2013年哈爾濱市第三中學(xué)第二次高考模擬考試
理科數(shù)學(xué)
本試卷分為第I卷（）和第II卷（非）兩部分，共24題，滿分150分，考試時間120分鐘。
注意事項
1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號碼填寫清楚；
2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂，非選擇題必須使用0.5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整，字跡清楚。
3．請按照題號順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效，在草稿紙、試題卷上答題無效。
4．保持卡面清潔，不得折疊，不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。
第I卷（選擇題，共60分）
一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）
1． 集合 ， ，則
A．
B．
C．
D．
2．設(shè)Sn是公差為 的無窮等差數(shù)列 的前n項和，則“d < 0”是“數(shù)列 有最大項”的
A．充要條件B．充分不必要條件
C．必要不充分條件D．既不充分也不必要條件
3．ΔABC中， ， ，若 ，則角C為
A．
B．
C．
D．
4．已知 ，則 展開式中的常數(shù)項為
A．20B．-20C．-15D．15
5．正三棱柱ABC―A1B1C1的所有棱長都為2，則異面直線AB1與BC1所成角的余弦值為
A．
B．
C．
D．
6．已知函數(shù) ，其圖象相鄰的兩條對稱軸方程為 與 ，則
A． 的最小正周期為 ，且在 上為單調(diào)遞增函數(shù)
B． 的最小正周期為 ，且在 上為單調(diào)遞減函數(shù)
C． 的最小正周期為 ，且在 上為單調(diào)遞增函數(shù)
D． 的最小正周期為 ，且在 上為單調(diào)遞減函數(shù)
7．一個幾何體的三視圖及尺寸如右圖所示，則該幾何體的
外接球半徑為
A．
B．
C．
D．
8．過拋物線 的焦點F的直線l與拋物線在第一象限的交點為A，直線l與拋物線的準線的交點為B，點A在拋物線的準線上的攝影為C，若 ， ，則拋物線的方程為
A．
B．
C．
D．
9．右面的程序框圖，輸出結(jié)果s的值為
A．
B．
C．
D．
10．在平行四邊形ABCD中， ， ，
連接CE、DF相交于點M，若 ，則實數(shù)
λ與μ的乘積為
A．
B．
C．
D．
11．已知函數(shù) 的兩個極值點分別為x1，x2，且 ， ，記分別以m，n為橫、縱坐標的點 表示的平面區(qū)域為D，若函數(shù) 的圖象上存在區(qū)域D內(nèi)的點，則實數(shù)a的取值范圍為
A．
B．
C．
D．
12．設(shè)點P在曲線 上，點Q在曲線 上，則 的最小值為
A．
B．
C．
D．
第II卷（非選擇題，共90分）
二、題（本大題共4小題，每小題5分，共20分。將答案填在答題卡的相應(yīng)位置上。）
13．若復(fù)數(shù) ，則 __________。
14．已知雙曲線 的右焦點為F，由F向其漸近線引垂線，垂足為
P，若線段PF的中點在此雙曲線上，則此雙曲線的離線率為__________。
15．已知平面區(qū)域Ω= ，直線l: 和曲線C: 有兩個不同的交點，直線l與曲線C圍城的平面區(qū)域為M，向區(qū)域Ω內(nèi)隨機投一點A，點A落在區(qū)域M內(nèi)的概率為 ，若 ，則實數(shù)m的取值范圍是__________。
16．已知ΔABC中，∠A,∠B,∠C的對邊分別為a,b,c，若a = 1,2cosC + c = 2b，則ΔABC的周長的取值范圍是__________。
三、解答題（本大題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）
17．（本小題滿分12分）
已知正項數(shù)列滿足 。
（1）求數(shù)列 的通項公式；
（2）設(shè) ，求數(shù)列 的前n項和Tn。
18．（本小題滿分12分）
從某學(xué)校高三年級共1000名男生中隨機抽取50人測量身高。據(jù)測量，被測學(xué)生身高全部介于155cm到195cm之間，將測量結(jié)果按如下方式分成八組，第一組[155,160)，第二組[160,165)，… ，第八組[190,195]。下圖是按上述分組方法得到的頻率分布直方圖的一部分、其中第六組、第七組、第八組人數(shù)依次構(gòu)成等差數(shù)列。
（1）求第六組、第七組的頻率，并估算高三年級全體男生身高在180cm以上（含180cm）的人數(shù)；
（2）學(xué)校決定讓這50人在運動會上組成一個高旗隊，在這50人中要選身高在180cm以上（含180cm）的三人作為隊長，記X為身高在[180,185)的人數(shù)，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望。
19．（本小題滿分12分）
如圖，在四棱錐P―ABCD中，PA⊥AD，AB∥CD，CD⊥AD，AD = CD = 2AB = 2，E，F(xiàn)分別為PC，CD的中點，DE = EC。
（1）求證：平面ABE⊥平面BEF；
（2）設(shè)PA = a，若平面EBD與平面ABCD所成銳二面角 ，求a的取值范圍。
20．（本小題滿分12分）
已知橢圓 過點 ，離心率 ，若點 在橢圓C上，則點 稱為點M的一個“橢點”，直線l交橢圓C于A、B兩點，若點A、B的“橢點”分別是P、Q，且以PQ為直徑的圓經(jīng)過坐標原點O。
（1）求橢圓C的方程；
（2）若橢圓C的右頂點為D，上頂點為E，試探究ΔOAB的面積與ΔODE的面積的大小關(guān)系，并證明。
21．（本小題滿分12分）
已知函數(shù) 。
（1）若函數(shù)滿足 ，且在定義域內(nèi) 恒成立，求實數(shù)b的取值范圍；
（2）若函數(shù) 在定義域上是單調(diào)函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍；
（3）當 時，試比較 與 的大小。
選考題：請考生從第22、23、24三題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題記分。
22．（本小題滿分10分）
選修4-1：幾何證明選講
如圖所示，已知PA與⊙O相切，A為切點，過點P的割線交圓于B、C兩點，弦CD∥AP，AD、BC相交于點E，F(xiàn)為CE上一點，且DE2 = EF?EC。
（1）求證：CE?EB = EF?EP；
（2）若CE:BE = 3:2，DE = 3，EF = 2，求PA的長。
23．（本小題滿分10分）
選修4-4：坐標系與參數(shù)方程
在極坐標系中，已知直線l的極坐標方程為 ，圓C的圓心是 ，半徑為 。
（1）求圓C的極坐標方程；
（2）求直線l被圓C所截得的弦長。
24．（本小題滿分10分）
選修4-5：不等式選講
設(shè)函數(shù) 。
（1）解不等式 ；
（2）已知關(guān)于x的不等式 恒成立，求實數(shù)a的取值范圍。
2013年哈爾濱市第三中學(xué)第二次高考模擬考試
數(shù)學(xué)試卷（理工類）答案及評分標準
一、選擇題：
題號123456789101112
答案BABBBCCDCBBD
二、題：
13. 14. 15. 16.
三、解答題：
17. (Ⅰ)整理得 ……………………………… 4分
又 得 ……………………………… 6分
(Ⅱ)由（1）知 …………………………… 8分
所以 …………………………………… 12分
18. 解: (Ⅰ) 第六組 ???????????????????????????2分
第七組 ???????????????????????????4分
估計人數(shù)為 ??????????????????????????6分
(Ⅱ) 可能的取值為0,1, 2, 3. ????????????????????????7分
所以 的分布列
0123
?????????????10分
= . ????????????????????? 12分
19.(Ⅰ) ， 分別為 的中點，
為矩形， ????????????????? 2分
,又
面 , 面 ,
平面 ⊥平面 ????????????????????? 4分
(Ⅱ) ,又 ，
又 ,所以 面 , ??????????????????6分
法一：建系 為 軸， 為 軸， 為 軸,
， ,
平面 法向量 ，平面 法向量 ??????????9分
，可得 . ?????????????12分
法二：連 交 于點 ,四邊形 為平行四邊形，所以 為 的中點，連 ,
則 , 面 , ,
作 于 點，所以 面 ,
連 ,則 , 即為所求 ????????????? 9分
在 中， ,
解得 ?????????????12 分
20.(Ⅰ)由已知 解得 ， ，方程為 ???????3 分
(Ⅱ) 設(shè) ，則
（1）當直線 的斜率存在時，設(shè)方程為
聯(lián)立得：
有 ①
由以 為直徑的圓經(jīng)過坐標原點O可得： ?
整理得： ②
將①式代入②式得： , ??????????? 6 分
又點 到直線 的距離
?????????? 8 分
所以 ?????????? 10 分
(2) 當直線 的斜率不存在時，設(shè)方程為 （ ）
聯(lián)立橢圓方程得：
代入 得到 即 ，
綜上： 的面積是定值
又 的面積 ，所以二者相等. ???????12分
21.(Ⅰ) 由原式 ， ???????????????? 1分
令 ，可得 在 上遞減，
在 上遞增，所以
即 ???????????????3分
（Ⅱ）
， ，
時，函數(shù) 在 單調(diào)遞增 ???????????????5分
，
，
，
， 必有極值，在定義域上不單調(diào)??????????????8分
????????????????9分
（Ⅲ）由(I)知 在(0,1)上單調(diào)遞減
∴ 時， 即 ???????????????? 10分
而 時，
??????????????? 12分
22.（I）∵ ，∴ ，
又∵ ，∴ ，∴ ∽
∴ 又∵ ，∴ ???5分
（II） ， ，
是⊙ 的切線， ， ???????10分
23.（Ⅰ）圓 的極坐標方程為： ?????????5 分
（Ⅱ）圓心到直線距離為 ，圓半徑為 ，所以弦長為 ??????????? 10分
24.（Ⅰ） 的解集為： ?????????? 5分


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