數學（文） 2013.5
第一部分（ 共40分）
一、：本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，選出符合題目要求的一項.
（1）已知集合 ， ，則 =
A. B. C. D.
（2）已知 ： ， ： ，則 是 的
A.充分不必要條件 B.必要不充分條件
C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件
（3）函數 （ ）的圖象的一條對稱軸方程是
A． B. C. D．
（4）執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸出的結果是 ，則判斷框內的條件是
A. ? B. ?
C. ? D. ？
（第4題圖）
（5）若雙曲線 的漸近線與拋物線 相切，則此雙曲線的離心率等于
A． B． C． D．
（6）將一個質點隨機投放在關于 的不等式組 所構成的三角形區(qū)域內，則該質點到此三角形的三個頂點的距離均不小于 的概率是
A． B． C． D．
（7）某三棱錐的三視圖如圖所示，則該三棱錐的體積為
A． B．
（第7題圖）
（８）已知函數 ，定義函數 給出下列命題：
① ； ②函數 是奇函數；③當 時，若 ， ，總有 成立，其中所有正確命題的序號是
A． ② B．①③ C．②③ D．①②
第二部分（非選擇題 共110分）
二、題：本大題共6小題，每小題5分，共30分.把答案填在答題卡上.
（9） 為虛數單位，計算 ．
（10）已知向量 ，若 ，則 的值為 .
（11）已知等差數列 的公差為 ， 是 與 的等比中項，則首項 _,前 項和 __.
（12）若直線 與圓 相交于 , 兩點，且線段 的中點坐標是 ，則直線 的方程為 .
（13）某公司一年購買某種貨物 噸，每次都購買 噸( 為 的約數)，運費為 萬元/次，
一年的總存儲費用為 萬元.若要使一年的總運費與總存儲費用之和最小，則每次需購買 噸．
（14）數列 的前 項 組成集合 ，從集合 中任取 個數，其所有可能的 個數的乘積的和為 （若只取一個數，規(guī)定乘積為此數本身），記 ．例如當 時， ， ， ；當 時， ， ， ， .則當 時， ；試寫出 ．
三、解答題：本大題共6小題，共80分.解答應寫出文字說明，演算步驟或證明過程.
（15）（本小題滿分13分）
在 中，角 所對的邊分別為 ，且 .
（Ⅰ）求函數 的最大值；
（Ⅱ）若 ，求b的值．
（16）（本小題滿分13分）
為了解某市今年初二年級男生的身體素質狀況，從該市初二年級男生中抽取了一部分學生進行“擲實心球”的項目測試.成績低于6米為不合格，成績在6至8米（含6米不含8米）的為及格，成績在8米至12米（含8米和12米，假定該市初二學生擲實心球均不超過12米）為優(yōu)秀．把獲得的所有數據，分成 五組，畫出的頻率分布直方圖如圖所示．已知有4名學生的成績在10米到12米之間．
（Ⅰ）求實數 的值及參加“擲實心球”項目
測試的人數；
（Ⅱ）根據此次測試成績的結果，試估計從該市初二年級男生中任意選取一人，“擲實心球”成績?yōu)閮?yōu)秀的概率；
（Ⅲ）若從此次測試成績不合格的男生中隨機抽取
2名學生再進行其它項目的測試，求所抽
取的2名學生來自不同組的概率．
（17）（本小題滿分14分）
如圖，已知四邊形 是正方形， 平面 ， ， ， , , 分別為 , , 的中點.
（Ⅰ）求證： 平面 ；
（Ⅱ）求證：平面 平面 ；
（Ⅲ）在線段 上是否存在一點 ,使 平面 ？
若存在，求出線段 的長；若不存在，請說明理由.
（18） （本小題滿分13分）
已知函數 ， （ ）.
（Ⅰ）求函數 的單調區(qū)間；
（Ⅱ）求證：當 時，對于任意 ，總有 成立.
（19） （本小題滿分14分）
已知橢圓 的右焦點 ，長軸的左、右端點分別為 ,且 .
（Ⅰ）求橢圓 的方程；
（Ⅱ）過焦點 斜率為 的直線 交橢圓 于 兩點，弦 的垂直平分線與 軸相交于點 . 試問橢圓 上是否存在點 使得四邊形 為菱形？若存在，試求點 到 軸的距離；若不存在，請說明理由.
（20）（本小題滿分13分）
已知實數 （ 且 ）滿足 ，記 .
（Ⅰ）求 及 的值；
（Ⅱ）當 時，求 的最小值；
（Ⅲ）當 為奇數時，求 的最小值．
注： 表示 中任意兩個數 , （ ）的乘積之和.
北京市朝陽區(qū)高三年級第一次綜合練習
數學學科測試答案（文史類） 2013.5
一、選擇題：
題號（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）
答案DABCBCAC
二、題：
題號（9）（10）（11）（12）（13）（14）
答案
或
8；
63；
（注：兩空的填空，第一空3分，第二空2分）
三、解答題：
（15）（本小題滿分13分）
（Ⅰ） .
因為 ，所以 .
則所以當 ，即 時， 取得最大值，且最大值為 .……7分
（Ⅱ）由題意知 ，所以 ．
又知 ，所以 ，則 .
因為 ，所以 ，則 .
由 得， ． ……………………13分
（16）（本小題滿分13分）
解：（Ⅰ）由題意可知 ，解得 .
所以此次測試總人數為 ．
答：此次參加“擲實心球”的項目測試的人數為40人． ……………………4分
（Ⅱ）由圖可知，參加此次“擲實心球”的項目測試的初二男生，成績優(yōu)秀的頻率為 ，則估計從該市初二年級男生中任意選取一人，“擲實心球”成績?yōu)閮?yōu)秀的概率為 ． ……………………7分
（Ⅲ）設事件A：從此次測試成績不合格的男生中隨機抽取2名學生來自不同組．
由已知，測試成績在 有2人，記為 ；在 有6人，記為 ．
從這8人中隨機抽取2人有 ，
共28種情況．
事件A包括 共12種情況．
所以 ．
答：隨機抽取的2名學生來自不同組的概率為 ． ……………………………13分
（17）（本小題滿分14分）
（Ⅰ）證明：因為 , 分別為 ， 的中點，
所以 .
又因為 平面 ， 平面 ，
所以 平面 . ……………4分
（Ⅱ）因為 平面 ，所以 .
又因為 ， ，
所以 平面 .
由已知 , 分別為線段 , 的中點，
所以 .
則 平面 .
而 平面 ，
所以平面 平面 . …………………………………………………9分
（Ⅲ）在線段 上存在一點 ，使 平面 .證明如下：
在直角三角形 中，因為 , ,所以 .
在直角梯形 中，因為 ， ,所以 ，
所以 .又因為 為 的中點，所以 .
要使 平面 ，只需使 .
因為 平面 ，所以 ，又因為 ， ,
所以 平面 ，而 平面 ，所以 .
若 ，則 ∽ ,可得 .
由已知可求得 ， ， ，所以 .……14分
（18）（本小題滿分13分）
解：（Ⅰ）函數 的定義域為 ，
.
當 時，
當 變化時， ， 的變化情況如下表：
當 時，
???
綜上所述，
當 時， 的單調遞增區(qū)間為 ，單調遞減區(qū)間為 ， ；
當 時， 的單調遞增區(qū)間為 ， ，單調遞減區(qū)間為 .
……………………………………5分
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，當 時，
在 上單調遞增， ； 在 上單調遞減，且 .
所以 時， .
因為 ，所以 ，
令 ，得 .
①當 時，由 ，得 ；由 ，得 ，
所以函數 在 上單調遞增，在 上單調遞減.
所以 .
因為 ，
所以對于任意 ，總有 .
②當 時， 在 上恒成立，
所以函數 在 上單調遞增， .
所以對于任意 ，仍有 .
綜上所述，對于任意 ，總有 . …………………13分
（19）（本小題滿分14分）
解：（Ⅰ）依題設 ， ，則 ， .
由 ，解得 ，所以 .
所以橢圓 的方程為 . …………………………………………4分
（Ⅱ）依題直線 的方程為 .
由 得 .
設 , ,弦 的中點為 ，
則 ， ， ， ，
所以 .
直線 的方程為 ，
令 ，得 ，則 .
若四邊形 為菱形，則 ， .
所以 .
若點 在橢圓 上，則 .
整理得 ，解得 .所以橢圓 上存在點 使得四邊形 為菱形.
此時點 到 的距離為 . ………………………………………………14分
（20）（本小題滿分13分）
解：（Ⅰ）由已知得 ．
． ………………………3分
（Ⅱ） 時， ．
固定 ，僅讓 變動，那么 是 的一次函數或常函數，
因此 ．
同理 ．
以此類推，我們可以看出， 的最小值必定可以被某一組取值 的 所達到，于是 ．
當 （ ）時，
．
因為 ，
所以 ，且當 ， ，時 ，
因此 ． ……………………………………………7分
（Ⅲ）
.
固定 ，僅讓 變動，那么 是 的一次函數或常函數，
因此 ．
同理 ．
．
以此類推，我們可以看出， 的最小值必定可以被某一組取值 的 所達到，于是 ．
當 （ ）時，
．
當 為奇數時，因為 ，
所以 ，另一方面，若取 ，


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