4.三角函數(shù)的性質(zhì)
一、知識梳理：
1、三角函數(shù)的性質(zhì)
函數(shù)y=sinxy=cosxy=tanx




定義域RR

值域和最值[-1,1]
當(dāng) 時，
，
當(dāng) 時，
，
[-1,1]
當(dāng) 時，
，
當(dāng) 時，
，
R
無最值
周期2π2ππ
奇偶性 奇函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)
單調(diào)區(qū)間增區(qū)間：

減區(qū)間：

增區(qū)間：

減區(qū)間：

增區(qū)間：
每一個
減區(qū)間：無

對稱軸

無
對稱中心



2、函數(shù) 最大值是 ，最小值是 ，周期是 ，頻率是 ，相位是 ，初相是 ；
對稱軸的位置：圖象的最高點處；對稱中心的位置：函數(shù)的零點處。
而函數(shù) 對稱軸的位置：函數(shù)的零點處；對稱中心的位置：圖象的最高點處。
3、思想方法:
（1）總是用圖象得函數(shù)的各性質(zhì),
（2）選取一個恰當(dāng)?shù)闹芷谟懻撔再|(zhì)從而加上周期推廣到整個定義域。
（3）在研究函數(shù) 的各項性質(zhì)的時候總是設(shè) ，從而只需討論 的各項性質(zhì)就可得到 的各項性質(zhì)和由 的范圍得到 的范圍.
（4）合一：y=asinx+bcosx= sin（x+ ）= cos（x+ ）
這里，

二、典例討論：
1、定義域問題：三角不等式用三角函數(shù)線或圖象上求之。
例1、求下列函數(shù)的定義域：（1） ；
（2） ．
解(1)x應(yīng)滿足 ,即為 所以所求定義域為
(2)x應(yīng)滿足 ，利用單位圓中的三角函數(shù)線可得
所以所求定義域為
2、求單調(diào)區(qū)間：
例2、求下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.
(1). (2).
解:（1） 上單調(diào)遞增， 上單調(diào)遞減。
(2).原函數(shù)變形為 令 ,則只需求 的單調(diào)區(qū)間即可. ,( )上
即 ,( )上單調(diào)遞增,
在 ,上
即 ,上單調(diào)遞減
故 的遞減區(qū)間為:
遞增區(qū)間為: .
[思維點拔] 1、要注意子函數(shù)的單調(diào)性,若函數(shù)為 則變形為 即可.2、在 中我們總是通過令 先求出
3、寫成區(qū)間而不是不等式。注意取一個周期上求解。

3、求最小正周期
例3、求下列函數(shù)的最小正周期:
(1),
(2).
解：（1） ，（2）
指出求周期的一般方法：
1）化為 或 或
2）圖象法：
3）定義法：
討論練習(xí)：
求下列函數(shù)的最小正周期:
（1）
解：



所以，
（2）
解：因為 的周期 ，所以， 的周期
4、值域問題：
例4、求下列函數(shù)的值域：
（1） ；
（2） ；
（3） ．
解：由題意 ，
∴ ，
∵ ，∴ 時， ，但 ，∴ ，
∴原函數(shù)的值域為 ．

（2）∵ ，又∵ ，∴ ，∴ ，
∴函數(shù) 的值域為 ．

（3）由 得 ，∴ ，
這里 ， ．
∵ ，∴ ．解得 ，
∴原函數(shù)的值域為 ．
5、奇偶性問題：
例5：討論：（1）已知函數(shù) 為偶函數(shù)， ，其圖象與直線 的交點的橫坐標(biāo)為 ，若 的最小值為 ，則 ， .
解： ，
（2） 已知 ，函數(shù) 為奇函數(shù)，則a＝�。ā　。�
（A）0　　　�。˙）1　　　�。–）－1　　　�。―）±1
解：A 提示：由題意可知， 得a=0
6、對稱性問題：
例6、（1）下列坐標(biāo)所表示的點不是函數(shù) 的圖象的對稱中心的是　　（　�。�
（A）（ ，0） （B）（ ，0） （C）（ ，0） （D）（ ，0）
解：Ｄ提示：令 ，函數(shù)圖象的對稱中心為
(2)如果函數(shù) 的圖象關(guān)于直線 對稱，則 ．
解： -1 提示:根據(jù)
（3）將函數(shù) 的圖象F向右平移 個單位長度得到圖象F′，若F′的一條對稱軸是直線 則 的一個可能取值是
A. B. C. D.
解： 平移得到圖象 的解析式為 ,
對稱軸方程 ，
把 帶入得 ，令 ，

三、課堂小結(jié)：
四、課后作業(yè)：
1.已知函數(shù) ， ．求:
(I) 函數(shù) 的最大值及取得最大值的自變量 的集合；
(II) 函數(shù) 的單調(diào)增區(qū)間．
解(I)
當(dāng) ,即 時, 取得最大值 .
函數(shù) 的取得最大值的自變量 的集合為 .
(II)
由題意得:
即:
因此函數(shù) 的單調(diào)增區(qū)間為 .
2、求下列函數(shù)的值域：
（1） ；
（2） ；
（3） ．
解：由題意 ，
∴ ，
∵ ，∴ 時， ，但 ，∴ ，
∴原函數(shù)的值域為 ．

（2）∵ ，又∵ ，∴ ，∴ ，
∴函數(shù) 的值域為 ．

（3）由 得 ，∴ ，
這里 ， ．
∵ ，∴ ．解得 ，
∴原函數(shù)的值域為 ．
3.是否存在實數(shù)a，使得函數(shù) 在閉區(qū)間 上的最大值是1？若存在，求出對應(yīng)的a值？若不存在，試說明理由．
解：
當(dāng) 時， ，令 則 ，

綜上知，存在 符合題意．

本文來自：逍遙右腦記憶 http://www.portlandfoamroofing.com/gaosan/63944.html

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