數(shù) 學(xué) （理科）
2013.4
本試卷共4頁，150分�？荚嚂r長120分鐘�？忌鷦�(wù)必將答案答在答題卡上，在試卷上
作答無效。考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。
一、：本大題共8小題,每小題5分,共40分.在每小題列出的四個選項中,選出符合題目要求的一項.
1.集合 ，則
A. B. C. D.
2.在極坐標(biāo)系中, 曲線 圍成的圖形面積為
Ａ. B. �。�. Ｄ.
3.某程序的框圖如圖所示，執(zhí)行該程序， 若輸入的 值為5，則輸出的 值為
Ａ. B. C. D.
4.不等式組 表示面積為1的直角三角形區(qū)域，則 的值為
Ａ. B. C. D.
5. 若向量 滿足 ，則 的值為
A. B. C. D.
6. 一個盒子里有3個分別標(biāo)有號碼為1，2，3的小球，每次取出一個，記下它的標(biāo)號后再放回盒子中，共取3次，則取得小球標(biāo)號最大值是3的取法有
A.12種 B. 15種 C. 17種 D.19種
7. 拋物線 的焦點(diǎn)為 ，點(diǎn) 為該拋物線上的動點(diǎn)，又點(diǎn) ，則 的最
小值是
A. B. C. D.
8. 設(shè) 為空間中三條互相平行且兩兩間的距離分別為4，5，6的直線.給出下列三個結(jié)論：
① ，使得 是直角三角形；
② ，使得 是等邊三角形；
③三條直線上存在四點(diǎn) ，使得四面體 為在一個頂點(diǎn)處的三條棱兩兩互相垂直的四面體.
其中，所有正確結(jié)論的序號是
A. ① B.①② C. ①③ D. ②③
二、題:本大題共6小題,每小題5分,共30分.
9.在復(fù)平面上，若復(fù)數(shù) （ ）對應(yīng)的點(diǎn)恰好在實(shí)軸上，則 =_______.
10.等差數(shù)列 中, , 則
11.如圖， 與 切于點(diǎn) ，交弦 的延長線于點(diǎn) ，
過點(diǎn) 作圓 的切線交 于點(diǎn) . 若 ， ，
則弦 的長為_______.
12.在 中，若 ，則
13.已知函數(shù) 有三個不同的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù) 的取值范圍是_____.
14.已知函數(shù) ，任取 ，定義集合：
，點(diǎn) ， 滿足 .
設(shè) 分別表示集合 中元素的最大值和最小值，記 . 則
（1）函數(shù) 的最大值是_____；
（2）函數(shù) 的單調(diào)遞增區(qū)間為________.
三、解答題: 本大題共6小題,共80分.解答應(yīng)寫出文字說明, 演算步驟或證明過程.
15.（本小題滿分13分）
已知函數(shù) .
（Ⅰ）求 的值和 的最小正周期；
（Ⅱ）求函數(shù) 在區(qū)間 上的最大值和最小值.
16.（本小題滿分13分）
在某大學(xué)自主招生考試中，所有選報II類志向的考生全部參加了“數(shù)學(xué)與邏輯”和“與表達(dá)”兩個科目的考試，成績分為A,B,C,D,E五個等級. 某考場考生兩科的考試成績的數(shù)據(jù)統(tǒng)計如下圖所示，其中“數(shù)學(xué)與邏輯”科目的成績?yōu)锽的考生有10人.
（I）求該考場考生中“與表達(dá)”科目中成績?yōu)锳的人數(shù)；
（II）若等級A，B，C，D，E分別對應(yīng)5分，4分，3分，2分，1分.
（i）求該考場考生“數(shù)學(xué)與邏輯”科目的平均分；
(ii)若該考場共有10人得分大于7分，其中有2人10分，2人9分，6人8分. 從這10
人中隨機(jī)抽取兩人，求兩人成績之和的分布列和數(shù)學(xué)期望.
17.（本小題滿分14分）
在四棱錐 中， 平面 ， 是正三角形， 與 的交點(diǎn) 恰好是 中點(diǎn)，又 ， ，點(diǎn) 在線段 上，且 ．
（Ⅰ）求證： ；
（Ⅱ）求證： 平面 ;
（Ⅲ）求二面角 的余弦值．
18.（本小題滿分13分）
已知函數(shù) (其中 為常數(shù)且 )在 處取得極值.
(I) 當(dāng) 時，求 的單調(diào)區(qū)間；
(II) 若 在 上的最大值為 ，求 的值.
19.（本小題滿分14分）
已知圓 ： （ ）.若橢圓 ： （ ）的右頂點(diǎn)為圓 的圓心，離心率為 .
（I）求橢圓 的方程；
（II）若存在直線 ： ，使得直線 與橢圓 分別交于 ， 兩點(diǎn)，與圓 分別交于 ， 兩點(diǎn)，點(diǎn) 在線段 上，且 ，求圓 半徑 的取值范圍.
20.（本小題滿分13分）
設(shè) 為平面直角坐標(biāo)系上的兩點(diǎn)，其中 .令 ， ，若 ,且 ，則稱點(diǎn) 為點(diǎn) 的“相關(guān)點(diǎn)”，記作： . 已知 為平面上一個定點(diǎn)，平面上點(diǎn)列 滿足： ，且點(diǎn) 的坐標(biāo)為 ，其中 .
（Ⅰ）請問：點(diǎn) 的“相關(guān)點(diǎn)”有幾個？判斷這些“相關(guān)點(diǎn)”是否在同一個圓上，若在同一個圓上，寫出圓的方程；若不在同一個圓上，說明理由；
（Ⅱ）求證：若 與 重合， 一定為偶數(shù)；
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