2.函數(shù)值域求法
一、知識(shí)梳理：
1、基本初等函數(shù)的值域：
（1）一次函數(shù) 的值域：R
（2）反比例函數(shù) 的值域：
（3）二次函數(shù) 的值域：
時(shí)， ； 時(shí)， ；
二次函數(shù) 在給定區(qū)間 上的值域：
由圖象考慮�。�
（4）指數(shù)函數(shù) 的值域：
（5）對(duì)數(shù)函數(shù) 的值域：R
（6）冪函數(shù) 的值域： 時(shí)，值域?yàn)?或 ， 時(shí)，值域?yàn)?， 時(shí)，值域?yàn)?或
（7）三角函數(shù) 的值域分別為：
2、求函數(shù)值域的方法：
（1）直接法：初等函數(shù)或初等函數(shù)的復(fù)合函數(shù)，從自變量x的范圍出發(fā)，推出y=f(x)的取值范圍；
（2）二次函數(shù)法：形如 的函數(shù)利用換元法將函數(shù)轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)求值域；
（3）換元法：代數(shù)換元，三角換元，均值換元等。
（4）反表示法：將求函數(shù)的值域轉(zhuǎn)化為求它的反函數(shù)的值域；
（5）判別式法：運(yùn)用方程思想，依據(jù)二次方程有根，求出y的取值范圍；
（6）單調(diào)性法：利用函數(shù)在定義域上的單調(diào)性求值域；
（7）基本不等式法：利用各基本不等式求值域；
（8）圖象法：當(dāng)一個(gè)函數(shù)圖象可作時(shí)，通過圖象可求其值域；
（9）求導(dǎo)法：當(dāng)一個(gè)函數(shù)在定義域上可導(dǎo)時(shí)，可據(jù)其導(dǎo)數(shù)求最值，再得值域；
（10）幾何意義法：由數(shù)形結(jié)合，轉(zhuǎn)化斜率、距離等求值域。



二、典例討論：
題型一。初等函數(shù)的復(fù)合函數(shù)：
例1、求下列函數(shù)的值域：
（1）
（2）
（3）
（4） 呢？
（5）已知 ，求函數(shù) 的值域。
解： 的定義域?yàn)?，由此可得值域?yàn)閇0，3]；
題型二。其它函數(shù)
例2、求下列函數(shù)的值域：
（1）分子常數(shù)化法：
點(diǎn)評(píng)：適用一次分式函數(shù) 型
（2）反表示法：
點(diǎn)評(píng)：類似地：
（3） 法：求函數(shù)y= 值域　　　先因式分解，能約先約。
解：∵ ，∴函數(shù)的定義域R，原式可化為 ,整理得 ，若y=1,即2x=0,則x=0；若y 1,∵ R，即有 0，∴ ,解得 且 y 1.
綜上：函數(shù)是值域是{y }.
點(diǎn)評(píng)：適用二次分式函數(shù) 型，先因式分解，能約先約。
（4）特殊地：基本不等式法，求導(dǎo)法：
（5）配方法：
解： ，
（6）換元法： 換元法：
三角換元法：
（7）函數(shù)單調(diào)性法： 用 的單調(diào)性：
點(diǎn)評(píng)：可用導(dǎo)數(shù)法求之
（8）分段函數(shù)圖象法：求 y=x+1+x-2的值域.
解：將函數(shù)化為分段函數(shù)形式： ，畫出它的圖象（下圖），由圖象可知，函數(shù)的值域是{yy 3}.
（9）幾何意義法、數(shù)形結(jié)合：
解： 構(gòu)造點(diǎn)
得：
點(diǎn)評(píng)：亦可用合一法解之。
題型三。給定函數(shù)值域,求參數(shù)的取值范圍
例3、已知函數(shù) 的定義域?yàn)镽，值域?yàn)閇0，2]，求m,n的值。
解： ， ，因?yàn)橹涤驗(yàn)閇0，2]，設(shè) ，其 ， ，
所以， ，驗(yàn)證：得



四、課后作業(yè)：
1． 求下列函數(shù)的最值與值域：?
（1）y=2x- ;?
(2)y=x+ ;(4)y= .?
解 （1）方法一 令 =t(t≥0),則x= .∴y=1-t2-t=-（t+ 2+ .?
∵二次函數(shù)對(duì)稱軸為t=- ,∴在［0，+∞）上y=-(t+ 2+ 是減函數(shù)，?
故ymax=-(0+ 2+ =1.故函數(shù)有最大值1，無最小值，其值域?yàn)椋?∞，1］.?
方法二 ∵y=2x與y=- 均為定義域上的增函數(shù)，∴y=2x- 是定義域?yàn)閧xx≤ }上的增函數(shù)，
故ymax=2× =1,無最小值.故函數(shù)的值域?yàn)?-∞,1］.?
(2)方法一 函數(shù)y=x+ 是定義域?yàn)閧xx≠0}上的奇函數(shù),故其圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,故只討論x＞0時(shí),即可知x＜0時(shí)的最值.?
∴當(dāng)x＞0時(shí),y=x+ ≥2 =4，等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)x=2時(shí)取得.
當(dāng)x＜0時(shí)，y≤-4,等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)x=-2時(shí)取得.
綜上函數(shù)的值域?yàn)椋?∞，-4］∪［4，+∞），無最值.?
方法二 任取x1,x2,且x1＜x2,?
因?yàn)閒(x1)-f(x2)=x1+ -(x2+ )= ?
所以當(dāng)x≤-2或x≥2時(shí)，f(x)遞增,當(dāng)-2＜x＜0或0＜x＜2時(shí)，f(x)遞減.?
故x=-2時(shí)，f(x)最大值=f(-2)=-4,x=2時(shí)，f(x)最小值=f(2)=4,?
所以所求函數(shù)的值域?yàn)椋?∞，-4］∪［4，+∞），無最大（�。┲�.?
（3）將函數(shù)式變形為?
y= ,?
可視為動(dòng)點(diǎn)M（x,0）與定點(diǎn)A（0，1）、B（2，-2）距離之和，連結(jié)AB，則直線AB與x軸的交點(diǎn)（橫坐標(biāo)）即為所求的最小值點(diǎn).?
ymin=AB= ，可求得x= 時(shí)，ymin= .?
顯然無最大值.故值域?yàn)椋?，+∞）.?
2．若函數(shù) 的最大值為4，最小值為-1，求實(shí)數(shù)a，b的值

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