§3.1. 3 空間向量基本定理

一、知識要點
1.空間向量基本定理：如果三個向量 不共面，那么對空間任一向量 ，存在惟一的有序?qū)崝?shù)組 ，使
其中 稱為空間的一個基底， 叫做基向量。
2.正交基底：上面的 兩兩互相垂直時， 這個基底就叫正交基底。
3.單位正交基底：若正交基底 的三個基向量都是單位向量時， 這個正交基底就叫單位正交基底。
4.通常用 表示單位正交基底
5.空間向量基本定理的推論：設(shè) 是不共面的四點，則對空間任意一點 ，都存在惟一的有序?qū)崝?shù)組 ，使 。
二、典型例題
例1.如圖：在正方體 中，點 是 與 的交點， 是 與 的交點，試分別用向量 表示向量 和 。

例2.在空間四邊形 中，已知 是線段 的中點， 在 上，且 ，試用向量 表示向量 。


三、鞏固練習(xí)
1.已知空間四邊形 中，點 分別是 的中點，且 ，試用向量 表示向量 。


2.如圖，在平行六面體 中，已知 ，點 是側(cè)面 的中心，試用向量 表示下列向量： 。


3.已知 是 所在平面外一點， 是 中點，且 ，求 的值。

4.已知 三點不共線，對于平面 外的任意一點 ，分別根據(jù)下列條件，判斷點 是否與 共面。⑴ ；⑵ 。


四、小結(jié)：
1.空間向量基本定理，任意 不共面；2.進(jìn)一步理解共面向量定理。
五、課后作業(yè)
1.在空間四邊形 中，已知 為 的重心， 分別為邊 和 的中點，化簡下列各式：① = ；② = ；③ = 。
2.有以下命題：①如果向量 與任何向量不能構(gòu)成空間的一個基底，那么 共線；② 為空間四點，且向量 不能構(gòu)成空間的一個基底，那么點 一定共面；③已知向量 是空間一個基底，則向量 也是空間的一個基底，其中正確的命題的序號是 。
3.在四面體 中， ， 是 的中點， 是 的三等分點，且 ，則 = 。(用 表示)
4.已知 是 所在平面外一點， 是 的中點，若 ，則 = 。
5.已知 不共面， 且，若 ，則 = 。
6.如圖，在三棱柱 中，已知 ，點 分別是 的中點，試用基底 表示向量 。


7.如圖，在平行六面體 中，已知 ，點 分別是 的中點，點 在 上，且 ，試用基底 表示下列向量：
⑴ ；⑵ ；⑶ ；⑷ 。

8.已知 分別是空間四邊形 的邊 的中點，試用向量法證明。
⑴ 四點共面；⑵ 。

9.如圖，在平行六面體 中， 分別是各棱的中點，求證：向量 共面。


10.已知 是兩個不共線的向量， ， ， 。求證： 共面。


訂正欄：

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