1.函數(shù)的三種表示法
（1）解析法：就是把兩個變量的函數(shù)關(guān)系，用一個等式來表示，這個等式叫做函數(shù)的解析表達(dá)式，簡稱解析式.
（2）列表法：就是列出表格來表示兩個變量的函數(shù)關(guān)系.
（3）圖象法：就是用函數(shù)圖象表示兩個變量之間的關(guān)系.
2.復(fù)習(xí)目標(biāo)
（1）由所給函數(shù)表達(dá)式正確求出函數(shù)的定義域；
（2）掌握求函數(shù)值域的幾種常用方法；
（3）能根據(jù)函數(shù)所具有的某些性質(zhì)或它所滿足的一些關(guān)系，求出它的解析式；
（4）會進(jìn)行函數(shù)三種表示方法的互化，培養(yǎng)學(xué)生思維的嚴(yán)密性、多樣性.
●點(diǎn)擊雙基
1.（2004年春季安徽）若f（sinx）=2－cos2x，則f（cosx）等于
A.2－sin2xB.2+sin2xC.2－cos2xD.2+cos2x
解析：∵f（sinx）=2－（1－2sin2x）=1+2sin2x，
∴f（cosx）=f（sin －x）=1+2sin2（ －x）=1+2cos2x=2+cos2x.
答案：D
2.（2004年湖北，3）已知f（ ）= ，則f（x）的解析式可取為
A. B.－
C. D.－
解析：令 =t，則x= ，∴f（t）= .∴f（x）= .
答案：C
評述：本題考查函數(shù)的定義及換元思想.
3.（2005年春季北京，文2）函數(shù)f（x）=x－1的圖象是

解析：轉(zhuǎn)化為分段函數(shù)y=
答案：B
4.函數(shù)y= 的定義域?yàn)開_____________，值域?yàn)開__________________.
答案：［－1，2］［0， ］
●典例剖析
【例1】已知函數(shù)f（x）= 的定義域是R，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是
A.a＞ B.－12＜a≤0C.－12＜a＜0D.a≤
剖析：由a=0或 可得－12＜a≤0.
答案：B
【例2】在△ABC中，BC=2，AB+AC=3，中線AD的長為y，AB的長為x，建立y與x的函數(shù)關(guān)系式，并指出其定義域.

解：設(shè)∠ADC＝θ，則∠ADB＝π－θ.
根據(jù)余弦定理得
12＋y2－2ycosθ＝（3－x）2，①
12＋y2－2ycos（π－θ）＝x2.②
由①＋②整理得y＝ .其中 解得 ＜x＜ .
∴函數(shù)的定義域?yàn)椋?， ）.
評述：函數(shù)的定義域是使式子有意義的自變量的取值范圍，同時也要注意變量的實(shí)際意義的要求.
【例3】若函數(shù)f（x）= 的值域?yàn)椋郏?，5］，求實(shí)數(shù)a、c.
解：由y=f（x）= ，得x2y－ax+cy－1=0.
當(dāng)y=0時，ax=－1，∴a≠0.
當(dāng)y≠0時，∵x∈R，∴Δ=a2－4y（cy－1）≥0.
∴4cy2－4y－a2≤0.∵－1≤y≤5，∴－1、5是方程4cy2－4y－a2=0的兩根.
∴ ∴
評述：求f（x）= （a12+a22≠0）的值域時，常利用函數(shù)的定義域非空這一隱含的條件，將函數(shù)轉(zhuǎn)化為方程，利用Δ≥0轉(zhuǎn)化為關(guān)于函數(shù)值的不等式.求解時，要注意二次項(xiàng)系數(shù)為字母時要討論.
●闖關(guān)訓(xùn)練
夯實(shí)基礎(chǔ)
1.函數(shù)y= 的值域是
A.［－1，1］B.（－1，1］C.［－1，1）D.（－1，1）
解法一：y= = －1.∵1+x2≥1，∴0＜ ≤2.∴－1＜y≤1.
解法二：由y= ，得x2= .∵x2≥0，∴ ≥0，解得－1＜y≤1.
解法三：令x=tanθ（－ ＜θ＜ ），則y= =cos2θ.∵－π＜2θ＜π，
∴－1＜cos2θ≤1，即－1＜y≤1.
答案：B
2.如果f［f（x）］=2x－1，則一次函數(shù)f（x）=___________________.
解析：設(shè)f（x）=kx+b，則f［f（x）］=kf（x）+b=k（kx+b）+b=k2x+kb+b.
由于該函數(shù)與y=2x－1是同一個函數(shù)，∴k2=2且kb+b=－1.∴k=± .
當(dāng)k= 時，b=1－ ；當(dāng)k=－ 時，b=1+ .
答案：f（x）= x+1－ 或f（x）=－ x+1+
3.已知f（x2－4）=lg ，則f（x）的定義域?yàn)開_________.
解析：設(shè)x2－4=t，則t≥－4，x2=4+t.∴f（t）=lg .∴f（x）=lg （x≥－4）.
由 得x＞4.
答案：（4，+∞）
4.用長為l的鐵絲彎成下部為矩形，上部為半圓形的框架（如下圖），若矩形底邊長為2x，求此框架圍成的面積y與x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出其定義域.

解：∵AB=2x，則 =πx，AD= .
∴y=2x? + =－（ +2）x2+lx.
由 ＞0，解得0＜x＜ .
5.（2005年北京市西城區(qū)模擬題）已知函數(shù)f（x）= 則f（lg30－lg3）=___________________；不等式xf（x－1）＜10的解集是___________________.
解析：f（lg30－lg3）=f（lg10）=f（1）=－2，f（x－1）=
當(dāng)x≥3時，x（x－3）＜10 －2＜x＜5，故3≤x＜5.
當(dāng)x＜3時，－2x＜10 x＞－5，故－5＜x＜3.
總之x∈（－5，5）.
答案：－2{x－5＜x＜5}
培養(yǎng)能力
6.設(shè)定義在N上的函數(shù)f（x）滿足f（n）= 試求f（2002）的值.
解：∵2002＞2000，
∴f（2002）=f［f（2002－18）］=f［f（1984）］=f［1984+13］=f（1997）=1997+13=2010.
7.設(shè)f（x）= －2x+1，已知f（m）= ，求f（－m）.
解：∵f（m）= ，∴ －2m+1= .①
∴ －2m= －1.
而f（－m）= +2m+1= +2m+1= +2m+1= +2m+1=－ +2m+1=－（ －2m）+1=－（ －1）+1=2－ .
8.（理）（2003年重慶市高三畢業(yè)班診斷性考試）某市有小靈通與全球通兩種手機(jī)，小靈通手機(jī)的月租費(fèi)為25元，接聽電話不收費(fèi)，打出電話一次在3min以內(nèi)收費(fèi)0.2元，超過3min的部分為每分鐘收費(fèi)0.1元，不足1min按1min計(jì)算（以下同）.全球通手機(jī)月租費(fèi)為10元，接聽與打出的費(fèi)用都是每分鐘0.2元.若某人打出與接聽次數(shù)一樣多，每次接聽與打出的時間在1min以內(nèi)、1到2min以內(nèi)、2到3min以內(nèi)、3到4min以內(nèi)的次數(shù)之比為4∶3∶1∶1.問，根據(jù)他的通話次數(shù)應(yīng)該選擇什么樣的手機(jī)才能使費(fèi)用最��？（注：m到m+1min以內(nèi)指含mmin，而不含m+1min）
解：設(shè)小靈通每月的費(fèi)用為y1元，全球通的費(fèi)用為y2元，分別在1min以內(nèi)、2min以內(nèi)、3min以內(nèi)、4min以內(nèi)的通話次數(shù)為4x、3x、x、x，則
y1=25+（4x+3x+x+x）×0.2+0.1x=25+1.9x，
y2=10+2（0.2×4x+0.4×3x+0.6x+0.8x）=10+6.8x.
令y1≥y2，即25+1.9x≥10+6.8x，解得x≤ ≈3.06.
∴總次數(shù)為（4+3+1+1）×2×3.06=55.1.
故當(dāng)他每月的通話次數(shù)小于等于55次時，應(yīng)選擇全球通，大于55次時應(yīng)選擇小靈通.
（文）（2005年北京東城區(qū)模擬題）定義“符號函數(shù)”f（x）=sgnx= 則不等式x+2＞（x－2）sgnx的解集是______________.
解析：分類討論.
答案：（－ ，+∞）
探究創(chuàng)新
9.圖①是某公共汽車線路收支差額y元與乘客量x的圖象.

（1）試說明圖①上點(diǎn)A、點(diǎn)B以及射線AB上的點(diǎn)的實(shí)際意義.
（2）由于目前本條線路虧損，公司有關(guān)人員提出了兩種扭虧為贏的建議，如圖②③所示.你能根據(jù)圖象，說明這兩種建議的意義嗎？
解：（1）點(diǎn)A表示無人乘車時收入差額為－20元，點(diǎn)B表示有10人乘車時收入差額為0元，線段AB上的點(diǎn)表示虧損，AB延長線上的點(diǎn)表示贏利.
（2）圖②的建議是降低成本，票價不變，圖③的建議是增加票價.
深化拓展
（1）圖①、圖②中的票價是多少元？圖③中的票價是多少元？
（2）此問題中直線斜率的實(shí)際意義是什么？
答案：（1）圖①②中的票價是2元.
圖（3）中的票價是4元.
（2）斜率表示票價.
●思悟小結(jié)
1.并不是所有的函數(shù)關(guān)系都可以用解析式來表示，函數(shù)還有另外兩種表示方法：列表法、圖象法.
2.求函數(shù)解析式的方法一般有待定系數(shù)法和換元法.如果已知函數(shù)式的構(gòu)造模式，可用待定系數(shù)法；如果已知復(fù)合函數(shù)f［g（x）］的表達(dá)式來求f（x），常用換元法；當(dāng)已知表達(dá)式較簡單時，甚至可直接用湊配法求解.
3.要熟悉求函數(shù)值域的幾種基本方法，遇到求值域的問題，應(yīng)優(yōu)先考慮采用特殊方法，如不等式法、配方法、幾何法、換元法等.當(dāng)特殊方法不易解決時，再采用一般方法如方程法求解.如一題可有多種方法解決時，應(yīng)注意選擇最優(yōu)解法.
●教師下載中心
點(diǎn)睛
1.用換元法解決問題時，應(yīng)提醒學(xué)生注意“新元”相應(yīng)的取值范圍.
2.強(qiáng)化待定系數(shù)法在求函數(shù)解析式中的重要作用.
3.新課改對函數(shù)的圖象表示提出了更高的要求，要加強(qiáng)圖象表示的.
拓展題例
【例題】已知扇形的周長為10，求扇形半徑r與面積S的函數(shù)關(guān)系式及此函數(shù)的定義域、值域.
解：設(shè)扇形的弧長為l，則l=10－2r，∴S= lr=（5－r）r=－r2+5r.
由 得 ＜r＜5.∴S=－r2+5r的定義域?yàn)椋?，5）.

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