數(shù)學（文科） 2013.4
學校_____________班級_______________姓名______________考號___________
本試卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷兩部分，第Ⅰ卷1至2頁，第Ⅱ卷3至5頁，共150分�？荚嚂r長120分鐘�？忌鷦毡貙⒋鸢复鹪诖痤}卡上，在試卷上作答無效�？荚嚱Y束后，將本試卷和答題卡一并交回。
第Ⅰ卷（ 共40分）
一、本大題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項。
（1）已知全集 ，集合 ，那么集合 為
（A） （B） （C） （D）
（2） “ ”是“直線 與直線 平行”的
（A） 充分不必要條件 　（B） 必要不充分條件
（C） 充要條件 　　　　�。―） 既不充分也不必要條件
（3）已知 為平行四邊形，若向量 ， ，則向量 為
（A） （B）
（C） （D）
（4）執(zhí)行如圖所示的程序框圖，輸出的結果是 ，
則判斷框內應填入的條件是
（A）
（B）
（C）
（D）
（5）已知一個幾何體的三視圖如圖所示(單位：cm)， 那么這個幾何體的側面積是
（A） （B）
（C） （D）
（6）已知點 ，拋物線 的焦點是 ，若拋物線上存在一點 ，使得 最小，則 點的坐標為
（A） （B） （C） （D）
（7）對于函數(shù) ，部分 與 的對應關系如下表：
123456789
745813526
數(shù)列 滿足 ，且對任意 ，點 都在函數(shù) 的圖象上，則 的值為
（A）9394 （B）9380 （C）9396 （D）9400
（8）已知定義在 上的函數(shù) 的對稱軸為 ，且當 時， .若函數(shù) 在區(qū)間 （ ）上有零點，則 的值為
（A） 或 （B） 或 （C） 或 （D） 或
第Ⅱ卷（共110分）
二、題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。
（9）已知 是虛數(shù)單位，那么 等于 ．
（10）如圖是甲、乙兩名同學進入高中以來 次體育測試成績
的莖葉圖，則甲 次測試成績的平均數(shù)是 ，乙 次測試成
績的平均數(shù)與中位數(shù)之差是 ．
（11）不等式組 表示的平面區(qū)域為 ，則區(qū)域 的面積為 ， 的最大值為 ．
（12）從1，3，5，7這四個數(shù)中隨機地取兩個數(shù)組成一個兩位數(shù)，則組成的兩位數(shù)是5的倍數(shù)的概率為 ．
（13）函數(shù) 的圖象為 ，有如下結論：①圖象 關于直線 對稱；②圖象 關于點 對稱；③函數(shù) 在區(qū)間 內是增函數(shù)，其中正確的結論序號是 ．(寫出所有正確結論的序號)
（14）數(shù)列{an}的各項排成如圖所示的三角形形狀，其中每一行比上一
行增加兩項，若 ， 則位于第10行的第8列的項
等于 ， 在圖中位于 ．（填第幾行的第幾列）
三、解答題：本大題共6小題，共80分。解答應寫出文字說明，演算步驟或證明過程。
（15）（本小題共13分）
在△ 中，三個內角 ， ， 的對邊分別為 ， ， ，且 ．
（Ⅰ）求角 ；
（Ⅱ）若 ，求 的最大值．
（16）（本小題共14分）
如圖，已知 平面 ， 平面 ， 為 的中點，若
．
（Ⅰ）求證： 平面 ；
（Ⅱ）求證：平面 平面 ．
（17）（本小題共13分）
為了解高三學生綜合素質測評情況，對2000名高三學生的測評結果進行了統(tǒng)計，其中優(yōu)秀、良好、合格三個等級的男、女學生人數(shù)如下表：
優(yōu)秀良好合格
男生人數(shù)
380373
女生人數(shù)
370377
（Ⅰ）若按優(yōu)秀、良好、合格三個等級分層，在這2000份綜合素質測評結果中隨機抽取80份進行比較分析，應抽取綜合素質測評結果是優(yōu)秀等級的多少份？
（Ⅱ）若 ， ，求優(yōu)秀等級的學生中男生人數(shù)比女生人數(shù)多的概率．
（18）（本小題共14分）
已知函數(shù) ．
（Ⅰ）當 時，求曲線 在點 處的切線方程；
（Ⅱ）討論 的單調性；
（III）若 存在最大值 ，且 ，求 的取值范圍．
（19）（本小題共13分）
已知橢圓 ： 的兩個焦點分別為 ， ，離心率為 ，且過點 .
（Ⅰ）求橢圓 的標準方程；
（Ⅱ） ， ， ， 是橢圓 上的四個不同的點，兩條都不和 軸垂直的直線 和 分別過點 ， ，且這兩條直線互相垂直，求證： 為定值.
（20）（本小題共13分）
設 是由 個有序實數(shù)構成的一個數(shù)組，記作： .其中 稱為數(shù)組 的“元”， 稱為 的下標. 如果數(shù)組 中的每個“元”都是來自 數(shù)組 中不同下標的“元”，則稱 為 的子數(shù)組. 定義兩個數(shù)組 ， 的關系數(shù)為 .
（Ⅰ）若 ， ，設 是 的含有兩個“元”的子數(shù)組，求 的最大值；
（Ⅱ）若 ， ，且 ， 為 的含有三個“元”的子數(shù)組，求 的最大值.
北京市東城區(qū)2014-2013學年度第二學期高三綜合練習（一）
數(shù)學參考答案（文科）
一、（本大題共8小題，每小題5分，共40分）
（1）B （2）C （3）C （4）A
（5）C （6）D （7）A （8）A
二、題（本大題共6小題，每小題5分，共30分）
（9） （10） （11） ，
（12） （13）①②③ （14） 第 行的第 列
注：兩個空的填空題第一個空填對得3分，第二個空填對得2分．
三、解答題（本大題共6小題，共80分）
（15）（共13分）
解：（Ⅰ）因為 ，
由正弦定理可得 ，
因為在△ 中， ，
所以 .
又 ，
所以 .
（Ⅱ）由余弦定理 ，
因為 ， ，
所以 .
因為 ，
所以 .
當且僅當 時， 取得最大值 .
（16）（共14分）
證明：（Ⅰ）取 的中點 ，連結 ， .
因為 是 的中點，
則 為△ 的中位線．
所以 ， ．
因為 平面 ， 平面 ，
所以 ．
又因為 ，
所以 ．
所以四邊形 為平行四邊形．
所以 ．
因為 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ．
（Ⅱ）因為 ， 為 的中點，
所以 ．
因為 ， 平面 ，
所以 平面 ．
又 平面 ，
所以 ．
因為 ，
所以 平面 ．
因為 ，
所以 平面 ．
又 平面 ，
所以平面 平面 ．
（17）（共13分）
解：（Ⅰ）由表可知，優(yōu)秀等級的學生人數(shù)為：
．
因為 ，
故在優(yōu)秀等級的學生中應抽取 份．
（Ⅱ）設“優(yōu)秀等級的學生中男生人數(shù)比女生人數(shù)多”為事件 ．
因為 ， ， ，且 ， 為正整數(shù)，
所以數(shù)組 的可能取值為：
， ， ，…， ，共 個．
其中滿足 的數(shù)組 的所有可能取值為：
， ， ， ， 共5個，即事件 包含的基本事件數(shù)為 ．
所以 ．
故優(yōu)秀等級的學生中男生人數(shù)比女生人數(shù)多的概率為 ．
（18）（共14分）
解：（Ⅰ）當 時， ．
．
所以 ．
又 ，
所以曲線 在點 處的切線方程是 ，
即 ．
（Ⅱ）函數(shù) 的定義域為 ，
．
當 時，由 知 恒成立，
此時 在區(qū)間 上單調遞減．
當 時，由 知 恒成立，
此時 在區(qū)間 上單調遞增．
當 時，由 ，得 ，由 ，得 ，
此時 在區(qū)間 內單調遞增，在區(qū)間 內單調遞減．
（III）由（Ⅱ）知函數(shù) 的定義域為 ，
當 或 時， 在區(qū)間 上單調，此時函數(shù) 無最大值．
當 時， 在區(qū)間 內單調遞增，在區(qū)間 內單調遞減，
所以當 時函數(shù) 有最大值．
最大值 ．
因為 ，所以有 ，解之得 ．
所以 的取值范圍是 ．
（19）（共13分）
（Ⅰ）解：由已知 ，
所以 .
所以 .
所以 ： ，即 .
因為橢圓 過點 ，
得 ， .
所以橢圓 的方程為 .
（Ⅱ）證明：由（Ⅰ）知橢圓 的焦點坐標為 ， .
根據(jù)題意， 可設直線 的方程為 ，
由于直線 與直線 互相垂直，則直線 的方程為 .
設 ， .
由方程組 消 得
.
則 .
所以 = .
同理可得 .
所以 .
（20）（共13分）
解：（Ⅰ）依據(jù)題意，當 時， 取得最大值為2．
（Ⅱ）①當 是 中的“元”時，由于 的三個“元”都相等，及 中 三個“元”的對稱性，可以只計算 的最大值，其中 ．
由 ，
得 ．
當且僅當 ，且 時， 達到最大值 ，
于是 ．
②當 不是 中的“元”時，計算 的最大值，
由于 ，
所以 ．
，
當且僅當 時，等號成立．


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