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遞推關(guān)系的求解
一 基本概念
定義： 確定的數(shù)列 稱為遞推數(shù)列。（ 為其的階）
二 基本解法
（1）
（2）

（3）
常系數(shù)線性齊次遞推關(guān)系

將（2）稱為（1）的特征方程
若 是（2）的 重根，則（1）的 個特解分別為 個特解的線性組合就是（1）的通解。
設(shè) 找到 ，使


令 可得 .從而 為 的根。
結(jié)論： ，若 有兩個不動點 ，則 ，這里 。若 只有一個不動點，則 ，這里
三 常用思想：
1．不動點，特征根
2．無理化有理（取對數(shù)，化新數(shù)列）
3．多元化少元
4．高次化低次
5．高階降低階
6．非線性化線性
7．非齊次化齊次
8．猜想試解


P103 例6 在正項數(shù)列 中， 求通項公式。
解 對 兩邊取對數(shù)，得
即
這說明數(shù)列 是首項為 ，公比為 的等比數(shù)列，則有
故
P104例8 設(shè)數(shù)列 滿足 且


求證： 是完全平方數(shù)。
證 由 式可得 并代入 式，得

兩式相減
由方程 ，得
那么
通解為
由 ,代入上式解出 ，得

因為 為正偶數(shù)，所以， 是完全平方數(shù).
P106 例9 數(shù)列 中， .
解 構(gòu)建數(shù)列 .

故
化簡得
所以
數(shù)列 是以2為首項，1/2為公比的等比數(shù)列.

所以

P107 例10已知 滿足 ，且 ，求 .
解: 是二階線性非齊次遞推數(shù)列，先設(shè)法將它轉(zhuǎn)化為一階遞推關(guān)系， 故條件變形為：
可見 是常數(shù)列，逐次遞推得

即


P107 例11設(shè)滿足 ，求 .
解： ，解方程 ,得
于是由定理10得，
則：
由已知可得 ，解得

P108 例12已知 滿足 ， ，且 ，求 .
解： ，故
兩式相減得

即
則 ，
根據(jù)特征方程求解
.
P108 例13設(shè)正數(shù)列滿足 ,求 .
解：把遞推關(guān)系改寫為 ①
令 ，則①為 ②
對②兩邊取對數(shù)，得 ③
令 ，則③為
利用不動點性質(zhì)有 即
故 其中 ，
即 是以 為首項， 為公比的等比數(shù)列，由等比數(shù)列的通項公式可知 為常數(shù)數(shù)列，逆推上去，得 ，則 ，故 是以 為首項， 為公比的等比數(shù)列，由等比數(shù)列的通項公式可知 .
P109 例14數(shù)列 定義為： ，求證：對任意的自然數(shù) ， ， 表示不超過 的最大整數(shù)。
證明：遞推關(guān)系較為復(fù)雜，結(jié)論又未給出 的表達式，不妨通過歸納法探索 的表達式：
當(dāng) 時， ，
當(dāng) 時， ，
……………
由此可以猜想： . ①
問題轉(zhuǎn)化為證明這一猜想，再證 可被3整除。可令
當(dāng) 時， 成立；假設(shè)當(dāng) 和 時①式成立，則
時，由 的遞推關(guān)系及
可證： ，
又由 ，故 為正整數(shù)，
為 內(nèi)的純小數(shù)。
所以 成立。
P110 例15設(shè) 滿足 ，且 ，求 .
解：令 ，則
令 且
所以 利用不動點性質(zhì)，有
所以 ①，又 ，令 ，則 ，所以
把上述 代入①可得 ，即 ， ，故 .


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