數(shù)學(xué)（文科） 2013.4
學(xué)校_____________班級(jí)_______________姓名______________考號(hào)___________
本試卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷兩部分，第Ⅰ卷1至2頁(yè)，第Ⅱ卷3至5頁(yè)，共150分�？荚嚂r(shí)長(zhǎng)120分鐘�？忌鷦�(wù)必將答案答在答題卡上，在試卷上作答無(wú)效。考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。
第Ⅰ卷（ 共40分）
一、本大題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng)。
（1）已知全集 ，集合 ，那么集合 為
（A） （B） （C） （D）
（2） “ ”是“直線 與直線 平行”的
（A） 充分不必要條件 �。˙） 必要不充分條件
（C） 充要條件 　　　　　（D） 既不充分也不必要條件
（3）已知 為平行四邊形，若向量 ， ，則向量 為
（A） （B）
（C） （D）
（4）執(zhí)行如圖所示的程序框圖，輸出的結(jié)果是 ，
則判斷框內(nèi)應(yīng)填入的條件是
（A）
（B）
（C）
（D）
（5）已知一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示(單位：cm)， 那么這個(gè)幾何體的側(cè)面積是
（A） （B）
（C） （D）
（6）已知點(diǎn) ，拋物線 的焦點(diǎn)是 ，若拋物線上存在一點(diǎn) ，使得 最小，則 點(diǎn)的坐標(biāo)為
（A） （B） （C） （D）
（7）對(duì)于函數(shù) ，部分 與 的對(duì)應(yīng)關(guān)系如下表：
123456789
745813526
數(shù)列 滿足 ，且對(duì)任意 ，點(diǎn) 都在函數(shù) 的圖象上，則 的值為
（A）9394 （B）9380 （C）9396 （D）9400
（8）已知定義在 上的函數(shù) 的對(duì)稱軸為 ，且當(dāng) 時(shí)， .若函數(shù) 在區(qū)間 （ ）上有零點(diǎn)，則 的值為
（A） 或 （B） 或 （C） 或 （D） 或
第Ⅱ卷（共110分）
二、題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。
（9）已知 是虛數(shù)單位，那么 等于 ．
（10）如圖是甲、乙兩名同學(xué)進(jìn)入高中以來(lái) 次體育測(cè)試成績(jī)
的莖葉圖，則甲 次測(cè)試成績(jī)的平均數(shù)是 ，乙 次測(cè)試成
績(jī)的平均數(shù)與中位數(shù)之差是 ．
（11）不等式組 表示的平面區(qū)域?yàn)?，則區(qū)域 的面積為 ， 的最大值為 ．
（12）從1，3，5，7這四個(gè)數(shù)中隨機(jī)地取兩個(gè)數(shù)組成一個(gè)兩位數(shù)，則組成的兩位數(shù)是5的倍數(shù)的概率為 ．
（13）函數(shù) 的圖象為 ，有如下結(jié)論：①圖象 關(guān)于直線 對(duì)稱；②圖象 關(guān)于點(diǎn) 對(duì)稱；③函數(shù) 在區(qū)間 內(nèi)是增函數(shù)，其中正確的結(jié)論序號(hào)是 ．(寫(xiě)出所有正確結(jié)論的序號(hào))
（14）數(shù)列{an}的各項(xiàng)排成如圖所示的三角形形狀，其中每一行比上一
行增加兩項(xiàng)，若 ， 則位于第10行的第8列的項(xiàng)
等于 ， 在圖中位于 ．（填第幾行的第幾列）
三、解答題：本大題共6小題，共80分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，演算步驟或證明過(guò)程。
（15）（本小題共13分）
在△ 中，三個(gè)內(nèi)角 ， ， 的對(duì)邊分別為 ， ， ，且 ．
（Ⅰ）求角 ；
（Ⅱ）若 ，求 的最大值．
（16）（本小題共14分）
如圖，已知 平面 ， 平面 ， 為 的中點(diǎn)，若
．
（Ⅰ）求證： 平面 ；
（Ⅱ）求證：平面 平面 ．
（17）（本小題共13分）
為了解高三學(xué)生綜合素質(zhì)測(cè)評(píng)情況，對(duì)2000名高三學(xué)生的測(cè)評(píng)結(jié)果進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)，其中優(yōu)秀、良好、合格三個(gè)等級(jí)的男、女學(xué)生人數(shù)如下表：
優(yōu)秀良好合格
男生人數(shù)
380373
女生人數(shù)
370377
（Ⅰ）若按優(yōu)秀、良好、合格三個(gè)等級(jí)分層，在這2000份綜合素質(zhì)測(cè)評(píng)結(jié)果中隨機(jī)抽取80份進(jìn)行比較分析，應(yīng)抽取綜合素質(zhì)測(cè)評(píng)結(jié)果是優(yōu)秀等級(jí)的多少份？
（Ⅱ）若 ， ，求優(yōu)秀等級(jí)的學(xué)生中男生人數(shù)比女生人數(shù)多的概率．
（18）（本小題共14分）
已知函數(shù) ．
（Ⅰ）當(dāng) 時(shí)，求曲線 在點(diǎn) 處的切線方程；
（Ⅱ）討論 的單調(diào)性；
（III）若 存在最大值 ，且 ，求 的取值范圍．
（19）（本小題共13分）
已知橢圓 ： 的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為 ， ，離心率為 ，且過(guò)點(diǎn) .
（Ⅰ）求橢圓 的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ） ， ， ， 是橢圓 上的四個(gè)不同的點(diǎn)，兩條都不和 軸垂直的直線 和 分別過(guò)點(diǎn) ， ，且這兩條直線互相垂直，求證： 為定值.
（20）（本小題共13分）
設(shè) 是由 個(gè)有序?qū)崝?shù)構(gòu)成的一個(gè)數(shù)組，記作： .其中 稱為數(shù)組 的“元”， 稱為 的下標(biāo). 如果數(shù)組 中的每個(gè)“元”都是來(lái)自 數(shù)組 中不同下標(biāo)的“元”，則稱 為 的子數(shù)組. 定義兩個(gè)數(shù)組 ， 的關(guān)系數(shù)為 .
（Ⅰ）若 ， ，設(shè) 是 的含有兩個(gè)“元”的子數(shù)組，求 的最大值；
（Ⅱ）若 ， ，且 ， 為 的含有三個(gè)“元”的子數(shù)組，求 的最大值.
北京市東城區(qū)2014-2013學(xué)年度第二學(xué)期高三綜合練習(xí)（一）
數(shù)學(xué)參考答案（文科）
一、（本大題共8小題，每小題5分，共40分）
（1）B （2）C （3）C （4）A
（5）C （6）D （7）A （8）A
二、題（本大題共6小題，每小題5分，共30分）
（9） （10） （11） ，
（12） （13）①②③ （14） 第 行的第 列
注：兩個(gè)空的填空題第一個(gè)空填對(duì)得3分，第二個(gè)空填對(duì)得2分．
三、解答題（本大題共6小題，共80分）
（15）（共13分）
解：（Ⅰ）因?yàn)?，
由正弦定理可得 ，
因?yàn)樵凇?中， ，
所以 .
又 ，
所以 .
（Ⅱ）由余弦定理 ，
因?yàn)?， ，
所以 .
因?yàn)?，
所以 .
當(dāng)且僅當(dāng) 時(shí)， 取得最大值 .
（16）（共14分）
證明：（Ⅰ）取 的中點(diǎn) ，連結(jié) ， .
因?yàn)?是 的中點(diǎn)，
則 為△ 的中位線．
所以 ， ．
因?yàn)?平面 ， 平面 ，
所以 ．
又因?yàn)?，
所以 ．
所以四邊形 為平行四邊形．
所以 ．
因?yàn)?平面 ， 平面 ，
所以 平面 ．
（Ⅱ）因?yàn)?， 為 的中點(diǎn)，
所以 ．
因?yàn)?， 平面 ，
所以 平面 ．
又 平面 ，
所以 ．
因?yàn)?，
所以 平面 ．
因?yàn)?，
所以 平面 ．
又 平面 ，
所以平面 平面 ．
（17）（共13分）
解：（Ⅰ）由表可知，優(yōu)秀等級(jí)的學(xué)生人數(shù)為：
．
因?yàn)?，
故在優(yōu)秀等級(jí)的學(xué)生中應(yīng)抽取 份．
（Ⅱ）設(shè)“優(yōu)秀等級(jí)的學(xué)生中男生人數(shù)比女生人數(shù)多”為事件 ．
因?yàn)?， ， ，且 ， 為正整數(shù)，
所以數(shù)組 的可能取值為：
， ， ，…， ，共 個(gè)．
其中滿足 的數(shù)組 的所有可能取值為：
， ， ， ， 共5個(gè)，即事件 包含的基本事件數(shù)為 ．
所以 ．
故優(yōu)秀等級(jí)的學(xué)生中男生人數(shù)比女生人數(shù)多的概率為 ．
（18）（共14分）
解：（Ⅰ）當(dāng) 時(shí)， ．
．
所以 ．
又 ，
所以曲線 在點(diǎn) 處的切線方程是 ，
即 ．
（Ⅱ）函數(shù) 的定義域?yàn)?，
．
當(dāng) 時(shí)，由 知 恒成立，
此時(shí) 在區(qū)間 上單調(diào)遞減．
當(dāng) 時(shí)，由 知 恒成立，
此時(shí) 在區(qū)間 上單調(diào)遞增．
當(dāng) 時(shí)，由 ，得 ，由 ，得 ，
此時(shí) 在區(qū)間 內(nèi)單調(diào)遞增，在區(qū)間 內(nèi)單調(diào)遞減．
（III）由（Ⅱ）知函數(shù) 的定義域?yàn)?，
當(dāng) 或 時(shí)， 在區(qū)間 上單調(diào)，此時(shí)函數(shù) 無(wú)最大值．
當(dāng) 時(shí)， 在區(qū)間 內(nèi)單調(diào)遞增，在區(qū)間 內(nèi)單調(diào)遞減，
所以當(dāng) 時(shí)函數(shù) 有最大值．
最大值 ．
因?yàn)?，所以有 ，解之得 ．
所以 的取值范圍是 ．
（19）（共13分）
（Ⅰ）解：由已知 ，
所以 .
所以 .
所以 ： ，即 .
因?yàn)闄E圓 過(guò)點(diǎn) ，
得 ， .
所以橢圓 的方程為 .
（Ⅱ）證明：由（Ⅰ）知橢圓 的焦點(diǎn)坐標(biāo)為 ， .
根據(jù)題意， 可設(shè)直線 的方程為 ，
由于直線 與直線 互相垂直，則直線 的方程為 .
設(shè) ， .
由方程組 消 得
.
則 .
所以 = .
同理可得 .
所以 .
（20）（共13分）
解：（Ⅰ）依據(jù)題意，當(dāng) 時(shí)， 取得最大值為2．
（Ⅱ）①當(dāng) 是 中的“元”時(shí)，由于 的三個(gè)“元”都相等，及 中 三個(gè)“元”的對(duì)稱性，可以只計(jì)算 的最大值，其中 ．
由 ，
得 ．
當(dāng)且僅當(dāng) ，且 時(shí)， 達(dá)到最大值 ，
于是 ．
②當(dāng) 不是 中的“元”時(shí)，計(jì)算 的最大值，
由于 ，
所以 ．
，
當(dāng)且僅當(dāng) 時(shí)，等號(hào)成立．


本文來(lái)自：逍遙右腦記憶 http://www.portlandfoamroofing.com/gaosan/64521.html

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