2013年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試（四川卷）
數(shù) 學（理科）
一、：本大題共10小題，每小題5分，共50分．在每小題給出的四個選項中，只有一個是符合題目要求的．
1．設集合 ，集合 ，則 （ ）
（A） （B） （C） （D）
2．如圖，在復平面內，點 表示復數(shù) ，則圖中表示 的共軛復數(shù)的點是（ ）
（A） （B） （C） （D）
3．一個幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的直觀圖可以是（ ）
4．設 ，集合 是奇數(shù)集，集合 是偶數(shù)集．若命題 ，則（ ）
（A） （B）
（C） （D）
5．函數(shù) 的部分圖象如圖所示，則 的值分別是（ ）
（A） （B） （C） （D）
6．拋物線 的焦點到雙曲線 的漸近線的距離是（ ）
（A） （B） （C） （D）
7．函數(shù) 的圖象大致是（ ）
8．從 這五個數(shù)中，每次取出兩個不同的數(shù)分別為 ，共可得到 的不同值的個數(shù)是（ ）
（A） （B） （C） （D）
9．節(jié)日里某家前的樹上掛了兩串彩燈，這兩串彩燈的第一次閃亮相互獨立，若接通電后的4秒內任一時刻等可能發(fā)生，然后每串彩燈在內4秒為間隔閃亮，那么這兩串彩燈同時通電后，它們第一次閃亮的時刻相差不超過2秒的概率是（ ）
（A） （B） （C） （D）
10．設函數(shù) （ ， 為自然對數(shù)的底數(shù)）．若曲線 上存在 使得 ，則 的取值范圍是（ ）
（A） （B） （C） （D）
二、題：本大題共5小題，每小題5分，共25分．
11．二項式 的展開式中，含 的項的系數(shù)是_________．（用數(shù)字作答）
12．在平行四邊形 中，對角線 與 交于點 ， ，則 _________．
13．設 ， ，則 的值是_________．
14．已知 是定義域為 的偶函數(shù)，當 ≥ 時， ，那么，不等式 的解集是________ ．
15．設 為平面 內的 個點，在平面 內的所有點中，若點 到 點的距離之和最小，則稱點 為 點的一個“中位點”．例如，線段 上的任意點都是端點 的中位點．則有下列命題：
①若 三個點共線， 在線段上，則 是 的中位點；
②直角三角形斜邊的點是該直角三角形三個頂點的中位點；
③若四個點 共線，則它們的中位點存在且唯一；
④梯形對角線的交點是該梯形四個頂點的唯一中位點．
其中的真命題是____________．（寫出所有真命題的序號數(shù)學社區(qū)）
三、解答題：本大題共6小題，共75分．解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟．
16．(本小題滿分12分) 在等差數(shù)列 中， ，且 為 和 的等比中項，求數(shù)列 的首項、公差及前 項和．
17．(本小題滿分12分) 在 中，角 的對邊分別為 ，且 ．
（Ⅰ）求 的值；
（Ⅱ）若 ， ，求向量 在 方向上的投影．
18．(本小題滿分12分)某算法的程序框圖如圖所示，其中輸入的變量 在 這 個整數(shù)中等可能隨機產生．
（Ⅰ）分別求出按程序框圖正確編程運行時輸出 的值為 的概率 ；
（Ⅱ）甲、乙兩同學依據(jù)自己對程序框圖的理解，各自編寫程序重復運行 次后，統(tǒng)計記錄了輸出 的值為 的頻數(shù)．以下是甲、乙所作頻數(shù)統(tǒng)計表的部分數(shù)據(jù)．
運行
次數(shù)
輸出 的值
為 的頻數(shù)
輸出 的值
為 的頻數(shù)
輸出 的值
為 的頻數(shù)
甲的頻數(shù)統(tǒng)計表（部分） 乙的頻數(shù)統(tǒng)計表（部分）
運行
次數(shù)
輸出 的值
為 的頻數(shù)
輸出 的值
為 的頻數(shù)
輸出 的值
為 的頻數(shù)
當 時，根據(jù)表中的數(shù)據(jù)，分別寫出甲、乙所編程序各自輸出 的值為 的頻率（用分數(shù)表示），并判斷兩位同學中哪一位所編寫程序符合算法要求的可能性較大；
（Ⅲ）按程序框圖正確編寫的程序運行3次，求輸出 的值為2的次數(shù) 的分布列及數(shù)學期望．
19．(本小題滿分12分) 如圖，在三棱柱 中，側棱 底面 ， ， ， 分別是線段 的中點， 是線段 的中點．
（Ⅰ）在平面 內，試作出過點 與平面 平行的直線 ，說明理由，并證明直線 平面 ；
（Ⅱ）設（Ⅰ）中的直線 交 于點 ，交 于點 ，求二面角 的余弦值．
20．(本小題滿分13分) 已知橢圓 ： 的兩個焦點分別為 ，且橢圓 經過點 ．
（Ⅰ）求橢圓 的離心率；
（Ⅱ）設過點 的直線 與橢圓 交于 、 兩點，點 是線段 上的點，且 ，求點 的軌跡方程．
21．(本小題滿分14分)已知函數(shù) ，其中 是實數(shù)．設 ， 為該函數(shù)圖象上的兩點，且 ．
（Ⅰ）指出函數(shù) 的單調區(qū)間；
（Ⅱ）若函數(shù) 的圖象在點 處的切線互相垂直，且 ，求 的最小值；
（Ⅲ）若函數(shù) 的圖象在點 處的切線重合，求 的取值范圍．


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