山
18．（2015年高考湖南卷（理））已知 ,函數(shù) .
(I)記 求 的表達(dá)式;
(II)是否存在 ,使函數(shù) 在區(qū)間 內(nèi)的圖像上存在兩點(diǎn),在該兩點(diǎn)處的切線相互垂直?若存在,求 的取值范圍;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
【答案】解:
(Ⅰ)
(II)由前知,y=f(x)的圖像是由兩段反比例函數(shù)的圖像組成的.因此,若在圖像上存在兩點(diǎn) 滿足題目要求,則P,Q分別在兩個(gè)圖像上,且 .
不妨設(shè)
所以,當(dāng) 時(shí),函數(shù) 在區(qū)間 內(nèi)的圖像上存在兩點(diǎn),在該兩點(diǎn)處的切線相互垂直.
19．（2015年普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試福建數(shù)學(xué)（理）試題（純WORD版））已知函數(shù)
(1)當(dāng) 時(shí),求曲線 在點(diǎn) 處的切線方程;
(2)求函數(shù) 的極值.
【答案】解:函數(shù) 的定義域?yàn)?, .
(Ⅰ)當(dāng) 時(shí), , ,
,
在點(diǎn) 處的切線方程為 ,
即 .
(Ⅱ)由 可知:
①當(dāng) 時(shí), ,函數(shù) 為 上的增函數(shù),函數(shù) 無(wú)極值;
②當(dāng) 時(shí),由 ,解得 ;
時(shí), , 時(shí),
在 處取得極小值,且極小值為 ,無(wú)極大值.
綜上:當(dāng) 時(shí),函數(shù) 無(wú)極值
當(dāng) 時(shí),函數(shù) 在 處取得極小值 ,無(wú)極大值.
20．（2015年高考新課標(biāo)1（理））(本小題滿分共12分)已知函數(shù) = , = ,若曲線 和曲線 都過(guò)點(diǎn)P(0,2),且在點(diǎn)P處有 相同的切線
(Ⅰ)求 , , , 的值;(Ⅱ)若 ≥-2時(shí), ≤ ,求 的取值范圍.
【答案】(Ⅰ)由已知得 ,
而 = , = ,∴ =4, =2, =2, =2;
(Ⅱ)由(Ⅰ)知, , ,
設(shè)函數(shù) = = ( ),
= = ,
有題設(shè)可得 ≥0,即 ,
令 =0得, = , =-2,
(1)若 ,則-2< ≤0,∴當(dāng) 時(shí), <0,當(dāng) 時(shí), >0,即 在 單調(diào)遞減,在 單調(diào)遞增,故 在 = 取最小值 ,而 = = ≥0,
∴當(dāng) ≥-2時(shí), ≥0,即 ≤ 恒成立,
(2)若 ,則 = ,
∴當(dāng) ≥-2時(shí), ≥0,∴ 在(-2,+∞)單調(diào)遞增,而 =0,
∴當(dāng) ≥-2時(shí), ≥0,即 ≤ 恒成立,
(3)若 ,則 = = <0,
∴當(dāng) ≥-2時(shí), ≤ 不可能恒成立,
綜上所述, 的取值范圍為[1, ].
21．（2015年高考湖北卷（理））設(shè) 是正整數(shù), 為正有理數(shù).
(I)求函數(shù) 的最小值;
(II)證明: ;
(III)設(shè) ,記 為不小于 的最小整數(shù),例如 , , .令 ,求 的值.
(參考數(shù)據(jù): , , , )
【答案】證明:(I)
在 上單減,在 上單增.
(II)由(I)知:當(dāng) 時(shí), (就是伯努利不等式了)
所證不等式即為:
若 ,則
①
,
,故①式成立.
若 , 顯然成立.
②
,
,故②式成立.
綜上可得原不等式成立.
(III)由(II)可知:當(dāng) 時(shí),
22．（2015年高考陜西卷（理））已知函數(shù) .
(Ⅰ) 若直線y=kx+1與f (x)的反函數(shù)的圖像相切, 求實(shí)數(shù)k的值;
(Ⅱ) 設(shè)x>0, 討論曲線y=f (x) 與曲線 公共點(diǎn)的個(gè)數(shù).
(Ⅲ) 設(shè)a<b, 比較 與 的大小, 并說(shuō)明理由.
【答案】解:(Ⅰ) f (x)的反函數(shù) . 設(shè)直線y=kx+1與 相切與點(diǎn) .所以
(Ⅱ) 當(dāng) x > 0, > 0 時(shí), 曲線y=f (x) 與曲線 的公共點(diǎn)個(gè)數(shù)即方程 根的個(gè)數(shù).
由 ,
則 h(x)在
h(x) .
所以對(duì)曲線y=f (x) 與曲線 公共點(diǎn)的個(gè)數(shù),討論如下:
當(dāng) 時(shí),有0個(gè)公共點(diǎn);當(dāng)= ,有1個(gè)公共點(diǎn);當(dāng) 有2個(gè)公共點(diǎn);
(Ⅲ) 設(shè)
令 .
,且
.
所以
23．（2015年普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試山東數(shù)學(xué)（理）試題（含答案））設(shè)函數(shù) ( =2.71828是自然對(duì)數(shù)的底數(shù), ).
(Ⅰ)求 的單調(diào)區(qū)間、最大值; (Ⅱ)討論關(guān)于 的方程 根的個(gè)數(shù).
【答案】解:(Ⅰ) ,
由 ,解得 ,
當(dāng) 時(shí), , 單調(diào)遞減
所以,函數(shù) 的單調(diào)遞增區(qū)間是 ,單調(diào)遞減區(qū)間是 ,
最大值為
(Ⅱ)令
(1)當(dāng) 時(shí), ,則 ,
所以,
因?yàn)?, 所以
因此 在 上單調(diào)遞增.
(2)當(dāng) 時(shí),當(dāng)時(shí), ,則 ,
所以,
因?yàn)?, ,又
所以 所以
因此 在 上單調(diào)遞減.
綜合(1)(2)可知 當(dāng) 時(shí), ,
當(dāng) ,即 時(shí), 沒(méi)有零點(diǎn),
故關(guān)于 的方程 根的個(gè)數(shù)為0;
當(dāng) ,即 時(shí), 只有一個(gè)零點(diǎn),
故關(guān)于 的方程 根的個(gè)數(shù)為1;
當(dāng) ,即 時(shí),
①當(dāng) 時(shí),由(Ⅰ)知
要使 ,只需使 ,即 ;
②當(dāng) 時(shí),由(Ⅰ)知
;
要使 ,只需使 ,即 ;
所以當(dāng) 時(shí), 有兩個(gè)零點(diǎn),故關(guān)于 的方程 根的個(gè)數(shù)為2;
綜上所述:
當(dāng) 時(shí),關(guān)于 的方程 根的個(gè)數(shù)為0;
當(dāng) 時(shí),關(guān)于 的方程 根的個(gè)數(shù)為1;
當(dāng) 時(shí),關(guān)于 的方程 根的個(gè)數(shù)為2.
24．（2015年普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試浙江數(shù)學(xué)（理）試題（純WORD版））已知 ,函數(shù)
(1)求曲線 在點(diǎn) 處的切線方程;(2)當(dāng) 時(shí),求 的最大值.
【答案】解:(Ⅰ)由已知得: ,且 ,所以所求切線方程為: ,即為: ;
(Ⅱ)由已知得到: ,其中 ,當(dāng) 時(shí), ,
(1)當(dāng) 時(shí), ,所以 在 上遞減,所以 ,因?yàn)?;
(2)當(dāng) ,即 時(shí), 恒成立,所以 在 上遞增,所以 ,因?yàn)?
;
(3)當(dāng) ,即 時(shí),
,且 ,即
2
+0-0+
遞增極大值遞減極小值遞增
所以 ,且
所以 ,
所以 ;
由 ,所以
(?)當(dāng) 時(shí), ,所以 時(shí), 遞增, 時(shí), 遞減,所以 ,因?yàn)?
,又因?yàn)?,所以 ,所以 ,所以
(?)當(dāng) 時(shí), ,所以 ,因?yàn)?,此時(shí) ,當(dāng) 時(shí), 是大于零還是小于零不確定,所以
①當(dāng) 時(shí), ,所以 ,所以此時(shí) ;
②當(dāng) 時(shí), ,所以 ,所以此時(shí)
綜上所述: .
25．（2015年普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試大綱版數(shù)學(xué)（理）WORD版含答案（已校對(duì)））已知函數(shù)
(I)若 時(shí), ,求 的最小值;
(II)設(shè)數(shù)列
【答案】
26．（2015年普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試天津數(shù)學(xué)（理）試題（含答案））已知函數(shù) .
(Ⅰ) 求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(Ⅱ) 證明: 對(duì)任意的t>0, 存在唯一的s, 使 .
(Ⅲ) 設(shè)(Ⅱ)中所確定的s關(guān)于t的函數(shù)為 , 證明: 當(dāng) 時(shí), 有 .
【答案】
27．（2015年高考北京卷（理））設(shè)L為曲線C: 在點(diǎn)(1,0)處的切線.
(I)求L的方程;
(II)證明:除切點(diǎn)(1,0)之外,曲線C在直線L的下方.
【答案】解: (I)設(shè) ,則 .所以 .所以L的方程為 .
(II)令 ,則除切點(diǎn)之外,曲線C在直線 的下方等價(jià)于 . 滿足 ,且 .
當(dāng) 時(shí), , ,所以 ,故 單調(diào)遞減;
當(dāng) 時(shí), , ,所以 ,故 單調(diào)遞增.
所以, ( ).
所以除切點(diǎn)之外,曲線C在直線L的下方.
又解: 即 變形為 ,記 ,則 ,
所以當(dāng) 時(shí), , 在(0,1)上單調(diào)遞減;
當(dāng) 時(shí), , 在(1,+∞)上單調(diào)遞增.
所以 .)
山
本文來(lái)自：逍遙右腦記憶 http://www.portlandfoamroofing.com/gaosan/552880.html
相關(guān)閱讀：福建永春一中、培元中學(xué)、季延中學(xué)、石獅聯(lián)中2015屆高三上學(xué)期第