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2013年高考文科數(shù)學試題（北京市）

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2013年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試(北京卷)
數(shù)學（文）
本試卷共5頁，150分.考試時長120分鐘。考生務(wù)必將答案答在答題卡上，在試卷上答無效�？荚嚱Y(jié)束后，將本卷和答題卡一并交回。
第一部分（選擇題共40分）
一、選擇題共8小題。每小題5分，共40分。在每個小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的一項。
（1）已知集合A=｛-1，0，1｝，B=｛x-1≤x<1｝,則A∩B=( )
（A）｛0｝（B）｛-1，,0｝（C）{0，1}（D）｛-1，,0，1}
（2）設(shè)a,b,c∈R,且a（A）ac>bc（B） < （C）a2>b2（D）a3>b3
（3）下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)又在區(qū)間(0,+ ∞)上單調(diào)遞減的是
（A）y= (B)y=e-3
（C）y=x2+1 (D)y=lg?x?
（4）在復平面內(nèi)，復數(shù)i（2-i）對應的點位于
（A）第一象限（B）第二象限
（C）第三象限（D）第四象限
（5）在△ABC中，a=3,b=5,sinA= ,則sinB
（A）（B）
（C）（D）1
（6）執(zhí)行如圖所示的程序框圖，輸出的S值為
（A）1
（B）
（C）
（D）
（7）雙曲線x²- =1的離心率大于的充分必要條件是
（A）m＞（B）m≥1
（C）m大于1（D）m＞2
(8)如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，P為對角線BD1的三等分點，P到各頂點的距離的不同取值有
（A）3個（B）4個
（C）5個（D）6個
第二部分（非選擇題共110分）
二、填空題共6題，每小題5分，共30分。
（9）若拋物線y2=2px的焦點坐標為（1,0）則p=____;準線方程為_____
(10)某四棱錐的三視圖如圖所示，該四棱錐的體積為__________.
(11)若等比數(shù)列｛an｝滿足a2+a4=20，a3+a5=40，則公比q=__________;前n項sn=_____.
(12)設(shè)D為不等式組，表示的平面區(qū)域，區(qū)域D上的點與點（L，0）之間的距離的最小值為___________.
(13)函數(shù)f（x）= 的值域為_________.
（14）已知點A（1，-1），B（3，0），C（2，1）.若平面區(qū)域D由所有滿足AP =λAB+μAC （1≤λ≤2，0≤μ≤1）的點P組成，則D的面積為__________.
三、解答題共6小題，共80分。解答應寫出文字說明，演算步驟或證明過程。
（15）（本小題共13分）
已知函數(shù)f（x）=（2cos2x-1）sin2x= cos4x.
（1）求f（x）的最小正周期及最大值
（2）（2）若α∈（，π）且f（α）= ，求α的值
(16)(本小題共13分)
下圖是某市3月1日至14日的空氣質(zhì)量指數(shù)趨勢圖，空氣質(zhì)量指數(shù)小于100表示空氣質(zhì)量優(yōu)良，空氣質(zhì)量指數(shù)大于200表示空氣質(zhì)量重度污染，某人隨機選擇3月1日至3月13日中的某一天到達該市，并停留2天。
（Ⅰ）求此人到達當日空氣質(zhì)量優(yōu)良的概率
（Ⅱ）求此人在該市停留期間只有1天空氣重度污染的概率。
（Ⅲ）由圖判斷從哪天開始連續(xù)三天的空氣質(zhì)量指數(shù)方差最大？（結(jié)論不要求證明）
17.（本小題共14分）
如圖，在四棱錐P-ABCD中，AB∥CD,AB⊥AD,CD=2AB,平面PAD⊥底面ABCD，PA⊥AD.E和F分別是CD和PC的中點，求證：
（Ⅰ）PA⊥底面ABCD;
（Ⅱ）BE∥平面PAD
（Ⅲ）平面BEF⊥平面PCD.
（18）（本小題共13分）
已知函數(shù)f(x)=x2+xsin x+cos x.
（Ⅰ）若曲線y=f(x)在點(a,f(a))處與直線y=b相切，求a與b的值。
（Ⅱ）若曲線y=f(x)與直線y=b 有兩個不同的交點，求b的取值范圍。
（19）（本小題共14分）
直線y=kx+m(m≠0)與橢圓W: +y2相交與A，C兩點，O為坐標原電。
（Ⅰ）當點B的左邊為（0，1），且四邊形OABC為菱形時，求AC的長；
（Ⅱ）當點B在W上且不是W的頂點時，證明：四邊形OABC不可能為菱形。
（20）（本小題共13分）
給定數(shù)列a1，a2，…，an。對i-1，2，…n-l，該數(shù)列前i項的最大值記為Ai，后n-i項ai+1，ai+2，…，an的最小值記為Bi，di=ni-Bi.
（Ⅰ）設(shè)數(shù)列{an}為3，4，7，1，寫出d1，d2，d3的值.
（Ⅱ）設(shè)a1，a2，…，an（n≥4）是公比大于1的等比數(shù)列，且a1＞0.證明：d1，d2，…dn-1是等比數(shù)列。
（Ⅲ）設(shè)d1，d2，…dn-1是公差大于0的等差數(shù)列，且d1＞0，證明：a1，a2，…，an-1是等差數(shù)列。

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