函數(shù)的專題復(fù)習(xí)－函數(shù)的單調(diào)性
高考命題規(guī)律
內(nèi)容上，主要考查求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間或應(yīng)用單調(diào)性求值域，或用導(dǎo)數(shù)法求單調(diào)區(qū)間（選修內(nèi)容），是高考命題的熱點(diǎn)問題。
函數(shù)的單調(diào)性是與不等式直接聯(lián)系的，對(duì)函數(shù)的單調(diào)性的考查與解不等式、求函數(shù)的值域、數(shù)形結(jié)合等相結(jié)合。
知識(shí)清單：
1單調(diào)性的定義：設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镮，如果對(duì)于定義域I內(nèi)某個(gè)區(qū)間D上的任意兩個(gè)自變量的值 時(shí)，（1）若＿＿＿＿＿＿＿＿，則f(x)在＿＿＿上是增函數(shù)。
（2）若＿＿＿＿＿＿＿＿，則f(x)在＿＿＿＿上是減函數(shù)。
2函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的定義：若函數(shù)f(x)在區(qū)間D上是＿＿＿＿或＿＿＿＿，則稱函數(shù)f(x)在這一區(qū)間上具有單調(diào)性，＿＿＿＿叫做f(x)的單調(diào)區(qū)間。
3判別函數(shù)單調(diào)性的方法：（1）定義法：利用定義嚴(yán)格判斷；（2）利用函數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)：如若f(x),g(x)為增函數(shù)，則①f(x)+g(x)為增函數(shù)，② 為減函數(shù)（f(x)>0）③ 為增函數(shù)（f(x)≥0）④f(x)g(x)為增函數(shù)（f(x)>0,g(x)>0）⑤-f(x)為減函數(shù)。
4利用復(fù)合函數(shù)關(guān)系判斷單調(diào)性：法則是：＿＿＿＿＿＿＿，即兩個(gè)簡(jiǎn)單函數(shù)的單調(diào)性相同，則它們的復(fù)合函數(shù)為＿＿＿＿，若兩個(gè)簡(jiǎn)單函數(shù)的單調(diào)性相反，則它們的復(fù)合函數(shù)為＿＿＿。
5圖象法　　　　6導(dǎo)數(shù)法：（1）若f(x)在某個(gè)區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，當(dāng)f(x)’>0時(shí)，f(x)為＿＿函數(shù)，當(dāng)f(x)’<0時(shí)，f(x)為＿＿＿函數(shù)；反之也真。
7函數(shù)的單調(diào)性是針對(duì)確定的區(qū)間而言的，所以要受到區(qū)間的限制。如：
8熟練掌握函數(shù)解析式的化簡(jiǎn)與轉(zhuǎn)化方法，使問題轉(zhuǎn)化為熟悉的簡(jiǎn)單函數(shù)的單調(diào)性問題，縮短對(duì)問題的判斷過程，即轉(zhuǎn)化為一次函數(shù)、二次函數(shù)、指、對(duì)數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)等。
【2011考題精選】
1.北京）已知函數(shù) ，（I）求 的單調(diào)區(qū)間；
（II）求 在區(qū)間 上的最小值。
2福建22）已知a、b為常數(shù)，且a≠0，函數(shù)f(x)＝－ax＋b＋axlnx，f(e)＝2，（e＝2.71828…是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）。
（Ⅰ）求實(shí)數(shù)b的值；
（Ⅱ）求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅲ）當(dāng)a＝1時(shí)，是否同時(shí)存在實(shí)數(shù)m和M（m＜M），使得對(duì)每一個(gè)t∈[m，M]，直線y＝t與曲線y＝f(x)（x∈[1e，e]）都有公共點(diǎn)？若存在，求出最小的實(shí)數(shù)m和最大的實(shí)數(shù)M；若不存在，說明理由。
3江蘇2. ）函數(shù) 的單調(diào)增區(qū)間是__________
4江西）設(shè) ，則 的解集為＿＿＿＿＿
5四川）16．函數(shù) 的定義域?yàn)锳，若 且 時(shí)總有 ，則稱 為單函數(shù)．例如，函數(shù) =2x+1( )是單函數(shù)．下列命題：
①函數(shù) （x R）是單函數(shù)；
②若 為單函數(shù)， 且 ，則 ；
③若f：A→B為單函數(shù)，則對(duì)于任意 ，它至多有一個(gè)原象；
④函數(shù) 在某區(qū)間上具有單調(diào)性，則 一定是單函數(shù)．
其中的真命題是_________．（寫出所有真命題的編號(hào)）
6(天津8）設(shè)函數(shù) 若 ，則實(shí)數(shù) 的取值范圍是7(天津6)．設(shè) ， ， ，則a,b,c的大小關(guān)系＿＿＿．
8(天津10)．設(shè)函數(shù) ， 則 的值域是＿＿＿＿＿．
【10－08考題精選】
1（2010江蘇卷14）、將邊長(zhǎng)為1m正三角形薄片，沿一條平行于底邊的直線剪成兩塊，其中一塊是梯形，記 ,則S的最小值是____▲____。
2(2010重慶文數(shù)（4））函數(shù) 的值域是________
3（2010重慶文數(shù)）(12)已知 ，則函數(shù) 的最小值為____________ .
4（2009全國卷Ⅱ文）設(shè) 則＿＿＿＿＿＿
5（2009天津卷文）設(shè)函數(shù) 則不等式 的解集是＿＿
6(09江蘇）函數(shù) 的單調(diào)減區(qū)間為 ★ .
7(09江蘇）已知 ，函數(shù) ，若實(shí)數(shù) 滿足 ，則 的大小關(guān)系為 ★ .
8(09江蘇20）設(shè) 為實(shí)數(shù)，函數(shù) .
(1)若 ，求 的取值范圍； 求 的最小值；
(2)設(shè)函數(shù) ，寫出(不需演算步驟)不等式 的解集.
2011參考答案：
1解：（I） ，令 ；所以 在 上遞減，在 上遞增；
（II）當(dāng) 時(shí)，函數(shù) 在區(qū)間 上遞增，所以 ；
當(dāng) 即 時(shí)，由（I）知，函數(shù) 在區(qū)間 上遞減， 上遞增，所以 ；
當(dāng) 時(shí)，函數(shù) 在區(qū)間 上遞減，所以 。
2解析（Ⅰ）b＝2；（Ⅱ）a＞0時(shí)單調(diào)遞增區(qū)間是（1，＋∞），單調(diào)遞減區(qū)間是（0，1），a
＜0時(shí)單調(diào)遞增區(qū)間是（0，1），單調(diào)遞減區(qū)間是（1，＋∞）；（Ⅲ）存在m，M；m的最小值
為1，M的最大值為2。
3解析： 在 在 大于零,且增.
4【解析】 定義域?yàn)?，又由 ，解得
或 ，所以 的解集
5答案：②③
解析：對(duì)于①，若 ，則 ，不滿足；②實(shí)際上是單函數(shù)命題的逆否
命題，故為真命題；對(duì)于③，若任意 ，若有兩個(gè)及以上的原象，也即當(dāng) 時(shí)，
不一定有 ，不滿足題設(shè)，故該命題為真；根據(jù)定義，命題④不滿足條件．
6【解】若 ，則 ，即 ，所以 ，
若 則 ，即 ，所以 ， 。
所以實(shí)數(shù) 的取值范圍是 或 ，即 ．
7【解】因?yàn)?， ， ，
所以 ，所以 ，
8【解】解 得 ，則 或 ．因此
的解為： ．于是
當(dāng) 或 時(shí)， ．
當(dāng) 時(shí)， ，則 ，
又當(dāng) 和 時(shí)， ，所以 ．
由以上，可得 或 ，因此 的值域是 ．
10-08參考答案：
1[解析] 設(shè)剪成的小 正三角形的邊長(zhǎng)為 ， 則：
（方法一）利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)最小值。
，

，當(dāng) 時(shí)， 遞減；
當(dāng) 時(shí)， 遞增； 故當(dāng) 時(shí)，S的最小值是 。
（方法二）利用函數(shù)的方法求最小值。
令 ，則：
故當(dāng) 時(shí)，S的最小值是 。
2解析：
3解析： ，當(dāng)且僅當(dāng) 時(shí)，
4解析 考查對(duì)數(shù)函數(shù)的增減性，由1>lge>0,知a>b,又c= lge, 作商比較知c>b,選
。
5解析 由已知，函數(shù)先增后減再增
當(dāng) ， 令 　解得 。
當(dāng) ， 　故 ，解得
【考點(diǎn)定位】本試題考查分段函數(shù)的單調(diào)性問題的運(yùn)用。以及一元二次不等式的求解。
6解析： ，由 得單調(diào)
減區(qū)間為
7解析： 。
8解析：（1）若 ，則
（2）當(dāng) 時(shí)，
當(dāng) 時(shí)，
綜上
(3) 時(shí)， 得 ，
當(dāng) 時(shí)， ；


綜合能力訓(xùn)練：
1、若函數(shù) 的定義域和值域都是[0,1]則a=__
2.函數(shù) 的單調(diào)遞減區(qū)間是_________
3函數(shù) 的值域是R，則m的取值范圍是______
4.函數(shù)f(x)(x∈R)的圖象如圖所示，則函數(shù)g(x)=f(logax) (05(2011重慶）下列區(qū)間中，函數(shù) = 在其上為增函數(shù)的是 ＿＿＿＿＿
6(2011重慶6)設(shè) , , ,則 , , 的大小關(guān)系是＿＿＿＿＿＿

7(2011天津20)．（本小題滿分 分）已知函數(shù) ，其中 ．
（Ⅰ）若 ，求曲線 在點(diǎn) 處的切線方程；
（Ⅱ）若在區(qū)間 上， 恒成立，求 的取值范圍．
訓(xùn)練參考答案：1.a=2 2.[ ,4) 3.m≤1 4.[ ] 5解析：
6解析：
7【解】（Ⅰ）當(dāng) 時(shí)， ， ． ， ．
所以曲線 在點(diǎn) 處的切線方程為 ，即 ．
（Ⅱ） ．
令 ，解得 或 ．針對(duì)區(qū)間 ，需分兩種情況討論：
(1) 若 ,則 ．
當(dāng) 變化時(shí)， 的變化情況如下表：



增極大值減
所以 在區(qū)間 上的最小值在區(qū)間的端點(diǎn)得到．因此在區(qū)間 上， 恒成立，等價(jià)于
　　即 解得 ，又因?yàn)?，所以 ．
(2) 若 ，則 ．
當(dāng) 變化時(shí)， 的變化情況如下表：



增極大值減極小值增
所以 在區(qū)間 上的最小值在區(qū)間的端點(diǎn)或 處得到．
因此在區(qū)間 上， 恒成立，等價(jià)于　 　　即
解得 或 ，又因?yàn)?，所以 ．
綜合(1),(2), 的取值范圍為 .

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