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2013年高三文科數(shù)學(xué)高考押題卷(有答案)
編輯:
逍遙路
關(guān)鍵詞:
高三
來源:
高中學(xué)習(xí)網(wǎng)
2013年高考數(shù)學(xué)(文)押題精粹(課標(biāo)版)
(30道選擇題+20道非選擇題)
一.選擇題(30道)
1.設(shè)集合 , ,若 ,則 的值為( )
A.0 B.1 C. D.
2. 已知 是實(shí)數(shù)集,集合 , ,則 ( )
A. B.
C. D.
3.已知i為虛數(shù)單位,則復(fù)數(shù) 等于( )
A.-1-iB.-1+iC.1+iD.1—i
4.復(fù)數(shù) 在復(fù)平面上對應(yīng)的點(diǎn)不可能位于( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
5. “ ”是“方程 表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓”的( )
A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件
C.充要條件 D.既不充分也不必要條
6.若命題“ R,使得 ”為假命題,則實(shí)數(shù)m的取值范圍是( )
(A) (B) (C) (D)
7.一個(gè)算法的程序框圖如右,則其輸出結(jié)果是( )
A.0 B.
C. D.
8.下面的程序框圖中,若輸出 的值為 ,則圖中應(yīng)填上的條件為( )
A. B. C. D.
9.右圖是函數(shù) 在區(qū)間
上的圖象.為了得到這個(gè)函數(shù)的圖象,只需將
的圖象上所有的點(diǎn)( )
A.向左平移 個(gè)單位長度,再把所得各點(diǎn)的橫坐標(biāo)
縮短到原來的 倍,縱坐標(biāo)不變
B.向左平移 個(gè)單位長度,再把所得各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍,縱坐標(biāo)不變
C.向左平移 個(gè)單位長度,再把所得各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的 倍,縱坐標(biāo)不變
D.向左平移 個(gè)單位長度,再把所得各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍,縱坐標(biāo)不變
10.已知 則 的值( )
A.隨著k的增大而增大
B.有時(shí)隨著k的增大而增大,有時(shí)隨著k的增大而減小
C.隨著k的增大而減小
D.是一個(gè)與k無關(guān)的常數(shù)
11.關(guān)于函數(shù) 的四個(gè)結(jié)論:
P1:最大值為 ;
P2:最小正周期為 ;
P3:單調(diào)遞增區(qū)間為 Z;
P4:圖象的對稱中心為 Z.其中正確的有( 。
A.1 個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)
12. 是兩個(gè)向量, , ,且 ,則 與 的夾角為( )
(A) (B) (C) (D)
13.已知a,b是兩個(gè)互相垂直的單位向量,且c?a=c?b=1,,則對任意正實(shí)數(shù)t, 的最小值是( )
A. B. C. D.
14.一個(gè)幾何體的三視圖如右圖所示,則它的體積為( )
A. B.
C. D.
15.正方形 的邊長為 ,中心為 ,球 與正方形 所在平面相切于 點(diǎn),過點(diǎn) 的球的直徑的另一端點(diǎn)為 ,線段 與球 的球面的交點(diǎn)為 ,且 恰為線段 的中點(diǎn),則球 的體積為( )
A. B. C. D.
16.不等式組 表示面積為1的直角三角形區(qū)域,則 的值為( )
A. B. C. D.
17.設(shè)函數(shù) , . 若當(dāng) 時(shí),不等式 恒成立,則實(shí)數(shù) 的取值范圍是 ( ).
A. B. C. D.
18.如圖,在邊長為2的正方形內(nèi)隨機(jī)取一個(gè)點(diǎn),則此點(diǎn)在正方形的內(nèi)切圓內(nèi)部的概率為( )
A. B. C. D.
19、將一骰子拋擲兩次,所得向上的點(diǎn)數(shù)分別為 和 ,則函數(shù) 在 上為增函數(shù)的概率是( )
A. B. C. D.
20、某單位為了解用電量 度與氣溫 之間的關(guān)系,隨機(jī)統(tǒng)計(jì)了某4天的用電量與當(dāng)天氣溫,并制作了對照表:
氣溫( )
181310-1
用電量(度)24343864
由表中數(shù)據(jù)得線性回歸方程 中 ,預(yù)測當(dāng)氣溫為 時(shí),用電量的度數(shù)約為( )
A.68 B.79 C.65 D.80
21、某校從參加高二年級(jí)學(xué)業(yè)水平測試的學(xué)生中抽出100
名學(xué)生,其數(shù)學(xué)成績的頻率分布直方圖如圖所示.其中
成績分組區(qū)間是[40,50),[50,60),[60,70),[70,80),
[80,90) ,[90,100].則成績在[80 ,100]上的人數(shù)為( )
A70 B 60 C 35 D 30
22、已知等差數(shù)列 的公差和首項(xiàng)都不等于0,且 成等比數(shù)列,則 ( )
A. 2 B. 3 C. 5 D. 7
23、設(shè)等比數(shù)列 的公比為 ,前 項(xiàng)和為 ,且 .若 ,則 的取值范圍是( )
(A) (B)
(C) (D)
24. 已知 分別是雙曲線 的左、右焦點(diǎn),過 且垂直于 軸的直線與雙曲線交于 兩點(diǎn),若 是銳角三角形,則該雙曲線離心率的取值范圍是( 。
A. B. C. D.
25.圓 -2x+my-2=0關(guān)于拋物線 =4y的準(zhǔn)線對稱,則m的值為( )
A.1 B. 2 C. 3 D. 4
26.已知拋物線 的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為 , 且 上的兩點(diǎn) 關(guān)于直線 對稱, 并且 , 那么 =( 。
A. B. C.2D.3
27.如果函數(shù) 圖像上任意一點(diǎn)的坐標(biāo) 都滿足方程 ,那么正確的選項(xiàng)是( )
(A) 是區(qū)間(0, )上的減函數(shù),且
(B) 是區(qū)間(1, )上的增函數(shù),且
(C) 是區(qū)間(1, )上的減函數(shù),且
(D) 是區(qū)間(1, )上的減函數(shù),且
28.定義在R上的奇函數(shù) ,當(dāng) ≥0時(shí), 則關(guān)于 的函數(shù) (0< <1)的所有零點(diǎn)之和為( )
(A)1- (B) (C) (D)
29.已知 在 處取最大值,以下各式正確的序號(hào)為( ) ① ② ③ ④ ⑤
A. B. C. D.
30.已知函數(shù) ,則對任意 ,若 ,下列不等式成立的是( )
(A) (B)
(C) (D)
二.填空題(8道)
31.已知A ,B(0,1)),坐標(biāo)原點(diǎn)O在直線AB上的射影為點(diǎn)C,則 = .
32.若直線 是曲線 的切線,則實(shí)數(shù) 的值為 .
33.若實(shí)數(shù) 、 滿足 ,且 的最小值為 ,則實(shí)數(shù) 的值為__
34.已知四 面體 的 外接球的球心 在 上,且 平面 , , 若四面體 的體積為 ,則該球的體積為_____________
35.在區(qū)間 內(nèi)隨機(jī)取兩個(gè)數(shù)a、b, 則使得函數(shù) 有零點(diǎn)的概率
為 。
36.公比為4的等比數(shù)列 中,若 是數(shù)列 的前 項(xiàng)積,則有 也成等比數(shù)列,且公比為 ;類比上述結(jié)論,相應(yīng)的在公差為3的等差數(shù)列 中,若 是 的前 項(xiàng)和,則有一相應(yīng)的等差數(shù)列,該等差數(shù)列的公差為_____________.
37.在 中,角 所對的邊分別為 ,且 ,當(dāng) 取最大值時(shí),角 的值為_______________
38.已知拋物線 的準(zhǔn)線為 ,過點(diǎn) 且斜率為 的直線與 相交于點(diǎn) ,與 的一個(gè)交點(diǎn)為 ,若 ,則 等于____________
三.解答題(12道)
39、 中, , , 分別是角 的對邊,向量 , , .
(1)求角 的大;
(2)若 , ,求 的值.
40、已知等差數(shù)列 的首項(xiàng) ,公差 .且 分別是等比數(shù)列 的 .
(Ⅰ)求數(shù)列 與 的通項(xiàng)公式;
(Ⅱ)設(shè)數(shù)列 對任意自然數(shù) 均有 … 成立,求 … 的值.
41、(本小題滿分12分)
為了了解甲、乙兩名同學(xué)的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)情況,對他們的7次數(shù)學(xué)測試成績(滿分100分)進(jìn)行統(tǒng)計(jì),作出如下的莖葉圖,其中 處的數(shù)字模糊不清.已知甲同學(xué)成績的中位數(shù)是83,乙同學(xué)成績的平均分是86分.
(Ⅰ)求 和 的值;
(Ⅱ)現(xiàn)從成績在[90,100]之間的試卷中隨機(jī)抽取兩份進(jìn)行分析,求恰抽到一份甲同
學(xué)試卷的概率.
42、十一黃金周,記者通過隨機(jī)詢問某景區(qū)110名游客對景區(qū)的服務(wù)是否滿意,得到如下的列聯(lián)表:性別與對景區(qū)的服務(wù)是否滿意 單位:名
男女總計(jì)
滿意503080
不滿意102030
總計(jì)6050110
(1)從這50名女游客中按對景區(qū)的服務(wù)是否滿意采取分層抽樣,抽取一個(gè)容量為5的樣本,問樣本中滿意與不滿意的女游客各有多少名?
(2)從(1)中的5名女游客樣本中隨機(jī)選取兩名作深度訪談,求選到滿意與不滿意的女游客各一名的概率;
(3)根據(jù)以上列聯(lián)表,問有多大把握認(rèn)為“游客性別與對景區(qū)的服務(wù)滿意”有關(guān)
附:
P( )
0.0500.0250.0100.005
3.8415.0246.6357.879
43、如圖在四棱錐 中,底面 是邊長為 的正方形,側(cè)面 底面 ,且 ,設(shè) 、 分別為 、 的中點(diǎn).
(Ⅰ) 求證: //平面 ;
(Ⅱ) 求證:面 平面 ;
44、已知橢圓 的長軸長是短軸長的兩倍,焦距為 .
(1)求橢圓 的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)設(shè)不過原點(diǎn) 的直線 與橢圓 交于兩點(diǎn) 、 ,且直線 、 、 的斜率依次成等比數(shù)列,求△ 面積的取值范圍.
45. 已知拋物線 的焦點(diǎn)坐標(biāo)為 ,過 的直線交拋物線 于 兩點(diǎn),直線 分別與直線 : 相交于 兩點(diǎn).
(Ⅰ)求拋物線 的方程;
(Ⅱ)證明△ABO與△MNO的面積之比為定值.
46.已知函數(shù)f (x)=x3+ (1-a)x2-3ax+1,a>0.
(Ⅰ) 證明:對于正數(shù)a,存在正數(shù)p,使得當(dāng)x∈[0,p]時(shí),有-1≤f (x)≤1;
(Ⅱ) 設(shè)(Ⅰ)中的p的最大值為g(a),求g(a)的最大值.
47.已知函數(shù)
(I)討論 的單調(diào)性;
(II)若 有兩個(gè)極值點(diǎn) 和 ,記過點(diǎn) 的直線的斜率為 ,問:是否存在 ,使得 若存在,求出 的值,若不存在,請說明理由.
48.選修4-1:幾何證明選講.
如圖,過圓E外一點(diǎn)A作一條直線與圓E交B,C兩點(diǎn),且AB= AC,作直線AF與圓E相切于點(diǎn)F,連接EF交BC于點(diǎn)D,己知圓E的半徑為2, =30.
(1)求AF的長.
(2)求證:AD=3ED.
49. 在直角坐標(biāo)系中,以原點(diǎn)為極點(diǎn), 軸的正半軸為極軸建坐標(biāo)系.已知曲線 ,已知過點(diǎn) 的直線 的參數(shù)方程為: ,直線 與曲線 分別交于 兩點(diǎn).
(1)寫出曲線 和直線 的普通方程;
(2)若 成等比數(shù)列,求 的值.
50. 選修4-5:不等式選講
設(shè)
(1)當(dāng) ,求 的取值范圍;
(2)若對任意x∈R, 恒成立,求實(shí)數(shù) 的最小值.
2013年高考數(shù)學(xué)(文)押題精粹(課標(biāo)版)
【參考答案與解析】
一.選擇題(30道)
1. 【答案】A
2. 【答案】D
【點(diǎn)評(píng)】集合問題是高考必考內(nèi)容之一,題目相對簡單.集合的表示法有列舉法、描述法、圖示法三種,高考中與集合的運(yùn)算相結(jié)合,不外乎幾種題型。側(cè)重考查簡單的不等式的有關(guān)知識(shí)。
3. 【答案】A
4. 【答案】A
【點(diǎn)評(píng)】3、4題考查的是復(fù)數(shù)有關(guān)知識(shí)。復(fù)數(shù)主要內(nèi)容有:復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算、復(fù)數(shù)的模、共軛復(fù)數(shù)、復(fù)平面、復(fù)數(shù)概念等,文科一般都只考簡單的復(fù)數(shù)除法運(yùn)算,且比較常規(guī)化。
5.【答案】C
6.【答案】A
【點(diǎn)評(píng)】上面5、6題是簡易邏輯的內(nèi)容,簡易邏輯內(nèi)容有:命題的或、且、非;四種命題;充分、必要條件;全稱命題和特稱命題。作為高考內(nèi)容的重要組成部分,也是各省高考常見題型,特別是對充分、必要條件與全稱命題和特稱命題的考查。單獨(dú)考查簡易邏輯相關(guān)的概念不多見,按照近幾年高考真題的特點(diǎn)來講,結(jié)合其他知識(shí)點(diǎn)一同考查是總趨勢,
如5題。一般和不等式相結(jié)合的也時(shí)有出現(xiàn),如6題。
7.【答案】C
8.【答案】B
【點(diǎn)評(píng)】7,8題考查的內(nèi)容是程序框圖。程序框圖題型一般有兩種,一種是根據(jù)完整的程序框圖計(jì)算,如題7;一種是根據(jù)題意補(bǔ)全程序框圖,如題8.程序框圖一般與函數(shù)知識(shí)和數(shù)列知識(shí)相結(jié)合,一般結(jié)合數(shù)列比較多見,特別經(jīng)過多年的高考,越來越新穎、成熟。
9.【答案】A
10.【答案】A
11.【答案】C
【點(diǎn)評(píng)】根據(jù)三角函數(shù)的圖像確定三角函數(shù)的解析式是綜合考察三角函數(shù)知識(shí)的掌握程度的重要手段,再結(jié)合三角函數(shù)圖象的平移問題,使得這種題型常考常新,作為中檔題是歷年高考考察的重點(diǎn),如9題;三角函數(shù)求值是歷年高考的常考點(diǎn),應(yīng)用三角函數(shù)恒等變換化簡式子并引入?yún)?shù)是一種創(chuàng)新題型,知識(shí)的綜合程度較高,或許這種題型在未來幾年的高考中會(huì)出現(xiàn),如10題;結(jié)合三角函數(shù)的恒等變換,綜合分析函數(shù)的性質(zhì),是對三角函數(shù)知識(shí)點(diǎn)的綜合考察,要求知識(shí)的掌握程度為中等,歷年高考對三角函數(shù)知識(shí)點(diǎn)的考察亦以中檔容易為主,如11題。
12.【答案】C
13.【答案】B
【點(diǎn)評(píng)】向量的數(shù)量積是高考的必考點(diǎn),多以容易和中檔題目出現(xiàn),常以求向量的模、夾角來考察該知識(shí)點(diǎn),如12題;有時(shí)也以函數(shù)、解三角形或不等式結(jié)合綜合考察求最值問題,如13題。
14.【答案】B
15.【答案】B
【點(diǎn)評(píng)】14題中,三視圖是新課標(biāo)新增內(nèi)容,在歷年高考中都成為各地高考試卷出題的必考內(nèi)容,多以求體積或表面積為主,本知識(shí)著重考察空間想象力和計(jì)算求解能力;在立體幾何知識(shí)的考察中近幾年多以三視圖或與球結(jié)合的綜合問題,對球的考察以球的體積或表面積為問題設(shè)置點(diǎn),利用空間線面關(guān)系確定相應(yīng)一些數(shù)量求解,如15題。
16.【答案】D
17.【答案】A
【點(diǎn)評(píng)】不等式的考察中,有不等式的性質(zhì)、線性規(guī)劃、基本不等式、簡易邏輯,常以函數(shù)、數(shù)列、向量相結(jié)合考察。16題中線性規(guī)劃求參數(shù)問題也許在未來的高考題中會(huì)同樣出現(xiàn);17題中以函數(shù)相結(jié)合利用函數(shù)性質(zhì)求參數(shù)的取值班范圍,也是高考在不等式知識(shí)點(diǎn)出題的熱點(diǎn)。
18.【答案】A
19.【答案】B
20.【答案】A
21.【答案】D
【點(diǎn)評(píng)】18、19、20、21題為概率、統(tǒng)計(jì)、模塊內(nèi)容,該模塊包含的內(nèi)容比較多,一般高考會(huì)有1小1大兩道題,小題主要考查:頻率分布直方圖、莖葉圖、樣本的數(shù)字特征、獨(dú)立性檢驗(yàn)、幾何概型和古典概型、抽樣(特別是分層抽樣),所以應(yīng)該引起足夠的重視。
22.【答案】B
23.【答案】B
【點(diǎn)評(píng)】22、23題考查的數(shù)列知識(shí)。如果不考大題,會(huì)考兩個(gè)小題,數(shù)列版塊在新課標(biāo)的背景下要求降低,小題以考查數(shù)列概念、性質(zhì)、通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和公式等內(nèi)容為主,屬中低檔題。
24.【答案】C
25.【答案】B
26.【答案】A
【點(diǎn)評(píng)】解析幾何模塊主要考查:直線、圓及圓錐曲線的性質(zhì)為主,一般結(jié)合定義,借助于圖形可容易求解,其中雙曲線幾乎是客觀題的必考內(nèi)容,小題特別關(guān)注直線、圓、拋物線、雙曲線以及它們之間綜合。
27.【答案】C
28.【答案】A
29.【答案】B
【解析】 , 在 處取最大值, ,即: ,
30.【答案】D
【解析】當(dāng) 時(shí), ,所以 。當(dāng) 時(shí), ,所以 ,即函數(shù) 為偶函數(shù),且當(dāng) 時(shí),函數(shù) 單調(diào)遞增,所以 ,即 ,所以 ,選D.
【點(diǎn)評(píng)】函數(shù)與導(dǎo)數(shù)模塊,主要考查分段函數(shù)、初等函數(shù)的性質(zhì)、函數(shù)的圖象、函數(shù)的零點(diǎn)、以及導(dǎo)數(shù)應(yīng)用等,多個(gè)知識(shí)點(diǎn)綜合考查是熱點(diǎn).
三.填空題(8道)
31. 【答案】
【解析】由題意知 . .所以
【點(diǎn)評(píng)】向量的填空題數(shù)量積是高考命題的一個(gè)重要方向,一般不是太難,重視基本運(yùn)算。
32.
【點(diǎn)評(píng)】文科填空題函數(shù)和導(dǎo)數(shù)主要考查函數(shù)的性質(zhì)和導(dǎo)數(shù)的切線問題。
33.【答案】
【點(diǎn)評(píng)】線性規(guī)劃多考常規(guī)題,不過現(xiàn)在常規(guī)題型高考都考過了,加點(diǎn)難度。
34.【答案】
點(diǎn)評(píng):球的組合體是高考每年必考的知識(shí)點(diǎn),題型不是選擇就是填空。
35.【答案】
【點(diǎn)評(píng)】幾何概型是高考常考的題型,文科線性規(guī)劃和幾何概型組合考查也要引起注意
36.【答案】300
【點(diǎn)評(píng)】推理與證明作為新課標(biāo)的新增知識(shí)點(diǎn),高考出現(xiàn)是必要的,此題考查了類比推理的應(yīng)用。當(dāng)然歸納推理也要掌握。
37.【答案】
【點(diǎn)評(píng)】解三角形是高考的重要組成部分,不在客觀題考查,就在解答題中出現(xiàn),尤其2010年和2014年高考都作為填空題考查。解三角形所涉及的知識(shí)點(diǎn)要掌握,如正弦定理、余弦定理、三角形的面積公式等。
38.【答案】 2
【點(diǎn)評(píng)】2014年高考解答題考了拋物線,2013年解答題要考橢圓,填空題考查雙曲線或拋物線的定義性質(zhì)
三.解答題(12道)
39. 【解析】
(1)
(2) ,
綜上
【點(diǎn)評(píng)】高考三角類解答題無非就是兩種,(1)三角函數(shù)題——考查三角函數(shù)的性質(zhì)或圖像;(2)是解三角形,有點(diǎn)省份也會(huì)考解三角形的應(yīng)用題。常常與向量結(jié)合出題。
40.【答案】(Ⅰ)∵a2=1+d ,a5=1+4d ,a14=1+13d,且a2、a5、a14成等比數(shù)列
∴
∴
又∵ .
∴
(Ⅱ)∵ … ①
∴ 即 ,又 … ②
①-②:
∴
∴
【點(diǎn)評(píng)】新課標(biāo)下對數(shù)列的考查要求降低,只對等差、等比數(shù)列通項(xiàng)和求和要求掌握。其中的一次些常規(guī)方法(錯(cuò)位相減,倒序相加等)特別注意。
41.【答案】(Ⅰ) 甲同學(xué)成績的中位數(shù)是83,
,
乙同學(xué)的平均分是86分,
,
.
(Ⅱ)甲同學(xué)成績在[90,100]之間的試卷有二份,分別記為 , ,
乙同學(xué)成績在[90,100]之間的試卷有三份,分別記為 , , ,
“從這五份試卷中隨機(jī)抽取兩份試卷”的所有可能結(jié)果為:
, , , , , , , , ,共有10種情況,
記“從成績在[90,100]之間的試卷中隨機(jī)抽取兩份,恰抽到一份甲同學(xué)試卷”為事件 ,則事件 包含的基本事件為:
, , , , ,共有6種情況
則 ,
從成績在[90,100]之間的試卷中隨機(jī)抽取兩份進(jìn)行分析,恰抽到一份甲同學(xué)試卷的概率為 .
42. 【答案】
【點(diǎn)評(píng)】概率題主要考察莖葉圖、抽樣方法、直方圖、統(tǒng)計(jì)案例、線性回歸方程、概率等基礎(chǔ)知識(shí),試題多考查運(yùn)用概率統(tǒng)計(jì)知識(shí)解決簡單實(shí)際問題的能力,數(shù)據(jù)處理能力和應(yīng)用意識(shí)。這里將其兩兩結(jié)合處理。
43.【答案】
(Ⅰ)證明: 為平行四邊形
連結(jié) , 為 中點(diǎn),
為 中點(diǎn)∴在 中 //
且 平面 , 平面
∴
(Ⅱ)證明:因?yàn)槊?面 平面 面
為正方形, , 平面
所以 平面
∴
又 ,所以 是等腰直角三角形,
且 即
,且 、 面
面 ............7分
又 面 面 面 .......8分
【點(diǎn)評(píng)】空間幾何體的解答題一般以柱體或錐體為背景,考查線面、面面關(guān)系。去年新課標(biāo)卷考的是柱體,今年預(yù)測為錐體。
44、【答案】
(1)由已知得 ∴ 方程:
(2)由題意可設(shè)直線 的方程為:
聯(lián)立 消去 并整理,得:
則△ ,
此時(shí)設(shè) 、 ∴
于是
又直線 、 、 的斜率依次成等比數(shù)列,
∴
由 得: .又由△ 得:
顯然 (否則: ,則 中至少有一個(gè)為0,直線 、 中至少有一個(gè)斜率不存在,矛盾。
設(shè)原點(diǎn) 到直線 的距離為 ,則
故由 得取值范圍可得△ 面積的取值范圍為
【點(diǎn)評(píng)】圓錐曲線大題一般以橢圓和拋物線為主,求標(biāo)準(zhǔn)方程、離心率為主,并結(jié)合向量、直線和其它知識(shí)點(diǎn)考查學(xué)生的綜合推理、運(yùn)算能力。
45.【答案】
(Ⅰ)由焦點(diǎn)坐標(biāo)為 可知
所以 ,
所以拋物線 的方程為 …4分
(Ⅱ)當(dāng)直線垂直于 軸時(shí), 與 相似,
所以 ,
當(dāng)直線與 軸不垂直時(shí),設(shè)直線AB方程為 ,
設(shè) , , , ,
解 整理得 ,
所以 ,
,
綜上
【點(diǎn)評(píng)】高考對圓錐曲線這部分主要考查直線與橢圓、直線與拋物線的綜合應(yīng)用能力,本小題涉及到直線與拋物線的相關(guān)知識(shí)以及圓錐曲線中面積求取知識(shí)的綜合知識(shí). 本小題對考生的化歸與轉(zhuǎn)化思想、運(yùn)算求解能力都有較高要求,但難度適中,計(jì)算量不大,符合作為文科壓軸題的特點(diǎn).
46. 【答案】(Ⅰ) 由于 f ′(x)=3x2+3(1-a)x-3a=3(x+1)(x-a),且a>0,
故f (x)在[0,a]上單調(diào)遞減,在[a,+∞)上單調(diào)遞增.
又f (0)=1, f (a)=- a3- a2+1= (1-a)(a+2) 2-1.
當(dāng)f (a)≥-1時(shí),取p=a.
此時(shí),當(dāng)x∈[0,p]時(shí)有-1≤f (x)≤1成立.
當(dāng)f (a)<-1時(shí),由于f (0)+1=2>0,f (a)+1<0,
故存在p∈(0,a)使得f (p)+1=0.
此時(shí),當(dāng)x∈[0,p]時(shí)有-1≤f (x)≤1成立.
綜上,對于正數(shù)a,存在正數(shù)p,使得當(dāng)x∈[0,p]時(shí),有-1≤f (x)≤1.
(Ⅱ) 由(Ⅰ)知f (x)在[0,+∞)上的最小值為f (a).
當(dāng)0<a≤1時(shí),f (a)≥-1,則g(a)是方程f (p)=1滿足p>a的實(shí)根,
即2p2+3(1-a)p-6a=0滿足p>a的實(shí)根,所以g(a)= .
又g(a)在(0,1]上單調(diào)遞增,故g(a)max=g(1)= .
當(dāng)a>1時(shí),f (a)<-1.
由于f (0)=1,f (1)= (1-a)-1<-1,故[0,p]? [0,1].
此時(shí),g(a)≤1.
綜上所述,g(a)的最大值為 .
47.【答案】(I) 的定義域?yàn)?br>令 ,其判別式
(1)當(dāng) 時(shí) , 故 在 上單調(diào)遞增
(2)當(dāng) 時(shí) , 的兩根都小于 ,在 上, ,
故 在 上單調(diào)遞增
(3)當(dāng) 時(shí) , 的兩根為 ,
當(dāng) 時(shí), ;當(dāng) 時(shí), ;當(dāng) 時(shí), ,故 分別在 上單調(diào)遞增,在 上單調(diào)遞減
亦即
再由(I)知,函數(shù) 在 上單調(diào)遞增,
而 ,所以 這與 式矛盾.
故不存在 ,使得
【點(diǎn)評(píng)】導(dǎo)數(shù)題似乎已經(jīng)被默認(rèn)高考解答題的最后一題(當(dāng)然個(gè)別省份不是),一般以三次多項(xiàng)式函數(shù)、指數(shù)函數(shù)或?qū)?shù)函數(shù)為背景,考查導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)性質(zhì)、研究不等式和方程問題中的綜合運(yùn)用,考查點(diǎn)極為全面,上述兩題就有這樣的特點(diǎn),同時(shí)作為文科題,考查的深度應(yīng)該不如理科,運(yùn)算量也不能太大。
48.【答案】(1) 延長 交圓 于點(diǎn) ,連結(jié) ,則 ,
又 , ,所以 ,
又 ,可知 .
所以根據(jù)切割線定理 ,即 .
(2) 過 作 于 ,則 與 相似,
從而有 ,因此 .
【點(diǎn)評(píng)】本小題主要考查平面幾何的證明,圖形背景新穎,具體涉及到切割線定理以及三角形相似等內(nèi)容,重點(diǎn)考查考生對平面幾何推理能力.
49.【答案】(Ⅰ) .
(Ⅱ)直線 的參數(shù)方程為 ( 為參數(shù)),
代入 , 得到 ,
則有 .
因?yàn)?,所以 ,解得 .
【點(diǎn)評(píng)】本小題主要考查極坐標(biāo)與參數(shù)方程的相關(guān)知識(shí),考查了極坐標(biāo)方程與平面直角坐標(biāo)方程的互化、直線與曲線的位置關(guān)系以及點(diǎn)到直線的距離等知識(shí)內(nèi)容同時(shí)。
50.【答案】(1)f(x)=x-a≤3,即a-3≤x≤a+3.依題意,a-3≤-1,a+3≥3.
由此得a的取值范圍是[0,2].
(2)f(x-a)+f(x+a)=x-2a+x≥(x-2a)-x=2a.
當(dāng)且僅當(dāng)(x-2a)x≤0時(shí)取等號(hào).
解不等式2a≥1-2a,得a≥ 1 4.
故a的最小值為 1 4.
【點(diǎn)評(píng)】縱觀多年新課標(biāo)高考題,絕大部分年份和省份的高考都以考查絕對值不等式的解法和性質(zhì)為主,本小題不僅同時(shí)考查了絕對值不等式的解法和性質(zhì),并且題問作了相應(yīng)的創(chuàng)新.
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