池州一中2012-2013學(xué)年度高三月考
數(shù)學(xué)試卷(科)
第Ⅰ卷 （ 共50分）
一、：本大題共10小題，每小題5分，共50分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng).
⒈ 已知 ，集合 ，則 （ ）
A. B. C. D.
⒉ 已知函數(shù) ，則 ( )
A． B． C． D．
⒊ 設(shè) 為表示不超過(guò) 的最大整數(shù),則函數(shù) 的定義域?yàn)?( )
A． B． C． D．
⒋ 設(shè) ，則（ ）
A． B． C． D．
⒌ 已知函數(shù) （ ）的圖象在 處的切線斜率為 （ ），且當(dāng) 時(shí)，其圖象經(jīng)過(guò) ，則 （ ）
A． B． C． D．
⒍ 命題“函數(shù) 是奇函數(shù)”的否定是（ ）
A． , B． ,
C． , D． ，
⒎ 把函數(shù) 的圖象向左平移 個(gè)單位得到 的圖象
（如圖），則 （ ）
A． B． C. D.
⒏ Direchlet函數(shù)定義為： ，關(guān)于函數(shù) 的
性質(zhì)敘述不正確的是（ ）
A． 的值域?yàn)?B． 為偶函數(shù)
C． 不是單調(diào)函數(shù) D． 不是周期函數(shù)
⒐ 函數(shù) 的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是（ ）
A． B． C． D．
⒑ 已知向量 、 的夾角為 ， ， ，則 的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．

第II卷（非選擇題，共100分）
二、題：共5小題，每小題5分，計(jì)25分.
⒒ 函數(shù) 的定義域?yàn)?.
⒓ 已知 ， ，則 .
⒔ 函數(shù) 可表示為奇函數(shù) 與偶函數(shù) 的和 ,則 .
⒕ 給出下列命題：
⑴ 是冪函數(shù)；
⑵“ ”是“ ”的充分不必要條件；
⑶ 的解集是 ；
⑷ 函數(shù) 的圖象關(guān)于點(diǎn) 成中心對(duì)稱；
⑸ 命題“若 ，則 ”的逆否命題為真命題.
其中真命題的序號(hào)是 （寫出所有正確命題的序號(hào)）
⒖ 對(duì)于三次函數(shù) ，給出定義：設(shè) 是函數(shù) 的導(dǎo)數(shù)， 是 的導(dǎo)數(shù)，若方程 有實(shí)數(shù)解 ，則稱點(diǎn) 為函數(shù) 的“拐點(diǎn)”，某同學(xué)經(jīng)過(guò)探究發(fā)現(xiàn)：任何一個(gè)三次函數(shù)都有“拐點(diǎn)”；任何一個(gè)三次函數(shù)都有對(duì)稱中心，且“拐點(diǎn)”就是對(duì)稱中心.給定函數(shù) ，請(qǐng)你根據(jù)上面探究結(jié)果，解答以下問(wèn)題：
（1）函數(shù) 的對(duì)稱中心為 ；
（2）計(jì)算 .

三、解答題：本大題共6小題，計(jì)75分.解答應(yīng)寫出必要的字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟.
⒗（本小題滿分12分）
已知向量 ， ，設(shè)函數(shù) , .
（Ⅰ）求函數(shù) 的最小正周期和單調(diào)遞減區(qū)間；
（Ⅱ）若方程 在區(qū)間 上有實(shí)數(shù)根，求 的取值范圍.

⒘（本小題滿分12分）
已知命題 :實(shí)數(shù) 滿足 ；命題 ：實(shí)數(shù) 滿足 ，若 是 的必要不充分條件，求實(shí)數(shù) 的取值范圍.

⒙（本小題滿分13分）
已知 （ 為常數(shù)， 且 ）．設(shè) ， ，…， ，…（ ）是首項(xiàng)為2，公比為的等比數(shù)列．
（Ⅰ）求證：數(shù)列 是等差數(shù)列；
（Ⅱ）若 ，且數(shù)列 的前 項(xiàng)和為 ，當(dāng) 時(shí)，求 .

⒚ (本小題滿分12分)
已知 的內(nèi)角 所對(duì)的邊分別是 ，設(shè)向量 ， ，
.
（Ⅰ）若 // ，求證： 為等腰三角形；
（Ⅱ）若 ⊥ ，邊長(zhǎng) ， ，求 的面積.

⒛（本小題滿分12分）
如圖,在 中,設(shè) , , 的中點(diǎn)為 , 的中點(diǎn)為 , 的中點(diǎn)恰為 .
（Ⅰ）若 ,求 和 的值;
（Ⅱ）以 , 為鄰邊, 為對(duì)角線,作平行四邊形 ,
求平行四邊形 和三角形 的面積之比 .

21.(本小題滿分14分)
已知 ， ， ，…， .
（Ⅰ）請(qǐng)寫出的 表達(dá)式（不需證明）；
（Ⅱ）求 的極小值 ；
（Ⅲ）設(shè) ， 的最大值為 ， 的最小值為 ，試求 的最小值.

池州一中2013屆高三第三次月考(10月)
數(shù)學(xué)（科）答案

一、選擇題：
題號(hào)12345678910
答案DBC ABACDC A

二、題
題號(hào)1112131415
答案

⑵⑷⑸ ，

11. 解：由 ，即定義域?yàn)?

三、解答題
16. 解: （Ⅰ）由題意知：
f(x) =
∴f(x)的最小正周期 = .................... .4分
∴f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間 [ ......................6分
17．解：令

“ ”
而 的必要不充分條件，∴ 的必要不充分條件
故A B ∴
18. 解：（1）由題意f（an）＝ ，即 ．
∴an＝n＋1，（2分） ∴an＋1－an＝1，
∴數(shù)列{an}是以2為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列．
（2）由題意 ＝（n＋1）•n+1，
當(dāng)＝2時(shí)，bn＝（n＋1）•2n＋1
∴Sn＝2•22＋3•23＋4•24＋…＋（n＋1）•2n＋1�、�
①式兩端同乘以2，得
2Sn＝2•23＋3•24＋4•25＋…＋n•2n＋1＋（n＋1）•2n＋2�、�
②－①并整理，得
Sn＝－2•22－23－24－25－…－2n＋1＋（n＋1）•2n＋2
＝－22－（22＋23＋24＋…＋2n＋1）＋（n＋1）•2n＋2
＝－22－22(1－2n)1－2＋（n＋1）•2n＋2
＝－22＋22（1－2n）＋（n＋1）•2n＋2＝2n＋2•n．
19. 【解析】證明：（Ⅰ） 即 ，
其中 是 外接圓半徑， --------（5分）
為等腰三角形 -----（6分）
解（Ⅱ）由題意可知 ⊥ ， --------（8分）
由余弦定理可知，
---------（10分）
………………………（12分）

20．（1）解：∵Q為AP中點(diǎn)，∴ P為CR中點(diǎn)，
∴
同理：
而 ∴
即
（2）
∴

21. 【解析】本小題主要考查函數(shù)的概念、導(dǎo)數(shù)應(yīng)用、函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值等知識(shí)，考查運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題及推理的能力。
（Ⅰ）證明：對(duì)于任意的a>0， ，均有 ①
在①中取
∴ ②
（Ⅱ）證法一：當(dāng) 時(shí)，由①得
取 ，則有 ③
當(dāng) 時(shí)，由①得
取 ，則有 ④
綜合②、③、④得 ;
證法二:
令 時(shí)，∵ ，∴ ，則
而 時(shí)， ，則
而 ， ∴ ，即 成立
令 ，∵ ，∴ ，則
而 時(shí)， ，則
即 成立。綜上知

（Ⅲ）解法1：由（Ⅱ）中的③知，當(dāng) 時(shí)， ，
從而
又因?yàn)閗>0，由此可得
－0+

?極小值2?
所以 在區(qū)間 內(nèi)單調(diào)遞減，在區(qū)間（ ）內(nèi)單調(diào)遞增。
解法2：由（Ⅱ）中的③知，當(dāng) 時(shí)， ，
設(shè) 則

又因?yàn)閗>0，所以
（i）當(dāng) ；
（ii）當(dāng)
所以 在區(qū)間 內(nèi)單調(diào)遞減, 在區(qū)間（ ）內(nèi)單調(diào)遞增.

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