長(zhǎng)安一中、高新一中、交大附中、師大附中、西安中學(xué)
高2013屆第三次模擬考試
數(shù)學(xué)（理）試題
命題學(xué)校：師大附中 審題學(xué)校：西安中學(xué)
第Ⅰ卷 （ 共50分）
一、(本大題共10題,每小題5分,共50分)
1.若集合 , ,則 【 】.
A. B. C. D.
2.若復(fù)數(shù) 滿足: ,則復(fù)數(shù) 的共軛復(fù)數(shù) 【 】.
A. B. C. D.
3.若三棱錐的三視圖如右圖所示,則該三棱錐的體積為【 】.
4.若 的三個(gè)內(nèi)角滿足 ,則 【 】.
A.一定是銳角三角形 B.一定是直角三角形
C.一定是鈍角三角形 D.可能是銳角三角形,也可能是鈍角三角形
5.函數(shù) 是【 】.
A.最小正周期為 的奇函數(shù) B.最小正周期為 的奇函數(shù)
C.最小正周期為 的偶函數(shù) D.最小正周期為 的偶函數(shù)
6.按右面的程序框圖運(yùn)行后,輸出的 應(yīng)為【 】.
A. B.
C. D.
7.若數(shù)列 滿足 ,且 ,則使 的 值為【 】.
A. B. C. D.
8.“ ”是“直線 : 與 : 平行”的【 】.
A.充分不必要條件 B.必要不充分條件
C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件
9.設(shè) , 分別為雙曲線 的左,右焦點(diǎn).若在雙曲線右支上存在一點(diǎn) ,滿足 ,且 到直線 的距離等于雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng),則該雙曲線的離心率為【 】.
A. B. C. D.
10.一個(gè)賽跑機(jī)器人有如下特性：
(1)步長(zhǎng)可以人為地設(shè)置成 米, 米, 米,…, 米或 米；
(2)發(fā)令后,機(jī)器人第一步立刻邁出設(shè)置的步長(zhǎng),且每一步的行走過程都在瞬時(shí)完成；
(3)當(dāng)設(shè)置的步長(zhǎng)為 米時(shí),機(jī)器人每相鄰兩個(gè)邁步動(dòng)作恰需間隔 秒．
則這個(gè)機(jī)器人跑 米(允許超出 米)所需的最少時(shí)間是【 】.
A. 秒 B. 秒
C. 秒 D. 秒
第Ⅱ卷 （共100分）
二、題(本大題共5小題,每小題5分,共25分)
11.在 的展開式中,常數(shù)項(xiàng)為 .
12.若向量 , ,則 的最大值為 .
13.若實(shí)數(shù) 滿足 ,且 ,則 的取值范圍是________.
14.若曲線 在點(diǎn) 處的切線與兩坐標(biāo)軸圍成三角形的面積為 ,則 ________.
15.請(qǐng)考生從以下三個(gè)小題中任選一個(gè)作答,若多選,則按所選的第一題計(jì)分.
A.(不等式選講)若實(shí)數(shù) 滿足 ,則 的最大值為_________.
B.(幾何證明選講)以 的直角邊 為直徑的圓 交 邊于點(diǎn) ,點(diǎn) 在 上,且 與圓 相切.若 ,則 _________.
C.(坐標(biāo)系與參數(shù)方程)在極坐標(biāo)系中,曲線 與直線 的兩個(gè)交點(diǎn)之間的距離為_________.
三、解答題(本大題共6小題,共75分)
16.(本題12分)某同學(xué)在一次研究性學(xué)習(xí)中發(fā)現(xiàn),以下五個(gè)式子的值都等于同一個(gè)常數(shù) .
① ；
② ；
③ ；
④ ；
⑤ .
(1)從上述五個(gè)式子中選擇一個(gè),求出常數(shù) ；
(2)根據(jù)(1)的計(jì)算結(jié)果,將該同學(xué)的發(fā)現(xiàn)推廣為一個(gè)三角恒等式,并證明你的結(jié)論.
17.(本題12分)如圖,在長(zhǎng)方體 中, 點(diǎn) 在棱 上.
(1)求異面直線 與 所成的角；
(2)若二面角 的大小為 ,求點(diǎn) 到面 的距離.
18.(本題12分) 某校設(shè)計(jì)了一個(gè)實(shí)驗(yàn)考查方案:考生從 道備選題中一次性隨機(jī)抽取 道題,按照題目要求獨(dú)立完成全部實(shí)驗(yàn)操作.規(guī)定:至少正確完成其中 道題的便可通過.已知 道備選題中考生甲有 道題能正確完成, 道題不能完成；考生乙每題正確完成的概率都是 ,且每題正確完成與否互不影響.
(1)求甲、乙兩考生正確完成題數(shù)的概率分布列,并計(jì)算其數(shù)學(xué)期望；
(2)請(qǐng)分析比較甲、乙兩考生的實(shí)驗(yàn)操作能力.
19.(本題12分)在數(shù)列 中, ,且對(duì)任意的 都有 .
(1)求證: 是等比數(shù)列；
(2)若對(duì)任意的 都有 ,求實(shí)數(shù) 的取值范圍.
20.(本題13分) 已知橢圓 : 的離心率為 ,過右焦點(diǎn) 且斜率為 的直線交橢圓 于 兩點(diǎn), 為弦 的中點(diǎn), 為坐標(biāo)原點(diǎn).
(1)求直線 的斜率 ；
(2)求證:對(duì)于橢圓 上的任意一點(diǎn) ,都存在 ,使得 成立.
21.(本題14分)設(shè)函數(shù) 有兩個(gè)極值點(diǎn) ,且 .
(1)求實(shí)數(shù) 的取值范圍；
(2)討論函數(shù) 的單調(diào)性；
(3)若對(duì)任意的 ,都有 成立,求實(shí)數(shù) 的取值范圍.
高2013屆第三次五校聯(lián)考數(shù)學(xué)(理)參考答案
一、選擇題(本大題共10題,每小題5分,共50分)
題號(hào)12345678910
答案ABDCCCDABA
二、題(本大題共5小題,每小題5分,共25分)
11. 12. 13. 14. 15. A. B. C.
三、解答題(本大題共6小題,共75分)
16.(本題12分)
解:(1)選擇②式計(jì)算: .…4分
(2)猜想的三角恒等式為: .………6分
證明:
.………………………………12分
17.(本題12分)
解法一:(1)連結(jié) .由 是正方形知 .
∵ 平面 ,
∴ 是 在平面 內(nèi)的射影.
根據(jù)三垂線定理得 ,
則異面直線 與 所成的角為 .…………5分
(2)作 ,垂足為 ,連結(jié) ,則 .
所以 為二面角 的平面角, .
于是 ,
易得 ,所以 ,又 ,所以 .
設(shè)點(diǎn) 到平面 的距離為 ,則由于
即 ,
因此有 ,即 ,∴ .…………12分
解法二:如圖,分別以 為 軸, 軸, 軸,建立空間直角坐標(biāo)系.
(1)由 ,得 ,
設(shè) ,又 ,則 .
∵ ∴ ,
則異面直線 與 所成的角為 .……………………5分
(2) 為面 的法向量,設(shè) 為面 的法向量,則
,
∴ . ①
由 ,得 ,則 ,即 ,∴ ②由①、②,可取 ,又 ,
所以點(diǎn) 到平面 的距離 .……………12分
18.(本題12分)
解:(1)設(shè)甲、乙正確完成實(shí)驗(yàn)操作的題數(shù)分別為 , ,則 取值分別為 ； 取值分別為 .
, , .
∴考生甲正確完成題數(shù)的概率分布列為
123
.…………………………3分
∵ ,
同理: , , .
∴考生乙正確完成題數(shù)的概率分布列為:
0123
.………………7分
(2)∵ ,
.（或 ）.
∴ .
∵ , ,
∴ .……………10分
從做對(duì)題數(shù)的數(shù)學(xué)期望考察,兩人水平相當(dāng)；從做對(duì)題數(shù)的方差考察,甲較穩(wěn)定；從至少完成 道題的概率考察,甲獲得通過的可能性大.因此可以判斷甲的實(shí)驗(yàn)操作能力較強(qiáng).……………………12分
說(shuō)明:只根據(jù)數(shù)學(xué)期望與方差得出結(jié)論,也給分.
19.(本題12分)
證:(1)由 ,得 .
又由 ,得 .
因此, 是以 為首項(xiàng),以 為公比的等比數(shù)列.………5分
解:(2)由(1)可得 ,即 , ,
于是所求的問題:“對(duì)任意的 都有 成立”可以等價(jià)于問題:“對(duì)任意的 都有 成立”.
若記 ,則 顯然是單調(diào)遞減的,故 .
所以,實(shí)數(shù) 的取值范圍為 .………………………12分
20.(本題13分)
解:(1)設(shè)橢圓的焦距為 ,因?yàn)?,所以有 ,故有 .
從而橢圓 的方程可化為:
①易知右焦點(diǎn) 的坐標(biāo)為( ),據(jù)題意有 所在的直線方程為: .
②由①,②有: .
③設(shè) ,弦 的中點(diǎn) ,由③及韋達(dá)定理有:
所以 ,即為所求. ………5分
(2)顯然 與 可作為平面向量的一組基底,由平面向量基本定理,對(duì)于這一平面內(nèi)的向量 ,有且只有一對(duì)實(shí)數(shù) ,使得等式 成立.設(shè) ,由(1)中各點(diǎn)的坐標(biāo)有:
,故 . ……7分
又因?yàn)辄c(diǎn) 在橢圓 上,所以有 整理可得:
. ④
由③有: .所以
⑤又點(diǎn) 在橢圓 上,故有 .
⑥將⑤,⑥代入④可得: . ………11分
所以,對(duì)于橢圓上的每一個(gè)點(diǎn) ,總存在一對(duì)實(shí)數(shù),使等式 成立,且 .
所以存在 ,使得 .也就是:對(duì)于橢圓 上任意一點(diǎn) ,總存在 ,使得等式 成立. ………13分
21.(本題14分)
解:(1)由 可得 .
令 ,則其對(duì)稱軸為 ,故由題意可知 是方程 的兩個(gè)均大于 的不相等的實(shí)數(shù)根,其充要條件為 ,解得 .……………………5分
(2)由(1)可知 ,其中 ,故
①當(dāng) 時(shí), ,即 在區(qū)間 上單調(diào)遞增；
②當(dāng) 時(shí), ,即 在區(qū)間 上單調(diào)遞減；
③當(dāng) 時(shí), ,即 在區(qū)間 上單調(diào)遞增.………9分
(3)由(2)可知 在區(qū)間 上的最小值為 .
又由于 ,因此 .又由
可得 ,從而 .
設(shè) ,其中 ,
則 .
由 知: , ,故 ,故 在 上單調(diào)遞增.
所以, .
所以,實(shí)數(shù) 的取值范圍為 .……………………………14分


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