2014-2013學(xué)年高三(4月)月考數(shù)學(xué)（理科）試卷
(考試時間：120分鐘)
一、選擇題：（每小題5分，共60分）
1．集合A= ，集合B= ，則 ( )
A. B. C. D.
2．設(shè) 則 的大小關(guān)系是 ( )
A. B. C. D．
3．設(shè)函數(shù) ，其中 ， ，則 的展開式中 的系數(shù)為( )
A．-360 B.360 C.-60 D.60
4．已知復(fù)數(shù) 在復(fù)平面上對應(yīng)點為 ，則 關(guān)于直線 的對稱點的復(fù)數(shù)表示是（ ）．
A. B. 　 C. D.
5.在實數(shù)集 上隨機取一個數(shù) ，事件 =“ , ”，事件 =“ ”，則 （ ? ）=（ ）
A． B． C． D．
6．已知以下三視圖中有三個同時表示某一個三棱錐，則不是該三棱錐的三視圖是
A． B． C． D．
7. 如下程序框圖的功能是：給出以下十個數(shù)：5，9，80，43，95，73，28，17，60，36，把大于60的數(shù)找出來，則框圖中的①②應(yīng)分別填入的是（ ）
（A） （B）
（C） （D）
8．已知函數(shù) 是定義在 上的單調(diào)增函數(shù)且為奇函數(shù)，數(shù)列 是等差數(shù)列， ，則 的值（ ）．
A.恒為正數(shù)B.恒為負(fù)數(shù) C.恒為0 D.可正可負(fù)
9．如圖所示是某個區(qū)域的街道示意圖（每個小矩形的邊表示街道），那么從 到 的最短線路有（ ）條
A．100 B．400 C．200 D．250
10．如圖， ， 是雙曲線 ： (a＞0，b＞0)的左、右焦點，過 的直線 與 的左、右兩支分別交于 ， 兩點．若 : : ＝3:4 : 5，則雙曲線的離心率為（ ）A． B． C．2 D．
11．已知向量 滿足 ，其夾角為 ，若對任意向量 ，總有 ，則 的最大值與最小值之差為（ ）A．1 B、 C、 D、
12．已知以 為周期的函數(shù) ，其中 。若方程 恰有5個實數(shù)解，則 的取值范圍為（ ）
A． B． C． D.
二、填空題：（每小題5分，共20分）
13.在平面直角坐標(biāo)系中，不等式 為常數(shù) 表示的平面區(qū)域的面積為8，則 的最小值為_________
14.已知函數(shù) ，其導(dǎo)函數(shù)記為 ，則 .
15．設(shè)二次函數(shù) 的值域為 ，則 的最小值為
16．給出下列四個命題：
①
② ，使得 成立；
③ 為長方形， ， ， 為 的中點，在長方形 內(nèi)隨機取一 點，取得的點到 距離大小1的概率為 ；
④在 中，若 ，則 是銳角三角形，
其中正確命題的序號是
三、解答題：
17．（本題滿分12分）在 中 分別為A,B,C所對的邊， 且 （1）判斷 的形狀；
（2）若 ，求 的取值范圍
18．（本小題滿分12分）“蛟龍?zhí)枴睆暮５字袔Щ氐哪撤N生物，甲乙兩個生物小組分別獨立開展對該生物離開恒溫箱的成活情況進(jìn)行研究，每次試驗一個生物，甲組能使生物成活的概率為 ，乙組能使生物成活的概率為 ，假定試驗后生物成活，則稱該試驗成功，如果生物不成活，則稱該次試驗是失敗的.
（1）甲小組做了三次試驗，求至少兩次試驗成功的概率.
（2）如果乙小組成功了4次才停止試驗，求乙小組第四次成功前共有三次失敗，且恰有兩次連續(xù)失敗的概率.
（3）若甲乙兩小組各進(jìn)行2次試驗，設(shè)試驗成功的總次數(shù)為 ，求 的期望.
19．（本小題滿分12分如圖，已知矩形 的邊 , ,點 、 分別是邊 、 的中點，沿 、 分別把三角形 和三角形 折起，使得點 和點 重合，記重合后的位置為點 。（1）求證：平面 平面 ； (2)求二面角 的大小。
20．（本小題滿分12分）已知點 是橢圓E： （ ）上一點， 、 分別是橢圓 的左、右焦點， 是坐標(biāo)原點， 軸．
（1）求橢圓 的方程；（2）設(shè) 、 是橢圓 上兩個動點， ．求證：直線 的斜率為定值；
21．(本小題滿分12分）已知函數(shù) ．
（1）函數(shù) 在區(qū)間 上是增函數(shù)還是減函數(shù)？證明你的結(jié)論；
（2）當(dāng) 時， 恒成立，求整數(shù) 的最大值；
（3）試證明： （ ）。
請考生在第22、23題中任選一題作答。若多做，則按所做的第一題計分。
22．（本小題滿分10分）
已知點 ，參數(shù) ，點Q在曲線C： 上.
(1)求在直角坐標(biāo)系中點 的軌跡方程和曲線C的方程;(2)求｜PQ｜的最小值.
23．（本小題滿分10分）已知函數(shù)
（1）若 .求證： ；
（2）若滿足 試求實數(shù) 的取值范圍
山西大學(xué)附中
2014-2013學(xué)年高三(4月)月考數(shù)學(xué)（理科）答案
1~6DADDCD 7~12AACABB
13. 14. 2 15. 16.①②④.
17.試題分析：解：（1）由題意
由正弦定理知， 在 中，
或
當(dāng) 時， 則 舍
當(dāng) 時， 即 為等腰三角形。
（2）在等腰三角形 ，
取AC中點D，由 ，得
又由，
所以，
18. （1） . （2） = .
（3）由題意 的取值為0,1,2,3,4
故 的分布列為
01234
P
19. (1)證明:
(4分)
(2)如圖,建立坐標(biāo)系,則
,
易知 是平面PAE的法向量, 設(shè)MN與平面PAE 所成的角為
(3) 易知 是平面PAE的法向量,設(shè)平面PEC的法向量 則 所以 所以二面角A-PE-C的大小為
20.解：（Ⅰ）∵PF1⊥x軸，∴F1（-1，0），c=1，F(xiàn)2（1，0），
PF2= ，2a=PF1+PF2=4，a=2，b2=3，
橢圓E的方程為： ；
（Ⅱ）設(shè)A（x1，y1）、B（x2，y2），由 得
（x1+1，y1- ）+（x2+1，y2- ）= （1,- ），
所以x1+x2= -2 ，y1+y2= （2- ） ………①
又 ， ，
兩式相減得3（x1+x2）（x1-x2）+ 4（y1+y2）（y1-y2）=0………．．②
以①式代入可得AB的斜率k= 為定值；
21.解：（Ⅰ）由題
故 在區(qū)間 上是減函數(shù);
（Ⅱ）當(dāng) 時， 恒成立，即 在 上恒成立，取 ，則 ，
再取 則
故 在 上單調(diào)遞增，
而 ，
故 在 上存在唯一實數(shù)根 ，
故 時， 時，
故 故
以①式代入可得AB的斜率k= 為定值；
（3）由（2）知：
令 ，
又
即：
22.試題分析：設(shè)點P的坐標(biāo)為（x，y），則有 消去參數(shù)α，可得 由于α∈[0，π]，∴y≥0，故點P的軌跡是上半圓 ∵曲線C： ，即 ，即 ρsinθ-ρcosθ=10，故曲線C的直角坐標(biāo)方程：x-y+10=0．（2）如圖所示：由題意可得點Q在直線x-y+10=0 上，點P在半圓上，半圓的圓心C（1，0）到直線x-y+10=0的距離等于 ．即PQ的最小值為 -1．
23.解：（Ⅰ）
...2分
.5分
(Ⅱ)由（Ⅰ）可知， 在 為單調(diào)增函數(shù).
且 ..7分


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