北京市豐臺區(qū)2013年高三第二學(xué)期統(tǒng)一練習(xí)（二）
數(shù)學(xué)（文科）
第一部分（ 共40分）
一、共8小題，每小題5分，共40分.在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項.
1. 復(fù)數(shù) 的虛部為
（A）3 （B） （C）4 （D）
2. 若a∈R，則“a＝1”是“a＝1”的
（A）充要條件 （B）必要而不充分條件
（C）充分而不必要條件 （D）既不充分又不必要條件
3. 設(shè)向量a=(4，x),b=(2,-1),且a?b，則x的值是
（A）8 （B）?8 （C）2 （D） -2
（A） （B） （C） （D）
5. 下列四個函數(shù)中，最小正周期為 ，且圖象關(guān)于直線 對稱的是
（A） （B）
（C） （D）
6．某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積為
（A）24 （B） 20+4
（C）28 （D）24+ 4
7.在平面區(qū)域 內(nèi)任取一點 ，若 滿足 的概率大于 ，則 的取值范圍是
（A） （B） （C） （D）
8. 已知偶函數(shù)f(x)（x∈R），當(dāng) 時，f(x)=-x(2+x)，當(dāng) 時，f(x)=(x-2)(a-x)（ ）.
關(guān)于偶函數(shù)f(x)的圖象G和直線 :y=m（ ）的3個命題如下：
①當(dāng)a=2，m=0時，直線 與圖象G恰有3個公共點；
②當(dāng)a=3,m= 時，直線 與圖象G恰有6個公共點；
③ ，使得直線 與圖象G交于4個點，且相鄰點之間的距離相等.
其中正確命題的序號是
(A) ①② (B) ①③ (C) ②③ (D) ①②③
第二部分（非選擇題 共110分）
二、題共6小題，每小題5分，共30分.
9. 過點 且與直線 平行的直線方程為 .
10.已知變量 具有線性相關(guān)關(guān)系，測得 的一組數(shù)據(jù)如下： ，其回歸方程為 ，則 的值等于 .
11.等差數(shù)列{an}中，a3=5,a5=3,則該數(shù)列的前10項和S10的值是_______.
12.若 ，則 的值是 .
13.若函數(shù) 在［－2，1］上的最大值為4，最小值為m，則m的值是＿＿＿＿.
14. 已知直線x=2,x=4與函數(shù) 的圖象交于A,B兩點，與函數(shù) 的圖象交于C,D兩點，則直線AB,CD的交點坐標(biāo)是_________.
三、解答題共6小題，共80分.解答要寫出文字說明，演算步驟或證明過程.
15. 本小題13分） 已知 的三個內(nèi)角分別為A,B,C,且
（Ⅰ）求A的度數(shù)；
（Ⅱ）若 求 的面積S.
16.（本小題13分）高三某班20名男生在一次體檢中被平均分成兩個小組，第一組和第二組學(xué)生身高（單位：cm）的統(tǒng)計數(shù)據(jù)用莖葉圖表示（如圖）.
（Ⅰ）求第一組學(xué)生身高的平均值和方差；
（Ⅱ）從身高超過180cm的五位同學(xué)中隨機選出兩位同學(xué)參加�；@球隊集訓(xùn)，求這兩位同學(xué)在同一小組的概率.
17. （本小題13分）如圖，多面體EDABC中，AC，BC，CE兩兩垂直，AD//CE， ， ，M為BE中點.
（Ⅰ）求證：DM//平面ABC；
（Ⅱ）求證：平面BDE 平面BCD.
18.（本小題13分）已知函數(shù) .
（Ⅰ）若直線 與曲線 相切，切點是P(2,0)，求直線 的方程；
（Ⅱ）討論 的單調(diào)性.
19.（本小題14分）已知橢圓C： ，其短軸的端點分別為A,B(如圖),直線AM,BM分別與橢圓C交于E,F兩點，其中點M (m, ) 滿足 ，且 .
（Ⅰ）求橢圓C的離心率e；
（Ⅱ）用m表示點E,F的坐標(biāo)；
（Ⅲ）證明直線EF與y軸交點的位置與m無關(guān).
20. （本小題14分）已知等差數(shù)列 的通項公式為an=3n-2，等比數(shù)列 中， .記集合 ， ，把集合U中的元素按從小到大依次排列，構(gòu)成數(shù)列 .
（Ⅰ）求數(shù)列 的通項公式；
（Ⅱ）求數(shù)列 的前50項和 ；
（Ⅲ）把集合 中的元素從小到大依次排列構(gòu)成數(shù)列 ，寫出數(shù)列 的通項公式，并說明理由.
豐臺區(qū)2013年高三第二學(xué)期統(tǒng)一練習(xí)（二）
數(shù)學(xué)（文科）
一、選擇題選擇題共8小題，每小題5分，共40分.
題號12345678
答案ACACDBDD
二、題共6小題，每小題5分，共30分.
9. 2x-y+2=0； 10.0.9； 11.25； 12. ； 13. 或 ； 14. (0,0).
三、解答題共6小題，共80分.解答要寫出文字說明，演算步驟或證明過程.
15. 本小題13分） 已知 的三個內(nèi)角分別為A,B,C,且
（Ⅰ）求A的度數(shù)；
（Ⅱ）若 求 的面積S.
解: （Ⅰ）
, ……………………….2分
, ……………………….4分
°. …………………….6分
（Ⅱ）在 中, ,
或 (舍),………….10分
. …………………….13分
16.（本小題13分）高三某班20名男生在一次體檢中被平均分成兩個小組，第一組和第二組學(xué)生身高（單位：cm）的統(tǒng)計數(shù)據(jù)用莖葉圖表示（如圖）.
（Ⅰ）求第一組學(xué)生身高的平均值和方差；
（Ⅱ）從身高超過180cm的五位同學(xué)中隨機選出兩位同學(xué)參加�；@球隊集訓(xùn)，求這兩位同學(xué)在同一小組的概率.
解: （Ⅰ）
………………………….3分
;
………………………….6分
答: 第一組學(xué)生身高的平均值為173cm,方差為23.6 。
（Ⅱ）設(shè)“甲、乙在同一小組”為事件A， ………………………….7分
身高在180以上的學(xué)生別記為a,b,c,d,e,其中a,b屬于第一組，c,d,e屬于第二組。
從五位同學(xué)中隨機選出兩位的結(jié)果是如下10種：
(a,b);(a,c); (a,d);(a,e);(b,c);(b,d);(b,e);(c,d);(c,e);(d,e).
其中兩位同學(xué)在同一小組的4種結(jié)果是：(a,b); (c,d);(c,e);(d,e) . ……….11分
.
答: 甲乙兩位同學(xué)在同一小組的概率為 . ………………………….13分
17. （本小題13分）如圖，多面體EDABC中，AC，BC，CE兩兩垂直，AD//CE， ， ，M為BE中點.
（Ⅰ）求證：DM//平面ABC；
（Ⅱ）求證：平面BDE 平面BCD.
解：（Ⅰ）設(shè)N為BC中點，連結(jié)MN，AN,
M為BE中點,
MN//EC，且MN= EC,
AD//EC，且AD= EC,
四邊形ANMD為平行四邊形, ……………………….3分
AN //DM
DM 平面ABC，AN 平面ABC,
DM//平面ABC; ……………………….6分
（Ⅱ） , , 平面ACED,
平面ACED, DE, ……………………….9分
∵DE DC,
又 BC, , DE 平面BCD. ……………………….12分
平面BDE， 平面BDE 平面BCD. ……………………….13分
19.（本小題13分）設(shè)函數(shù) .
（Ⅰ）若直線 與曲線 相切，切點是P(2,0)，求直線 的方程；
（Ⅱ）討論 的單調(diào)性.
解：（Ⅰ）∵P(2,0)在函數(shù)f(x)的圖象上，?f(2)=0
? ,即 ,
. ……………………….2分
?f(x)= ，? ,
? , ……………………….4分
?直線l的方程為y=x-2，即x-y-2=0 . ……………………….5分
（Ⅱ） 的定義域為 , ……………………….6分
, ………………………7分
由 得 ,
①當(dāng) 時, 在（0，+?）上恒成立，當(dāng)且僅當(dāng)x=1時， ，
的單調(diào)遞增區(qū)間是（0，+?）； ………………………8分
②當(dāng)a=0時，, ， ，
的單調(diào)遞增區(qū)間是（1，+?）， 的單調(diào)遞減區(qū)間是（0，1）；……9分
③當(dāng) 時, ， ，
的單調(diào)遞增區(qū)間是（0，a）和（1，+?）， 的單調(diào)遞減區(qū)間是（a，1）；
………………………11分
④當(dāng) 時, ， ，
的單調(diào)遞增區(qū)間是（0，1）和（a，+?）， 的單調(diào)遞減區(qū)間是（1，a）.
19.（本小題14分）已知橢圓C： ，其短軸的端點分別為A,B(如圖),直線AM,BM分別與橢圓C交于E,F兩點，其中點M (m, ) 滿足 ，且 .
（Ⅰ）求橢圓C的離心率e；
（Ⅱ）用m表示點E,F的坐標(biāo)；
（Ⅲ）證明直線EF與y軸交點的位置與m無關(guān).
解：（Ⅰ）依題意知 , , ; ………… 3分
（Ⅱ） ,M (m, )，且 ， ………………………4分
直線AM的斜率為k1= ,直線BM斜率為k2= ,
直線AM的方程為y= ,直線BM的方程為y= , ……………6分
由 得 ，
………………………8分
由 得 ，
； ………………………10分
（Ⅲ）據(jù)已知， ，
直線EF的斜率 …………………12分
直線EF的方程為 , ………………13分
令x=0,得 EF與y軸交點的位置與m無關(guān). ………………14分
20. （本小題14分）已知等差數(shù)列 的通項公式為an=3n-2，等比數(shù)列 中， .記集合 ， ，把集合U中的元素按從小到大依次排列，構(gòu)成數(shù)列 .
（Ⅰ）求數(shù)列 的通項公式；
（Ⅱ）求數(shù)列 的前50項和 ；
（Ⅲ）把集合 中的元素從小到大依次排列構(gòu)成數(shù)列 ，寫出數(shù)列 的通項公式，并說明理由.
解：（Ⅰ）設(shè)等比數(shù)列 的公比為q，
，則q3=8， q=2， bn=2n-1， ………………………3分
（Ⅱ）根據(jù)數(shù)列{an}和數(shù)列 的增長速度，數(shù)列 的前50項至多在數(shù)列{an}中選50項，數(shù)列{an}的前50項所構(gòu)成的集合為{1，4，7，10，…，148}，由2n-1<148得，n≤8,數(shù)列{bn}的前8項構(gòu)成的集合為{1，2，4，8，16，32，64，128}，其中1，4，16，64是等差數(shù)列{an}中的項，2，8，32，128不是等差數(shù)列中的項，a46=136>128，故數(shù)列{cn}的前50項應(yīng)包含數(shù)列{an}的前46項和數(shù)列{bn}中的2，8，32，128這4項. …………………6分
所以S50= =3321; ………………………8分
（Ⅲ）據(jù)集合B中元素2，8，32，128 A，猜測數(shù)列 的通項公式為dn =22n-1. …9分
dn=b2n ， 只需證明數(shù)列{bn}中，b2n-1∈A，b2n A（ ） ……………………11分
證明如下：
b2n+1-b2n-1=22n-22n-2=4n-4n-1=3×4n-1,即b2n+1=b2n-1+3×4n-1，
若 m∈N*,使b2n-1=3m-2，那么b2n+1=3m-2+3×4n-1=3(m+4n-1)-2，所以，若b2n-1∈A，則b2n+1∈A.因為b1∈A，重復(fù)使用上述結(jié)論，即得b2n-1∈A（ ）。
同理，b2n+2-b2n=22n+1-22n-1=2×4n-2×4n-1=3×2×4n-1,即b2n+2=b2n+3×2×4n-1，因為“3×2×4n-1” 數(shù)列 的公差3的整數(shù)倍，所以說明b2n 與b2n+2 同時屬于A或同時不屬于A，
當(dāng)n=1時，顯然b2=2 A，即有b4=2 A，重復(fù)使用上述結(jié)論，
即得b2n A， dn =22n-1；


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