寶安區(qū)2012—2013學(xué)年高三摸底考試
數(shù)學(xué)試題（）

（考試時間：120分鐘 滿分：150分）
注意事項：
1．答卷前，考生首先檢查答題卡是否整潔無缺損，監(jiān)考教師分發(fā)的考生信息條形碼是否正確；之后務(wù)必用0.5毫米黑色字跡的簽字筆在答題卡指定位置填寫自己的學(xué)校、姓名和考生號，同時，將監(jiān)考教師發(fā)放的條形碼正向準(zhǔn)確粘貼在答題卡的貼條形碼區(qū)，請保持條形碼整潔、不污損.
2．選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案，答案不能答在試卷上.不按要求填涂的，答案無效.
3．非選擇題必須用0.5毫米黑色字跡的簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上，請注意每題答題空間，預(yù)先合理安排；如需改動，先劃掉原的答案，然后再寫上新的答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液.不按以上要求作答的答案無效.
4．作答選做題時，請先用2B鉛筆填涂選做題的題號對應(yīng)的信息點，再做答.漏涂、錯涂、多涂的答案無效.
5．考生必須保持答題卡的整潔，考試結(jié)束后，將答題卡交回.
參考公式：棱柱的體積公式為 ，其中S為棱柱的底面積，h為棱柱的高。
一組數(shù)據(jù)x1，x2，…，xn的方差 ，其中 表示這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)。
一 、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，滿分50分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的
1、設(shè) 為虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù) 的虛部為 （ ）
A．－4 B．－4i C．4 D．4i
2、設(shè)集合 ，則 ＝（ ）
A． B． C． D．R
3、設(shè)向量 ， ，則下列結(jié)論中正確的是（ ）
A、 B、 C、 與 垂直 D、 ∥
4、下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)又在 單調(diào)遞增的函數(shù)是（ ）
A． B． C． D．
5、對于函數(shù) ，下列命題中正確的是 （ ）
A． B．
C． D．
6 、某班4個小組的人數(shù)為10,10， 8，已知這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)與平均數(shù)相等，方差等于2,則 的值為 ( )
A．9 B. 8 C. 12 D. 8或12
7、執(zhí)行如圖所示的程序框圖，輸出的 值為（ ）
A． B．
C． D．

8、已知雙曲線 的一個焦點與拋物線 的焦點重合，且雙曲線的離心率等于 ，則該雙曲線的方程為( )
A. B. C. D.
9、已知點 滿足 ，目標(biāo)函數(shù) 僅在點（1,0）處取得最小值，則 的范圍為（ ）
A． B． C． D．
10、已知集合 , .若存在實數(shù) 使得 成立,稱點 為“￡”點，則“￡”點在平面區(qū)域 內(nèi)的個數(shù)是 ( )
A. 0 B. 1 C. 2 D. 無數(shù)個
二、填空題：本大題共5小題，考生作答4小題，每小題5分，滿分20分。
（一）必做題（11~13題）
11、函數(shù) 的定義域為__________．
12、已知圓 ： ，過點 的直線 將圓 分成弧長之比為 的兩段圓弧，則直線 的方程為 .
13、某幾何體的三視圖如圖所示，則這個幾何體的體積是 .

（二）選做題（14－15題，考生只能從中選做一題）
14，（坐標(biāo)系與參數(shù)方程選做題）
曲線 : ( 為參數(shù))上的點到曲線 : ( 為參數(shù))上的點的最短距離為________．
15.（幾何證明選講選做題）。
如圖， 是圓 的切線， 為切點， 是圓 的割線．若 ，則 ______．

三、解答題：本大題共6小題，滿分80分。解答須寫出字說明、證明過程和演算步驟。
16、（本小題滿分12分）
已知函數(shù) ．
（Ⅰ）求函數(shù) 的最小正周期和值域；
（Ⅱ）若 為第二象限角，且 ，求 的值．

17、（本小題滿分13分）
公安部發(fā)布酒后駕駛處罰的新規(guī)定（一次性扣罰12分）已于今年4月1日起正式施行.酒后違法駕駛機(jī)動車的行為分成兩個檔次：“酒后駕車”和“醉酒駕車”，其檢測標(biāo)準(zhǔn)是駕駛?cè)藛T血液中的酒精含量 （簡稱血酒含量，單位是毫克/100毫升），當(dāng) 時，為酒后駕車；當(dāng) 時，為醉酒駕車.某市公安局交通管理部門在某路段的一次攔查行動中，依法檢查了200輛機(jī)動車駕駛員的血酒含量（如下表）.
血酒含量（0，20）[20,40）[40，60）[60，80）[80，100）[100，120]
人數(shù)19412111
依據(jù)上述回答下列問題：
（Ⅰ）分別寫出酒后違法駕車發(fā)生的頻率和酒后違法駕車中醉酒駕車的頻率；
（Ⅱ）從酒后違法駕車的司機(jī)中，抽取2人，請一一列舉出所有的抽取結(jié)果，并求取到的2人中含有醉酒駕車的概率. （酒后駕車的人用大寫字母如A，B，C，D表示，醉酒駕車的人用小寫字母如a,b,c,d表示）

18、（本小題滿分13分）
已知數(shù)列 是等差數(shù)列, ，數(shù)列 的前n項和是 ，且 .
（I）求數(shù)列 的通項公式；
（II）求證：數(shù)列 是等比數(shù)列；

19、（本小題滿分14分）
如圖，在四棱錐 中，平面 平面 ．四邊形 為正方形，且 為 的中點， 為 的中點．
（Ⅰ）求證： 平面 ；
（Ⅱ）求證： 平面 ；
（Ⅲ）若 ， 為 中點，在棱 上是否存在點 ，
使得平面 ⊥平面 ，并證明你的結(jié)論.

20、（本小題滿分14分）
已知橢圓 的中心在原點，左焦點為 ，離心率為 ．設(shè)直線 與橢圓 有且只有一個公共點 ，記點 在第一象限時直線 與 軸、 軸的交點分別為 ，且向量 .求：
（I）橢圓 的方程；
（II）求 的最小值及此時直線 的方程.

21、（本小題滿分14分）
已知函數(shù) ( R)．
(1) 若 ，求函數(shù) 的極值；
（2）是否存在實數(shù) 使得函數(shù) 在區(qū)間 上有兩個零點，若存在，求出 的取值范圍；若不存在，說明理由。

寶安區(qū)2012—2013學(xué)年高三摸底考試
科數(shù)學(xué)參考答案
一、選擇題
題號12345678910
答案ABCCBCDDBA

二、填空題
11、 12、 或 13、
14、1 15、
三、解答題
16、解：（Ⅰ）因為 ……………………1分
， ……………………3分
所以函數(shù) 的周期為 ，值域為 ． ……………………5分
（Ⅱ）因為 ，
所以 ，即 ． ……………………6分
因為 ……………………8分

， ……………………10分
因為 為第二象限角， 所以 ． ……………………11分
所以 ． ……………………12分
17、解：（Ⅰ）由表可知，酒后違法駕車的人數(shù)為6人， ………………………1分
則違法駕車發(fā)生的頻率為： 或 ; ………………………3分
酒后違法駕車中有2人是醉酒駕車，則酒后違法駕車中醉酒駕車的頻率為 .……6分
（Ⅱ）設(shè)酒后駕車的4人分別為A、B、C、D；醉酒駕車的2人分別為a、b……………7分
則從違法駕車的6人中，任意抽取2人的結(jié)果有：(A，B)，(A，C)，(A ，D)，(A，a)，
(A，b)，(B，C)，(B，D)，(B，a)，(B，b)，(C，D)，(C，a)，(C，b)，(D，a)，(D，b)，
(a，b)共有15個. …………………9分
設(shè)取到的2人中含有醉酒駕車為事件E， …………………10分
則事件E含有9個結(jié)果：(A，a)，(A，b)，(B，a)，(B，b) ，(C，a)，(C，b)，(D，a)，(D，b)，(a，b). …………………12分
∴ ……13分
18、解：（1）由已知 解得 ………………4分
………………6分
（2）令 ，得 解得 ， ………7分
由于 ， ①
當(dāng) 時， ②
①－②得 ， ……………10分
又 , ， ，滿足 ………12分

∴數(shù)列 是以 為首項， 為公比的等比數(shù)列. ……………………13分
19、證明：（Ⅰ）因為四邊形 為正方形，則 . …………………1分
又平面 平面 ，
且面 面 ，
所以 平面 . …………………5分

（Ⅱ）取SC的中點R，連QR, DR．
由題意知：PD∥BC且PD= BC．…………………4分
在 中， 為 的中點，R為SC的中點，
所以QR∥BC且QR= BC．
所以QR∥PD且QR=PD，
則四邊形 為平行四邊形. ………………………………………………9分
所以PQ∥DR.又PQ 平面SCD，DR 平面SCD，
所以PQ∥平面SCD． …………………………………………………………12分
（另解：連Q，設(shè) 為 中點，因為四邊形 為正方形，且 為 的中點，為 的中點，所以 ,又因為 為 中點， 為 的中點，所以 ,
所以平面 平面 ,因為 平面 ,所以PQ∥平面SCD．)
20、解：(Ⅰ)由題意可知 ， ，所以 ，于是 ，由于焦點在 軸上，故C橢圓的方程為 ………………………………5分
（Ⅱ）設(shè)直線 的方程為： ，
消去 得： …………………7分
直線 與曲線 有且只有一個公共點，
即 ① …………………… 9分
∵
② ……………………11分
將①式代入②得：

當(dāng)且僅當(dāng) 時，等號成立，故 ，此時直線方程為：
. …………………14分
21、解：(1) ………………2分

遞減極小值遞增極大值遞減
………………4分
， ……6分
（2） ，
， ……………8分
① 當(dāng) 時， 在 上為增函數(shù)，在 上為減函數(shù)， ， ， ，所以 在區(qū)間 ， 上各有一個零點，即在 上有兩個零點； ………………………10分
②當(dāng) 時， 在 上為增函數(shù)，在 上為減函數(shù)， 上為增函數(shù)， ， ， ， ，所以 只在區(qū)間 上有一個零點，故在 上只有一個零點； …………………………12分
③ 當(dāng) 時， 在 上為增函數(shù)，在 上為減函數(shù)， 上為增函數(shù)， ， ， ， ， 所以 只在區(qū)間 上有一個零點，故在 上只有一個零點； …………………………13分
故存在實數(shù) ，當(dāng) 時，函數(shù) 在區(qū)間 上有兩個零點…………………14分

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