟一些數(shù)學(xué)方法的應(yīng)用特點(diǎn).
情感態(tài)度與價(jià)值觀[來源:學(xué)科網(wǎng)]
1.經(jīng)歷微元法推導(dǎo)位移公式和公式法推導(dǎo)速度位移關(guān)系，培養(yǎng)自己動手的能力，增加物理情感.
2.體驗(yàn)成功的快樂和方法的意義.
課前準(zhǔn)備
多媒體課件、坐標(biāo)紙、鉛筆
教學(xué)過程
導(dǎo)入新課
情景導(dǎo)入
“適者生存”是自然界中基本的法則之一，獵豹要生存必須獲得足夠的食物，獵豹的食物來源中，羚羊是不可缺少的.假設(shè)羚羊從靜止開始奔跑，經(jīng)50 m能加速到最大速度25 m/s，并能維持較長的時(shí)間；獵豹從靜止開始奔跑，經(jīng)60 m能加速到最大速度30 m/s，以后只能維持這個(gè)速度4.0 s.設(shè)獵豹在某次尋找食物時(shí)，距離羚羊30 m時(shí)開始攻擊，羚羊在獵豹開始攻擊后1.0 s才開始逃跑，假定羚羊和獵豹在加速階段分別做勻加速直線運(yùn)動，且均沿同一直線奔跑，獵豹能否成功捕獲羚羊？
故事導(dǎo)入
1962年11月，赫赫有名的“子爵號”飛機(jī)正在美國馬里蘭州伊利奧特市上空平穩(wěn)地飛行，突然一聲巨響，飛機(jī)從高空栽了下來，事后發(fā)現(xiàn)釀成這場空中悲劇的罪魁禍?zhǔn)拙故且恢辉诳罩新�慢翱翔的天鵝.
在我國也發(fā)生過類似的事情.1991年10月6日，海南海口市樂東機(jī)場，海軍航空兵的一架“014號”飛機(jī)剛騰空而起，突然，“砰”的一聲巨響，機(jī)體猛然一顫，飛行員發(fā)現(xiàn)左前三角擋風(fēng)玻璃完全破碎， 令人慶幸的是，飛行員憑著頑強(qiáng)的意志和嫻熟的技術(shù)終于使飛機(jī)降落在跑道上，追究原因還是一只迎面飛來的小鳥.
飛機(jī)在起飛和降落過程中，與經(jīng)常棲息在機(jī)場附近的飛鳥相撞而導(dǎo)致“機(jī)毀鳥亡”.小鳥為何能把飛機(jī)撞毀呢？學(xué)習(xí)了本節(jié)知識，我們就知道其中的原因了.
復(fù)習(xí)導(dǎo)入
前面我們學(xué)習(xí)了勻變速直線運(yùn)動中速度與時(shí)間的關(guān)系，其關(guān)系式為v=v0+at.在探究速度與時(shí)間的關(guān)系時(shí)，我們分別運(yùn)用了不同方法來進(jìn)行.我們知道，描述運(yùn)動的物理量還有位移，那位移與時(shí)間的關(guān)系又是怎樣的呢？我們又將采用什么方法來探究位移與時(shí)間的關(guān)系呢？
推進(jìn)新課
一、勻速直線 運(yùn)動的位移與時(shí)間的關(guān)系
做勻速直線運(yùn)動的物體在時(shí)間t內(nèi)的位移x=v-t.
說明：取運(yùn)動的初始時(shí)刻物體的位置為坐標(biāo)原點(diǎn)，這樣，物體在時(shí)刻t的位移等于這時(shí)的坐標(biāo)x，從開始到t時(shí)刻的時(shí)間間隔為t.
教師設(shè)疑：同學(xué)們在坐標(biāo)紙上作出勻速直線運(yùn)動的v-t圖象，猜想一下，能否在v-t圖象中表示出做勻速直線運(yùn)動的物體在時(shí)間t內(nèi)的位移呢？學(xué)生作圖并思考討論.
合作探究
1.作出勻速直線運(yùn)動的物體的速度?時(shí)間圖象.
2.由圖象可看出勻速直線運(yùn)動的v-t圖象是一條平行于t軸的直線.
3.探究發(fā)現(xiàn)，從0??t時(shí)間內(nèi)，圖線與t軸所夾圖形為矩形，其面積為v-t.
4.結(jié)論：對于勻速直線運(yùn)動，物體的位移對應(yīng)著v-t圖象中一塊矩形的面積，如圖2-3-1.

圖2-3-1
點(diǎn)評：1.通過學(xué)生回答教師提出的問題，培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用所學(xué)知識解決問題的能力和語言概括表達(dá)能力.
2.通過對問題的探究，提高學(xué)生把物理規(guī)律和數(shù)學(xué)圖象相結(jié)合的能力.
討論了勻速直線運(yùn)動的位移可用v-t圖象中所夾的面積來表示的方法，勻變速直線運(yùn)動的位移在v-t圖象中是不是也有類似的關(guān)系，下面我們就來學(xué)習(xí)勻變速直線運(yùn)動的位移和時(shí)間的關(guān)系.
二、勻變速直線運(yùn)動的位移
教師啟發(fā)引導(dǎo)，進(jìn)一步提出問題，但不進(jìn)行回答.
問題：對于勻變速直線運(yùn)動的位移與它的v-t圖象是不是也有類似的關(guān)系？
通過該問題培養(yǎng)學(xué)生聯(lián)想的能力和探究問題、大膽猜想的能力.
學(xué)生針對問題思考，并閱讀“思考與討論”.
學(xué)生分組討論并說出各自見解.
結(jié)論：學(xué)生A的計(jì)算中，時(shí)間間隔越小，計(jì)算出的誤差就越小，越接近真實(shí)值.
點(diǎn)評：培養(yǎng)用微元法的思想分析問題的能力和敢于提出與別人不同見解發(fā)表自己看法的勇氣.
說明：這種分析方法是把過程先微分后再累加（積分）的定積分思想來解決問題的方法，在以后的學(xué)習(xí)中經(jīng)常用到.比如：一條直線可看作由一個(gè)個(gè)的點(diǎn)子組成，一條曲線可看作由一條條的小線段組成.
教師活動：（投影）提出問題：我們掌握了這種定積分分析問題的思想，下面同學(xué)們在坐標(biāo)紙上作初速度為v0的勻變速直線運(yùn)動的v-t圖象，分析一下圖線與t軸所夾的面積是不是也表示勻變速直線運(yùn)動在時(shí)間t內(nèi)的位移呢？
學(xué)生作出v-t圖象，自我思考解答，分組討論.
討論交流：1.把每一小段Δt內(nèi)的運(yùn)動看作勻速運(yùn)動，則各矩形面積等于各段 勻速直線運(yùn)動的位移，從圖2-3-2看出，矩形面積之和小于勻變速直線運(yùn)動在該段時(shí)間內(nèi)的位移.

圖2-3-2 圖2-3-3 圖2-3-4
2.時(shí)間段Δt越小，各勻速直線運(yùn)動位移和與勻變速直線運(yùn)動位移之間的差值就越小.如圖2-3-3.
3.當(dāng)Δt→0時(shí)，各矩形面積之和趨近于v-t圖象下面的面積.
4.如果把整個(gè)運(yùn)動過程劃分得非常非常細(xì)，很多很小矩形的面積之和就能準(zhǔn)確代表物體的位移了，位移的大小等于如圖2-3-4所示的梯形的面積.
根據(jù)同學(xué)們的結(jié)論利用課本圖2.3-2（丁圖）能否推導(dǎo)出勻變速直線運(yùn)動的位移與時(shí)間的關(guān)系式？
學(xué)生分析推導(dǎo)，寫出過程：
S面積= （OC+AB）?OA
所以x= （v0+v）t
又v=v0+at
解得x=v0t+ at2.
點(diǎn)評：培養(yǎng)學(xué)生利用數(shù)學(xué)圖象和物理知識推導(dǎo)物理規(guī)律的能力.
做一做：位移與時(shí)間的關(guān)系也可以用圖象表示，這種圖象叫做位移?時(shí)間圖象，即x-t圖象.運(yùn)用初中數(shù)學(xué)中學(xué)到的一次函數(shù)和二次函數(shù)知識，你能畫出勻變速直線運(yùn)動x=v0t+ at2的x-t圖象嗎？（v0、a是常數(shù)）
學(xué)生在坐標(biāo)紙上作x-t圖象.
點(diǎn)評：培養(yǎng)學(xué)生把數(shù)學(xué)知識應(yīng)用在物理中，體會物理與數(shù)學(xué)的密切關(guān)系，培養(yǎng)學(xué)生作關(guān)系式圖象的處理技巧.
（投影）進(jìn)一步提出問題：如果一位同學(xué)問：“我們研究的是直線運(yùn)動，為什么畫出來的x-t圖象不是直線？”你應(yīng)該怎樣向他解釋？
學(xué)生思考討論，回答問題：
位移圖象描述的是位移隨時(shí)間的變化規(guī)律，而直線運(yùn)動是實(shí)際運(yùn)動.
知識 拓展
問題展示：勻變速直線運(yùn)動v-t關(guān)系為：v=v0+at
x-t關(guān)系為：x=v0t+ at2
若一質(zhì)點(diǎn)初速度為v0=0，則以上兩式變式如何？
學(xué)生思考回答：v=at x= at2
進(jìn)一步提出問題：一質(zhì)點(diǎn)做初速度v0=0的勻加速直線運(yùn)動.
（1）1 s末、2 s末、3 s末……n s末的速度之比為多少？
（2）1 s內(nèi)、2 s內(nèi)、3 s內(nèi)……n s內(nèi)的位移之比為多少？
（3）第1 s內(nèi)、第2 s內(nèi)、第3 s內(nèi)……第n s內(nèi)的位移之比為多少？
（4）第1個(gè)x，第2個(gè)x，第3個(gè)x……第n個(gè)x相鄰相等位移的時(shí)間之比為多少？
點(diǎn)評：通過該問題加深對公式的理解，培養(yǎng)學(xué)生靈活運(yùn)用所學(xué)知識解決實(shí)際問題的能力.
學(xué)生活動：思考，應(yīng)用公式解決上述四個(gè)問題.
（1）由v=at知，v∝t，故1 s末、2 s末、3 s末……n s末的速度之比為：1∶2∶3∶…∶n
（2）由x= at2知x∝t2，故1 s內(nèi)、2 s內(nèi)、3 s內(nèi)……n s內(nèi)的位移之比為：1∶4∶9∶…∶n2
（3）第1 s內(nèi)位移為x1= a，第2 s內(nèi)位移為x2= a（22-12），第3 s內(nèi)位移為x3= a（32-22），第n s內(nèi)位移為xn= a［n2-（n-1 ）2］
故第1 s內(nèi)，第2 s內(nèi)，第3 s內(nèi)，…第n秒內(nèi)位移之比為：1∶3∶5∶…∶（2n-1）.
（4）由x= at2知t∝ ，故x，2x，3x，…nx位移所用時(shí)間之比為：1∶ ∶ ∶…∶ .
第1個(gè)x，t1= ；第2個(gè)x，t2= ；第3個(gè)x，t3= ……第n個(gè)x，tn= ，故第1個(gè)x，第2個(gè)x，第3個(gè)x……第n個(gè)x相鄰相等位移的時(shí)間之比：1∶（ -1）∶（ - ）∶…∶（ - ）
三、勻變速直線運(yùn)動位移時(shí)間關(guān)系的應(yīng)用
引導(dǎo)學(xué)生由v=v0+at，x=v0t+ at2兩個(gè)公式導(dǎo)出兩個(gè)重要推論，再利用兩個(gè)推論解決實(shí)際問題，加深對公式的理解，提高學(xué)生邏輯思維能力.[來源:學(xué).科.網(wǎng)]
問題：在勻變速直線運(yùn)動中連續(xù)相等的時(shí)間（T）內(nèi)的位移之差是否是恒量？若不是，寫出之間的關(guān)系；若是，恒量是多少？
學(xué)生分析推導(dǎo) ：xn=v0T+ aT2
xn+1 =（v0+aT）T+ aT2
Δx=xn+1-xn=aT2（即aT2為恒量）.
展示論點(diǎn)：在勻變速直線運(yùn)動中，某段時(shí)間內(nèi)中間時(shí)刻的瞬時(shí)速度等于這段時(shí)間內(nèi)的平均速度.
學(xué)生分組，討論并證明.
證明：如圖2-3-5所示

圖2-3-5
= +
= +at
= = = +
所以 = .
例1一個(gè)做勻變速直線運(yùn)動的質(zhì)點(diǎn)，在連續(xù)相等的兩個(gè)時(shí)間間隔內(nèi)，通過的位移分別是24 m和64 m，每一個(gè)時(shí)間間隔為4 s，求質(zhì)點(diǎn)的初速度和加速度.
解析：勻變速直線運(yùn)動的規(guī)律可用多個(gè)公式描述，因而選擇不同的公式，所對應(yīng)的解法也不同.如：
解法一：基本公式法：畫出運(yùn)動過程示意圖，如圖2-3-6所示，因題目中只涉及位移與時(shí)間，故選擇位移公式：

圖2-3-6
x1=vAt+ at2
x2=vA（2t）+ a（2t）2-（ t+ at2）
將x1=24 m、x2=64 m，代入上式解得：
a=2.5 m/s2，vA=1 m/s.
解法二：用平均速度公式：
連續(xù)的兩段時(shí)間t內(nèi)的平均速度分別為：
=x1/t=24/4 m/s=6 m/s
=x2/t=64/4 m/s=16 m/s
B點(diǎn)是AC段的中間時(shí)刻，則
= ，
=
= = = m/s=11 m/s.
得 =1 m/s， =21 m/s
a= = m/s2=2.5 m/s2.
解法三：用推論式
由Δx=at2得
a= = m/s2=2.5 m/s2
再由x1= t+ at2
解得 =1 m/s.
答案：1 m/s 2.5 m/s2
說明：1.運(yùn)動學(xué)問題的求解一般均有多種解法，進(jìn)行一題多解訓(xùn)練可以熟練地掌握運(yùn)動學(xué)規(guī)律，提高靈活運(yùn)用知識的能力.從多種解法的對比中進(jìn)一步明確解題的基本思 路和方法，從而提高解題能力.
2.對一般的勻變速直線運(yùn)動問題，若出現(xiàn)相等 的時(shí)間間隔問題，應(yīng)優(yōu)先考慮公式Δx=at2求解.
課堂訓(xùn)練
一個(gè)滑雪的人，從85 m長的山坡上勻變速滑下，初速度是1.8 m/s，末速度是5.0 m/s，他通過這段山坡需要多長時(shí)間？
分析：滑雪人的運(yùn)動可以看作是勻加速直線運(yùn)動，可以利用勻變速直線運(yùn)動的規(guī)律來求.已知量為初速度v0、末速度vt和位移x，待求量是時(shí)間t，此題可以用不同的方法求解.
解法一：利用公式vt=v0+at和x=v0t+ at2求解，
由公式vt=v0+at得，at=vt-v0，代入x=v0t+ at2有，
x=v0t+ ，故
t= = s=25 s.
解法二：利用平均速度的公式：
= 和x= t求解.
平均速度： = = =3.4 m/s
由x= t得，需要的時(shí)間：t= = =25 s.
關(guān)于剎車時(shí)的誤解問題：
例2 在平直公路上，一汽車的速度為15 m/s，從某時(shí)刻開始剎車，在阻力作用下，汽車以2 m/s2的加速度運(yùn)動，問剎車后10 s末車離開始剎車點(diǎn)多遠(yuǎn)？
分析：車做減速運(yùn)動，是否運(yùn)動了10 s，這是本題必須考慮的.
初速度v0=15 m/s，a=-2 m/s2，設(shè)剎車時(shí)間為t0，則0=v0+at.
得：t= = s=7.5 s，即車運(yùn)動7.5 s會停下，在后2.5 s內(nèi)，車停止不動.
解析：設(shè)車實(shí)際運(yùn)動時(shí)間為t，vt=0，a=-2 m/s2，由v=v0+at知t=7.5 s.
故x=v0t+ at2=56.25 m.
答案：56.25 m
思維拓展
如圖2-3-7所示，物體由高度相同、路徑不同的光滑斜面靜止下滑，物體通過兩條路徑的長度相等，通過C點(diǎn)前后速度大小不變，問物體沿哪一路徑先到達(dá)最低點(diǎn)？

圖2-37 圖2-3-8
合作交流：物體由A→B做初速度為零的勻加速直線運(yùn)動，到B點(diǎn)時(shí)速度大小為v1；物體由A→C做初速度為零的勻加速直線運(yùn)動，加速度比AB段的加速度大，由C→D做勻加速直線運(yùn)動，初速度大小等于AC段的末速度大小，加速度比AB段的加速度小，到D點(diǎn)時(shí)的速度大小也為v1（以后會學(xué)到），用計(jì)算的方法較為煩瑣，現(xiàn)畫出函數(shù)圖象進(jìn)行求解.
根據(jù)上述運(yùn)動過程，畫出物體運(yùn)動的v-t圖象如圖2-3-8所示，我們獲得一個(gè)新的信息，根據(jù)通過的位移相等知道兩條圖線與橫軸所圍“面積”相等，所以沿A→C→D路徑滑下用的時(shí)間較短，故先到達(dá)最低點(diǎn).
提示：用v-t圖象分析問題時(shí)，要特別注意圖線的斜率、與t軸所夾面積的物理意義.（注意此例中縱軸表示的是速率）
課堂訓(xùn)練
“適者生存”是自然界中基本的法則之一，獵豹要生存必須獲得足夠的食物，獵豹的食物來源中，羚羊是不可缺少的.假設(shè)羚羊從靜止開始奔跑，經(jīng)50 m能加速到最大速度25 m/s，并能維持較長的時(shí)間；獵豹從靜止開始奔跑，經(jīng)60 m能加速到最大速度30 m/s，以后只能維持這個(gè)速度4.0 s.設(shè)獵豹在某次尋找食物時(shí)，距離羚羊30 m時(shí)開始攻擊，羚羊則在獵豹開始攻擊后1.0 s才開始逃跑，假定羚羊和獵豹在加速階段分別做勻加速直線運(yùn)動，且均沿同一直線奔跑，問獵豹能否成功捕獲羚羊？（情景導(dǎo)入問題）
解答：羚羊在加速奔跑中的加速度應(yīng)為：
a1= = ①
x= a1t2 ②
由以上二式可得：a1= =6.25 m/s2，同理可得出獵豹 在加速過程中的加速度a2= = =7.5 m/s2.羚羊加速過程經(jīng)歷的時(shí)間t1= =4 s.獵豹加速過程經(jīng)歷的時(shí)間t2= =4 s.
如果獵豹能夠成功捕獲羚羊，則獵豹必須在減速前追到羚羊，在此過程中獵豹的位移為：x2=x2+v2t=（60+30×4） m=180 m，羚羊在獵豹減速前的位移為：x1=x1+v1t′=（50+25×3） m=125 m，因?yàn)閤2-x1=（180-125） m=55 m＞30 m，所以獵豹能夠成功捕獲羚羊.
課堂小結(jié)
本節(jié)重點(diǎn)學(xué)習(xí)了對勻變速直線運(yùn)動的位移?時(shí)間公式x=v0t+ at2的推導(dǎo)，并學(xué)習(xí)了運(yùn)用該公式解決 實(shí)際問題.在利用公式求解時(shí)，一定要注意公式的矢量性問題.一般情況下，以初速度方向?yàn)檎�方向；�?dāng)a與v0方向相同時(shí)，a為正值，公式即反映了勻加速直線運(yùn)動的速度和位移隨時(shí)間的變化規(guī)律；當(dāng)a與v0方向相反時(shí)，a為負(fù)值，公式反映了勻減速直線運(yùn)動的速度和位移隨時(shí)間的變化規(guī)律.代入公式求解時(shí)，與正方向相同的代入正值，與正方向相反的物理量應(yīng)代入負(fù)值.
布置作業(yè)
1.教材第40頁“問題與練習(xí)”第1、2題.
2.利用課余時(shí)間實(shí)際操作教材第40頁“做一做”的內(nèi)容.
板書設(shè)計(jì)
3 勻變速直線運(yùn)動的位移和時(shí)間的關(guān)系
位移與時(shí)間的關(guān)系
活動與探究
課題：用一把直尺可以測定你的反應(yīng)時(shí)間.
方法：請另一個(gè)人用兩個(gè)手指捏住直尺的頂端，你用一只手在直尺的下端作捏住直尺的準(zhǔn)備，但手不能碰到直尺，記下這時(shí)手指在直尺上的位置；當(dāng)你看到另一個(gè)人放開直尺時(shí)，你立即去捏直尺，記下你捏住直尺的位置 ，就可以求出你的反應(yīng)時(shí)間.（用該尺測反應(yīng)時(shí)間時(shí)，讓手指先對準(zhǔn)零刻度處）試說明其原理.
提示：直尺做v0=0、a=g的勻加速直線運(yùn)動，故x= .
習(xí)題詳解
1.解答：初速度v0=36 km/h=10 m/s，加速度a=0.2 m/s2，時(shí)間t=30 s，根據(jù)s=v0t+ at2得s=390 m.
根據(jù)v=v0+at得v=16 m/s.
2.解答：初速度v0=18 m/s，時(shí)間t=3 s，位移s=36 m.根據(jù)s=v0t+ at2得a= =-4 m/s2.
3.解答：x= at2x∝a
即位移之比等于加速度之比.
設(shè)計(jì)點(diǎn)評
本節(jié)是探究勻變速直線運(yùn)動的位移與時(shí)間的關(guān)系，本教學(xué)設(shè)計(jì)先用微分思想推導(dǎo)出位移應(yīng)是v-t圖象中圖線與t軸所夾圖形的面積，然后根據(jù)求圖形面積，推導(dǎo)出了位移?時(shí)間關(guān)系.這種分析方法是把過程先微分后再累加（積分）的定積分思想來解決問題的方法，在以后的學(xué)習(xí)中經(jīng)常用到.因此本教學(xué)設(shè)計(jì)側(cè)重了極限思想的滲透，使學(xué)生接受過程中不感到有困難.在滲透極限的探究過程中，重點(diǎn)突出了數(shù)、形結(jié)合的思路.

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