選修2-2 1.2 第1課時 幾個常用的函數(shù)的導數(shù)
一、
1．下列結(jié)論不正確的是(　　)
A．若y＝0，則y′＝0
B．若y＝5x，則y′＝5
C．若y＝x－1，則y′＝－x－2
[答案]　D
2．若函數(shù)f(x)＝x，則f′(1)等于(　　)
A．0　　　　B．－12　　　　
C．2　　　　D.12
[答案]　D
[解析]　f′(x)＝(x)′＝12x，
所以f′(1)＝12×1＝12，故應(yīng)選D.
3．拋物線y＝14x2在點(2,1)處的切線方程是(　　)
A．x－y－1＝0 B．x＋y－3＝0
C．x－y＋1＝0 D．x＋y－1＝0
[答案]　A
[解析]　∵f(x)＝14x2，
∴f′(2)＝limΔx→0 f(2＋Δx)－f(2)Δx＝limΔx→0 1＋14Δx＝1.
∴切線方程為y－1＝x－2.即x－y－1＝0.
4．已知f(x)＝x3，則f′(2)＝(　　)
A．0 B．3x2
C．8 D．12
[答案]　D
[解析]　f′(2)＝limΔx→0 (2＋Δx)3－23Δx
＝limΔx→0 6Δx2＋12ΔxΔx＝limΔx→0 (6Δx＋12)＝12，故選D.
5．已知f(x)＝xα，若f′(－1)＝－2，則α的值等于(　　)
A．2 B．－2
C．3 D．－3
[答案]　A
[解析]　若α＝2，則f(x)＝x2，
∴f′(x)＝2x，∴f′(－1)＝2×(－1)＝－2適合條件．故應(yīng)選A.
6．函數(shù)y＝(x＋1)2(x－1)在x＝1處的導數(shù)等于(　　)
A．1 B．2
C．3 D．4
[答案]　D
[解析]　∵y＝x3＋x2－x－1
∴ΔyΔx＝(1＋Δx)3＋(1＋Δx)2－(1＋Δx)－1Δx
＝4＋4Δx＋(Δx)2，
∴y′x＝1＝limΔx→0 ΔyΔx＝limΔx→0[4＋4?Δx＋(Δx)2]＝4.
故應(yīng)選D.
7．曲線y＝x2在點P處切線斜率為k，當k＝2時的P點坐標為(　　)
A．(－2，－8) B．(－1，－1)
C．(1,1) D.－12，－18
[答案]　C
[解析]　設(shè)點P的坐標為(x0，y0)，
∵y＝x2，∴y′＝2x.∴k＝ ＝2x0＝2，
∴x0＝1，∴y0＝x20＝1，即P(1,1)，故應(yīng)選C.
8．已知f(x)＝f′(1)x2，則f′(0)等于(　　)
A．0 B．1
C．2 D．3
[答案]　A
[解析]　∵f(x)＝f′(1)x2，∴f′(x)＝2f′(1)x，∴f′(0)＝2f′(1)×0＝0.故應(yīng)選A.
9．曲線y＝3x上的點P(0,0)的切線方程為(　　)
A．y＝－x B．x＝0
C．y＝0 D．不存在
[答案]　B
[解析]　∵y＝3x
∴Δy＝3x＋Δx－3x
＝x＋Δx－x(3x＋Δx)2＋3x(x＋Δx)＋(3x)2
＝Δx(3x＋Δx)2＋3x(x＋Δx)＋(3x)2
∴ΔyΔx＝1(3x＋Δx)2＋3x(x＋Δx)＋(3x)2
∴曲線在P(0,0)處切線的斜率不存在，
∴切線方程為x＝0.
10．質(zhì)點作直線運動的方程是s＝4t，則質(zhì)點在t＝3時的速度是(　　)
A.14433 B.14334
C.12334 D.13443
[答案]　A
[解析]　Δs＝4t＋Δt－4t＝t＋Δt－t4t＋Δt＋4t
＝t＋Δt－t(4t＋Δt＋4t)(t＋Δt＋t)
＝Δt(4t＋Δt＋4t)(t＋Δt＋t)
∴l(xiāng)imΔt→0 ΔsΔt＝124t?2t＝144t3，
∴s′(3)＝14433 .故應(yīng)選A.
二、題
11．若y＝x表示路程關(guān)于時間的函數(shù)，則y′＝1可以解釋為________．
[答案]　某物體做瞬時速度為1的勻速運動
[解析]　由導數(shù)的物理意義可知：y′＝1可以表示某物體做瞬時速度為1的勻速運動．
12．若曲線y＝x2的某一切線與直線y＝4x＋6平行，則切點坐標是________．
[答案]　(2,4)
[解析]　設(shè)切點坐標為(x0，x20)，
因為y′＝2x，所以切線的斜率k＝2x0，又切線與y＝4x＋6平行，所以2x0＝4，解得x0＝2，故切點為(2,4)．
13．過拋物線y＝15x2上點A2，45的切線的斜率為______________．
[答案]　45
[解析]　∵y＝15x2，∴y′＝25x
∴k＝25×2＝45.
14．(2010?江蘇，8)函數(shù)y＝x2(x>0)的圖像在點(ak，a2k)處的切線與x軸的交點的橫坐標為ak＋1，其中k∈N*，若a1＝16，則a1＋a3＋a5的值是________．
[答案]　21
[解析]　∵y′＝2x，∴過點(ak，a2k)的切線方程為y－a2k＝2ak(x－ak)，又該切線與x軸的交點為(ak＋1,0)，所以ak＋1＝12ak，即數(shù)列{ak}是等比數(shù)列，首項a1＝16，其公比q＝12，∴a3＝4，a5＝1，∴a1＋a3＋a5＝21.
三、解答題
15．過點P(－2,0)作曲線y＝x的切線，求切線方程．
[解析]　因為點P不在曲線y＝x上，
故設(shè)切點為Q(x0，x0)，∵y′＝12x，
∴過點Q的切線斜率為：12x0＝x0x0＋2，∴x0＝2，
∴切線方程為：y－2＝122(x－2)，
即：x－22y＋2＝0.
16．質(zhì)點的運動方程為s＝1t2，求質(zhì)點在第幾秒的速度為－264.
[解析]　∵s＝1t2，
∴Δs＝1(t＋Δt)2－1t2
＝t2－(t＋Δt)2t2(t＋Δt)2＝－2tΔt－(Δt)2t2(t＋Δt)2
∴l(xiāng)imΔt→0 ΔsΔt＝－2tt2?t2＝－2t3.∴－2t3＝－264，∴t＝4.
即質(zhì)點在第4秒的速度為－264.
17．已知曲線y＝1x.
(1)求曲線在點P(1,1)處的切線方程；
(2)求曲線過點Q(1,0)處的切線方程；
(3)求滿足斜率為－13的曲線的切線方程．
[解析]　∵y＝1x，∴y′＝－1x2.
(1)顯然P(1,1)是曲線上的點．所以P為切點，所求切線斜率為函數(shù)y＝1x在P(1,1)點導數(shù)．
即k＝f′(1)＝－1.
所以曲線在P(1,1)處的切線方程為
y－1＝－(x－1)，即為y＝－x＋2.
(2)顯然Q(1,0)不在曲線y＝1x上．
則可設(shè)過該點的切線的切點為Aa，1a，
那么該切線斜率為k＝f′(a)＝－1a2.
則切線方程為y－1a＝－1a2(x－a)．①
將Q(1,0)坐標代入方程：0－1a＝－1a2(1－a)．
解得a＝12，代回方程①整理可得：
切線方程為y＝－4x＋4.
(3)設(shè)切點坐標為Aa，1a，則切線斜率為k＝－1a2＝－13，解得a＝±3，那么A3，33，A′－3，3－3.代入點斜式方程得y－33＝－13(x－3)或y＋33＝－13(x＋3)．整理得切線方程為y＝－13x＋233或y＝－13x－233.
18．求曲線y＝1x與y＝x2在它們交點處的兩條切線與x軸所圍成的三角形的面積．
[解析]　兩曲線方程聯(lián)立得y＝1x，y＝x2，解得x＝1y＝1.
∴y′＝－1x2，∴k1＝－1，k2＝2xx＝1＝2，
∴兩切線方程為x＋y－2＝0,2x－y－1＝0，所圍成的圖形如上圖所示．
∴S＝12×1×2－12＝34.


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