秘密★啟用前
2013年湖北荊州、黃岡、襄陽、十堰、宜昌、孝感、恩施七市（州）
高三聯(lián)合考試
數(shù)學（理工類）
本科目考試時間：2013年4月18日下午15：00-17：00
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一、：本大題共10小題，每小題5分，共50分．在每小題列出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．
1．設復數(shù) ，其中a為實數(shù)，若z的實部為2，則z的虛部為
A．-i B．i C．-1 D．1
2．已知向量a=(2，1)，b=(x，-2)，若a∥b，則a+b=
A．(-2，-1) B．(2，1) C．(3，-1) D．(-3，1)
3．下列說法中不正確的個數(shù)是
①命題“ x∈R， ≤0”的否定是“ ∈R， >0”；
②若“p q”為假命題，則p、q均為假命題；
③“三個數(shù)a，b，c成等比數(shù)列”是“b= ”的既不充分也不必要條件
A．O B．1 C．2 D．3
4．函數(shù)f(x)=2x-sinx的零點個數(shù)為
A．1 B．2 C．3 D．4
5．一個幾何體的三視圖如下左圖所示，則此幾何體的體積是
A.112 B．80 C．72 D．64
6．已知全集U=Z，Z為整數(shù)集，如上右圖程序框圖所示，集合A={x框圖中輸出的x值}，B={y框圖中輸出的y值}；當x=-1時，(CuA) B=
A．{-3，-1，5} B．{-3，-1，5，7} C．{-3，-1，7} D．{-3，-1，7，9}
7．我國第一艘航母“遼寧艦”在某次艦載機起降飛行訓練中，有5架艦載機準備著艦．如果甲、乙兩機必須相鄰著艦，而丙、丁不能相鄰著艦，那么不同的著艦方法有
A．12種 B．18種 C．24種 D．48種
8．如右圖，矩形OABC內(nèi)的陰影部分由曲線f(x)=sinx(x∈(0， ))及直線x=a(a∈(0， ))與x軸圍成，向矩形OABC內(nèi)隨機投擲一點，若落在陰影部分的概率為 ，則a的值為
A． B． C． D．
9．如右圖，一單位正方體形積木，平放于桌面上，并且在其上方放置若干個小正方體形積木擺成塔形，其中上面正方體中下底面的四個頂點是下面相鄰正方體中上底面各邊的中點，如果所有正方體暴露在外面部分的面積之和超過8．8，則正方體的個數(shù)至少是
A．6 8．7 C．8 D． 10
10．已知直線l：y=ax+1-a(a∈R)．若存在實數(shù)a使得一條曲線與直線l有兩個不同的交點，且以這兩個交點為端點的線段長度恰好等于a，則稱此曲線為直線l的“絕對曲線”．下面給出四條曲線方程：①y=-2 x-1；②y= ；③(x-1)2+(y-1)2=1；④x2+3y2=4；則其中直線l的“絕對曲線”有
A．①④ B．②③ C．②④ D．②③④
二、題：本大題共6小題，考生共需作答5小題，每小題5分，共25分．請將答案填在答題卡對應題號的位置上．答錯位置，書寫不清．模棱兩可均不得分．
(一)必考題：(11-14題)
11．若tan = ， ∈(0， )，則sin(2 + )= ．
12．點P(x，y)在不等式組 表示的平面區(qū)域內(nèi)，若點P(x，y)到直線y=kx-1(k>0)的最大距離為2 ，則k= ．
13．已知拋物線y2=4x的焦點為F，過點P(2，0)的直線交拋物線于A(x1，y1)和B(x2，y2)兩點．則：(I) y1 y2= ；(Ⅱ)三角形ABF面積的最小值是 ．
14．挪威數(shù)學家阿貝爾，曾經(jīng)根據(jù)階梯形圖形的兩種不同分割(如下圖)，利用它們的面積關系發(fā)現(xiàn)了一個重要的恒等式一阿貝爾公式：
a1b1+a2b2+a3b3+…+anbn=a1(b1-b2)+L2(b2-b3)+L3(b3-b4)+…+Ln-1(bn-1-bn)+Lnbn
則其中：(I)L3= ；(Ⅱ)Ln= ．
(二)選考題：請考生在第15、16兩題中任選一題作答．如果全選，則按第15題作答結果計分.
15．(幾何證明選講)如右圖，AB是⊙O的直徑，P是AB延長線上的一點，過P作⊙O的切線，切點為C，PC=2 ，若∠CAP=30°，則⊙O的直徑AB= ．
16．(坐標系與參數(shù)方程)在直角坐標平面內(nèi)，以坐標原點0為極點，x軸的非負半軸為極軸建立極坐標系，已知點M的極坐標為(4 ， )，曲線C的參數(shù)方程為 ( 為參數(shù))，則點M到曲線C上的點的距離的最小值為 ．
三、解答題：本大題共6小題，共75分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
17．(本小題滿分12分)已知向量 =( sin2x+2，cosx)， =(1，2cosx)，設函數(shù)
f(x)= ? ．
(I)求f(x)的最小正周期與單調(diào)遞增區(qū)間；
(Ⅱ)在△ABC中，a，b，c分別是角A，B，C的對邊，若a= ，f(A)=4，求b+c的最大值．
18．(本小題滿分12分)數(shù)列{an}是公比為 的等比數(shù)列，且1-a2是a1與1+a3的等比中項，前n項和為Sn；數(shù)列{bn}是等差數(shù)列，b1=8，其前n項和Tn滿足Tn=n ?bn+1( 為常數(shù)，且 ≠1)．
(I)求數(shù)列{an}的通項公式及 的值；
(Ⅱ)比較 + + +…+ 與了 Sn的大�。�
19．(本小題滿分12分)如圖，矩形A1A2A′2A′1，滿足B、C在A1A2上，B1、C1在A′1A′2上，且BB1∥CC1∥A1A′1，A1B=CA2=2，BC=2 ，A1A′1= ，沿BB1、CC1將矩形A1A2A′2A′1折起成為一個直三棱柱，使A1與A2、A′1與A′2重合后分別記為D、D1，在直三棱柱DBC-D1B1C1中，點M、N分別為D1B和B1C1的中點．
(I)證明：MN∥平面DD1C1C；
(Ⅱ)若二面角D1-MN-C為直二面角，求 的值．
20．(本小題滿分12分)2013年2月20日，針對房價過高，國務院常務會議確定五條措施(簡稱“國五條”)．為此，記者對某城市的工薪階層關于“國五條”態(tài)度進行了調(diào)查，隨機抽取了60人，作出了他們的月收入的頻率分布直方圖(如圖)，同時得到了他們的月收入情況與“國五條”贊成人數(shù)統(tǒng)計表(如下表)：
月收入(百元)贊成人數(shù)
[15,25)8
[25,35)7
[35,45)10
[45,55)6
[55,65)2
[65,75)1
(I)試根據(jù)頻率分布直方圖估計這60人的平均月收入；
(Ⅱ)若從月收入(單位：百元)在[15，25)，[25，35)的被調(diào)查者中各隨機選取3人進行追蹤調(diào)查，記選中的6人中不贊成“國五條”的人數(shù)為X，求隨機變量X的分布列及數(shù)學期望．
21．(本小題滿分13分)在矩形ABCD中，AB=2 ，AD=2，E、F、G、H分別為矩形四條邊的中點，以HF、GE所在直線分別為x，y軸建立直角坐標系(如圖所示)．若R、R′分別在線段0F、CF上，且 = = .
(Ⅰ)求證：直線ER與GR′的交點P在橢圓 ： + =1上；
(Ⅱ)若M、N為橢圓 上的兩點，且直線GM與直線GN的斜率之積為 ，求證：直線MN過定點；并求△GMN面積的最大值．
22．(本小題滿分14分)已知函數(shù)f(x)=lnx，g(x)=k? .
(I)求函數(shù)F(x)= f(x)- g(x)的單調(diào)區(qū)間；
(Ⅱ)當x>1時，函數(shù)f(x)> g(x)恒成立，求實數(shù)k的取值范圍；
(Ⅲ)設正實數(shù)a1，a2，a3，…，an滿足a1+a2+a3+…+an=1，
求證：ln(1+ )+ln(1+ )+…+ln(1+ )> ．
2013年七市聯(lián)考數(shù)學試題(理工類)（B卷）
參考答案
一、： CABAB DCBAD
二、題：11. 12. 13.（Ⅰ） （Ⅱ）
14.（Ⅰ） （Ⅱ） 15. 16.
（注：填空題中有兩個空的，第一個空2分，第二個空3分）
三、解答題
17.解：（Ⅰ）
……………3分
∴ 的最小正周期 ……………4分
由 得
∴ 的單調(diào)遞增區(qū)間為 ……………6分
（Ⅱ）由 得 ，
∵ ∴ ∴ , ……………8分
法一：又 ，
∴當 時， 最大為 ……………12分
法二： 即
；當且僅當 時等號成立。 ……………12分
18.解：（Ⅰ）由題意 ，即
解得 ，∴ ……………2分
又 ，即 ……………4分
解得 或 （舍）∴ ……………6分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知
∴ ① ……………8分
又 ，
∴ ②…11分
由①②可知 ……………12分
19.解：（Ⅰ）證：連結DB1 、DC1 ∵四邊形DBB1D1為矩形，M為D1B的中點 ……2分
∴M是DB1與D1B的交點，且M為DB1的中點
∴MN∥DC1，∴MN∥平面DD1C1C ……………4分
（Ⅱ）解：四邊形 為矩形，B.C在A1A2上，B1.C1在 上，
且BB1∥CC1∥ ，A1B = CA2 = 2， ，
∴∠BDC = 90° ……………6分
以DB、DC、DD1所在直線分別為x.y.z軸建立直角坐標系，則
D(0，0，0)，B(2，0，0)，C(0，2，0)，D1(0，0， )，B1(2，0， )，C1(0，2， )
點M、N分別為D1B和B1C1的中點，∴
設平面D1MN的法向量為m = (x，y，z)，則
，
令x = 1得：
即 ……………8分
設平面MNC的法向量為n = (x，y，z)，則
，令z = 1得：
即 ……………10分
∵二面角D1－MN－C為直二面角 ∴m⊥n，故 ，解得：
∴二面角D1－MN－C為直二面角時， ． ……………12分
20.解：（Ⅰ）這 人的月平均收入為
（百元） ……………4分
（Ⅱ）根據(jù)頻率分布直方圖可知
的人數(shù)為 人
的人數(shù)為 人 ……………6分
的所有取值可能為
…… ……10分
∴ 的分布列為
∴ ……………12分
21.解：（Ⅰ）∵ ，∴ ， ……………1分
又 則直線 的方程為 ① ……………2分
又 則直線 的方程為 ②
由①②得
∵
∴直線 與 的交點 在橢圓 上 ……………4分
（Ⅱ）①當直線 的斜率不存在時，設
不妨取 ∴ ,不合題意……………5分
②當直線 的斜率存在時，設
聯(lián)立方程 得
則
…………7分
又
即
將 代入上式得
解得 或 （舍）
∴直線過定點 ……………10分
∴ ，點 到直線 的距離為
∴
由 及 知： ，令 即
∴ 當且僅當 時， ……13分
22、解：（Ⅰ） --- 1分
由 的判別式
①當 即 時， 恒成立，則 在 單調(diào)遞增 ……2分
②當 時， 在 恒成立，則 在 單調(diào)遞增 ……3分
③當 時，方程 的兩正根為
則 在 單調(diào)遞增， 單調(diào)遞減， 單調(diào)遞增
綜上，當 時，只有單調(diào)遞增區(qū)間
當 時，單調(diào)遞增區(qū)間為 ，
單調(diào)遞減區(qū)間為 …… 5分
（Ⅱ）即 時， 恒成立
當 時， 在 單調(diào)遞增 ∴當 時， 滿足條件 …7分
當 時， 在 單調(diào)遞減
則 在 單調(diào)遞減
此時 不滿足條件
故實數(shù) 的取值范圍為 …… 9分
（Ⅲ）由（2）知， 在 恒成立
令 則 …… 10分
∴ …… 11分
又
∴ ……13分
∴ …… 14分


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