高考導(dǎo)航

考試要求重難點(diǎn)擊命題展望
　　1.理解復(fù)數(shù)的基本概念、復(fù)數(shù)相等的充要條件.
2.了解復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義.
3.會(huì)進(jìn)行復(fù)數(shù)代數(shù)形式的四則運(yùn)算.了解復(fù)數(shù)的代數(shù)形式的加、減運(yùn)算及其運(yùn)算的幾何意義.
4.了解從自然數(shù)系到復(fù)數(shù)系的關(guān)系及擴(kuò)充的基本思想，體會(huì)理性思維在數(shù)系擴(kuò)充中的作用.　　本章重點(diǎn)：1.復(fù)數(shù)的有關(guān)概念；2.復(fù)數(shù)代數(shù)形式的四則運(yùn)算.
本章難點(diǎn)：運(yùn)用復(fù)數(shù)的有關(guān)概念解題.　　近幾年高考對(duì)復(fù)數(shù)的考查無(wú)論是試題的難度，還是試題在試卷中所占比例都是呈下降趨勢(shì)，常以選擇題、填空題形式出現(xiàn)，多為容易題.在復(fù)習(xí)過(guò)程中，應(yīng)將復(fù)數(shù)的概念及運(yùn)算放在首位.

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15.1　復(fù)數(shù)的概念及其運(yùn)算


典例精析
題型一　復(fù)數(shù)的概念
【例1】 (1)如果復(fù)數(shù)(m2＋i)(1＋mi)是實(shí)數(shù)，則實(shí)數(shù)m＝　　　　��；
(2)在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)1＋ii對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第　　　象限；
(3)復(fù)數(shù)z＝3i＋1的共軛復(fù)數(shù)為z＝　　　　　.
【解析】 (1)(m2＋i)(1＋mi)＝m2－m＋(1＋m3)i是實(shí)數(shù)?1＋m3＝0?m＝－1.
(2)因?yàn)?＋ii＝i(1＋i)i2＝1－i，所以在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為(1，－1)，位于第四象限.
(3)因?yàn)閦＝1＋3i，所以z＝1－3i.
【點(diǎn)撥】 運(yùn)算此類題目需注意復(fù)數(shù)的代數(shù)形式z＝a＋bi(a，b∈R)，并注意復(fù)數(shù)分為實(shí)數(shù)、虛數(shù)、純虛數(shù)，復(fù)數(shù)的幾何意義，共軛復(fù)數(shù)等概念.
【變式訓(xùn)練1】(1)如果z＝1－ai1＋ai為純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)a等于(　　)
A.0B.－1C.1D.－1或1
(2)在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)z＝1－ii(i是虛數(shù)單位)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于(　　)
A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限
【解析】(1)設(shè)z＝xi，x≠0，則
xi＝1－ai1＋ai?1＋ax－(a＋x)i＝0? ? 或 故選D.
(2)z＝1－ii＝(1－i)(－i)＝－1－i，該復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第三象限.故選C.
題型二　復(fù)數(shù)的相等
【例2】(1)已知復(fù)數(shù)z0＝3＋2i，復(fù)數(shù)z滿足z?z0＝3z＋z0，則復(fù)數(shù)z＝　　　　��；
(2)已知m1＋i＝1－ni，其中m，n是實(shí)數(shù)，i是虛數(shù)單位，則m＋ni＝　　　　��；
(3)已知關(guān)于x的方程x2＋(k＋2i)x＋2＋ki＝0有實(shí)根，則這個(gè)實(shí)根為　　　　　，實(shí)數(shù)k的值為　　　　.
【解析】(1)設(shè)z＝x＋yi(x，y∈R)，又z0＝3＋2i，
代入z?z0＝3z＋z0得(x＋yi)(3＋2i)＝3(x＋yi)＋3＋2i，
整理得 (2y＋3)＋(2－2x)i＝0，
則由復(fù)數(shù)相等的條件得
解得 所以z＝1－ .
(2)由已知得m＝(1－ni)(1＋i)＝(1＋n)＋(1－n)i.
則由復(fù)數(shù)相等的條件得
所以m＋ni＝2＋i.
(3)設(shè)x＝x0是方程的實(shí)根，代入方程并整理得
由復(fù)數(shù)相等的充要條件得
解得 或
所以方程的實(shí)根為x＝2或x＝－2，
相應(yīng)的k值為k＝－22或k＝22.
【點(diǎn)撥】復(fù)數(shù)相等須先化為z＝a＋bi(a，b∈R)的形式，再由相等得實(shí)部與實(shí)部相等、虛部與虛部相等.
【變式訓(xùn)練2】(1)設(shè)i是虛數(shù)單位，若1＋2i1＋i＝a＋bi(a，b∈R)，則a＋b的值是(　　)
A.－12B.－2C.2D.12
(2)若(a－2i)i＝b＋i，其中a，b∈R，i為虛數(shù)單位，則a＋b＝　　　　.
【解析】(1)C.1＋2i1＋i＝(1＋2i)(1－i)(1＋i)(1－i)＝3＋i2，于是a＋b＝32＋12＝2.
(2)3.2＋ai＝b＋i?a＝1，b＝2.
題型三　復(fù)數(shù)的運(yùn)算
【例3】 (1)若復(fù)數(shù)z＝－12＋32i， 則1＋z＋z2＋z3＋…＋z2 008＝　　　　��；
(2)設(shè)復(fù)數(shù)z滿足z＋z＝2＋i，那么z＝　　　　　.
【解析】 (1)由已知得z2＝－12－32i，z3＝1，z4＝－12＋32i ＝z.
所以zn具有周期性，在一個(gè)周期內(nèi)的和為0，且周期為3.
所以1＋z＋z2＋z3＋…＋z2 008
＝1＋z＋(z2＋z3＋z4)＋…＋(z2 006＋z2 007＋z2 008)
＝1＋z＝12＋32i.
(2)設(shè)z＝x＋yi(x，y∈R)，則x＋yi＋x2＋y2＝2＋i，
所以 解得 所以z＝ ＋i.
【點(diǎn)撥】 解(1)時(shí)要注意x3＝1?(x－1)(x2＋x＋1)＝0的三個(gè)根為1，ω，ω－，
其中ω＝－12＋32i，ω－＝－12－32i， 則
1＋ω＋ω2＝0， 1＋ω－＋ω－2＝0 ，ω3＝1，ω－3＝1，ω?ω－＝1，ω2＝ω－，ω－2＝ω.
解(2)時(shí)要注意z∈R，所以須令z＝x＋yi.
【變式訓(xùn)練3】(1)復(fù)數(shù)11＋i＋i2等于(　　)
A.1＋i2 B.1－i2C.－12D.12
(2)(2010江西鷹潭)已知復(fù)數(shù)z＝23－i1＋23i＋(21－i)2 010，則復(fù)數(shù)z等于(　　)
A.0B.2C.－2iD.2i
【解析】(1)D.計(jì)算容易有11＋i＋i2＝12.
(2)A.
總結(jié)提高

本文來(lái)自：逍遙右腦記憶 http://www.portlandfoamroofing.com/gaosan/58369.html

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