專題三：數(shù)列 階段質(zhì)量評(píng)估（三）

一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，總分60分）
1.已知 ，則數(shù)列 的最大項(xiàng)是（ ）
A. B. C. D.
2.在數(shù)列 中， ， ，則 （ ）
A． B． C． D．
3.公差不為零的等差數(shù)列 中， ，
數(shù)列 是等比數(shù)列，且 （ ）
（A）2 （B）4（C）8（D）16
4. （2010?廣州高三六校聯(lián)考 ）等差數(shù)列 中，若 為方程 的兩根，則 等于（ ）
A．10 B．15 C．20 D．40
5.根據(jù)市場(chǎng)調(diào)查結(jié)果，預(yù)測(cè)某種家用商品從年初開始的n個(gè)月內(nèi)累積的需求量Sn（萬件）近似地滿足關(guān)系式Sn= （21n－n2－5）（n=1，2，…，12），按此預(yù)測(cè)，在本年度內(nèi)，需求量超過1.5萬件的月份是 （ ）
A.5、6月B.6、7月C.7、8月D.8、9月
6.將正偶數(shù)集合 從小到大按第 組有 個(gè)偶數(shù)進(jìn)行分組，
, ,
　 第一組　　　　　第二組　　　　 第三組
則 位于第（　�。┙M。
　　　　 　　　　　 　　　　　
7.已知等差數(shù)列 的公差為正數(shù)，且 ， ，則 為（　�。�


8. 執(zhí)行如圖的程序框圖，

若 ，
則輸出的 （　�。�
（A）
（B）
（C）
（D）
9.設(shè)函數(shù) 的導(dǎo)函數(shù) ，則數(shù)列 的前n項(xiàng)和是（　�。�
（A） （B） （C） （D）
10. 已知 是首項(xiàng)為1的等比數(shù)列， 是 的前n項(xiàng)和，且 ，則數(shù)列 的前5項(xiàng)和為 ( )
（A） 或5 （B） 或5 （C） （D）
11. 在等比數(shù)列 等于（ ）
A． B． C． D．
12.等差數(shù)列{an}中，a1=-5，它的前11項(xiàng)的平均值是5，若從中抽取1項(xiàng)，余下10項(xiàng)的平均值是4，則抽取的是 （ ）
A．a(chǎn)11 B．a(chǎn)10 C．a(chǎn)9 D．a(chǎn)8
二、填空題（本大題共4小題，每小題4分，總分16分）
13.整數(shù)數(shù)列 滿足 ，則數(shù)列 的通項(xiàng) __．
14. （2010?蘇、錫、常、鎮(zhèn)四市高三調(diào)研）已知 是等差數(shù)列，設(shè)
．某學(xué)生設(shè)計(jì)了一個(gè)求 的部分算法流程圖（如圖），圖中空白處理框中是用n的表達(dá)式對(duì) 賦值，則空白處理框中應(yīng)填入： ← ．

15.已知等比數(shù)列{an}中，a1=3，a4=81，若數(shù)列{bn}滿足bn=log3 an，
則數(shù)列 的前n項(xiàng)和Sn= 。
16.順次連結(jié)面積為1的正三角形的三邊中點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)黑色三角形，在余下的白色三角形上重復(fù)上面的操作。第（1）個(gè)圖中黑色三角形面積總和為 ，第（2）個(gè)圖中黑色三角形面積總和為 ，第（3）個(gè)圖中黑色三角形面積總和為 ，依此類推，則第 個(gè)圖中黑色三角形面積總和為 .


三、解答題（本大題共6小題，總分74分）
17.已知數(shù)列{an}是首項(xiàng)a1=1的等比數(shù)列，且an>0，{bn}是首項(xiàng)為l的等差數(shù)列，又a5+b3=21，a3+b5=13．
（1）求數(shù)列{an}和{bn}的通項(xiàng)公式
（2）求數(shù)列 的前n項(xiàng)和Sn．
18. 已知等差數(shù)列 滿足
（1）求數(shù)列 的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列 的前n項(xiàng)和為


19.已知函數(shù) 的圖象經(jīng)過點(diǎn) 及 ， 為數(shù)列 的前 項(xiàng)和.
（Ⅰ）求 及 ；
（Ⅱ）若數(shù)列 滿足 求數(shù)列 的前項(xiàng)和 .


20. 設(shè)數(shù)列 中的每一項(xiàng)都不為0．
證明： 為等差數(shù)列的充分必要條件是：對(duì)任何 ，都有
．


21. 對(duì)于數(shù)列 ,若存 在常數(shù)M＞0,對(duì)任意的 ，
恒有 ,則稱數(shù)列 為 數(shù)列.
（Ⅰ）首項(xiàng)為1，公比為 的等比數(shù)列是否為B-數(shù)列？請(qǐng)說明理由;
（Ⅱ）設(shè) 是數(shù)列 的前n項(xiàng)和.給出下列兩組判斷：
A組：①數(shù)列 是B-數(shù)列, ②數(shù)列 不是B-數(shù)列;
B組：③數(shù)列 是B-數(shù)列, ④數(shù)列 不是B-數(shù)列.
請(qǐng)以其中一組中的一個(gè)論斷為條件，另一組中的一個(gè)論斷為結(jié)論組成一個(gè)命題.
判斷所給命題的真假，并證明你的結(jié)論；
(Ⅲ)若數(shù)列 是B-數(shù)列，證明：數(shù)列 也是B-數(shù)列。


22. 已知 為正整數(shù)，
（I）用數(shù)學(xué)歸納法證明：當(dāng) 時(shí)， ；
（ II）對(duì)于 ，已知 ，
求證 ， ；
（III）求出滿足等式 的所有正整數(shù) ．


參考答案
一、選擇題
1. 答案：C.提示: 是關(guān)于 的二次函數(shù).
2. 【解析】選A.

3. 【解 析】選D.

4. 【解析】選B.
5. 【解析】選C.由Sn解出an= （－n2+15n－9），再解不等式 （－n2+15n－9）＞1.5，得6＜n＜9.
6. 【解析】選C.因?yàn)榈趎組有2n個(gè)正偶數(shù)，故前n組共有2+4+6+…+2n= 個(gè)正偶數(shù)。2010是第1005個(gè)正偶數(shù)，若n=31，則 =992，而第32組中有偶數(shù)64個(gè)，992+64=1056，故2010在第32組。
7. 【解析】選A.因?yàn)?， 及公差為正數(shù)，所以
，
所以
8. 【解析】選D.由題意知當(dāng)n=9時(shí)，n=9<9不成立，輸出S，此時(shí)

9. 【解析】選A

10. 【命題立意】考查等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和公式．
【思路點(diǎn)撥】求出數(shù)列 的通項(xiàng)公式是關(guān)鍵．
【規(guī)范解答】選C．設(shè) ，則 ，
即 ， ， ．
11. C
12. A
二、填空題
13. 【解析】


答案：
14. 【解析】當(dāng)n≤5時(shí)， =－n2＋9n，所以 ，
因?yàn)?是等差數(shù)列，所以 ，

答案：
15. 【解析】因?yàn)閍1=3，a4=81，所以
所以


答案：
16. 答案：

三、解答題
17. 【解析】（1）設(shè) 的公比為 ， 的公差為 ，則由已知條件得：
解之得： ， 或 （舍去）4分
∴ ， 6分
（2）由（1）知
∴ ①7分
∴ ②
①—②得： 9分
即

∴ 12分
18. 【解析】（I）設(shè)等差數(shù)列 的公差為d。
…………2分
解得 …………4分
…………6分
（II）設(shè)各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列 的公比為
由（I）知
…………8分
…………10分
解得 （舍去）…………11分
…………13分
19. 【解析】（1）∵函數(shù) 的圖象經(jīng)過點(diǎn) ，則
，解得 ，∴ ，得
則 …………8分
（2） ，
=
令 …①
…②
①-②:

…………14分
20. 【命題立意】本題主要考查等差數(shù)列與充要條件等知識(shí)，考查考生推理論證，運(yùn)算求解能力．
【思路點(diǎn)撥】證明可分為兩步，先證明必 要性，適宜采用列項(xiàng)相消法，再證明充分性，可采用數(shù)學(xué)歸納法或綜合法．
【規(guī)范解答】已知數(shù)列 中的每一項(xiàng)都不為0，
先證
若數(shù)列 為等差數(shù)列，設(shè)公差為 ，
當(dāng) 時(shí)，有 ，


即對(duì)任何 ，有 成立；
當(dāng) 時(shí)，顯然 也成立．
再證
對(duì)任意 ，有 ①，
②，
由②-①得： -
上式 兩端同乘 ，得 ③，
同理可得 ④，
由③-④得： ，所以 為等差數(shù)列
【方法技巧】
1、在進(jìn)行數(shù)列求和問題時(shí)，要善于觀察關(guān)系式特點(diǎn)，進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖冃�，如分組、裂項(xiàng)等 ，轉(zhuǎn)化為常見的類型進(jìn)行求和；
2、對(duì)數(shù)列中的含n的式子，注意可以把式子中的n換為 或 得到相關(guān)的式子，再進(jìn)行化簡(jiǎn)變形處理；也可以把n取自然數(shù)中的具體的數(shù)1，2，3…等，得到一些等式歸納證明.
21. 【解析】（Ⅰ）設(shè)滿足題設(shè)的等比數(shù)列為 ,則 .于是


= =
所以首項(xiàng)為1，公比為 的等比數(shù)列是B-數(shù)列 .
（Ⅱ）命題1：若數(shù)列 是B-數(shù)列，則數(shù)列 是B-數(shù)列.此命題為假命題.
事實(shí)上設(shè) =1， ，易知數(shù)列 是B-數(shù)列，但 =n，
.
由n的任意性知，數(shù)列 不是B-數(shù)列。
命題2：若數(shù)列 是B-數(shù)列，則數(shù)列 是B-數(shù)列。此命題為真命題。
事實(shí)上，因?yàn)閿?shù)列 是B-數(shù)列，所以存在正數(shù)M，對(duì)任意的 ，有
,
即 .于是
,
所以數(shù)列 是B-數(shù)列。
（注：按題中要求組成其它命題解答時(shí)，仿上述解法）
(Ⅲ)若數(shù)列 是B-數(shù)列，則存在正數(shù)M，對(duì)任意的 有
.
因?yàn)?
.
記 ，則有
.
因此 .
故數(shù)列 是B-數(shù)列.
22. 【解析】方法一：用數(shù)學(xué)歸納法證明：
（?）當(dāng) 時(shí)，原不等式成立；當(dāng) 時(shí)，左邊 ，右邊 ，
因?yàn)?，所以左邊 右邊，原不等式成立；
（?）假設(shè)當(dāng) 時(shí)，不等式成立，即 ，則當(dāng) 時(shí)，
， ，于是在不等式 兩邊同乘以 得
，
所以 ．即當(dāng) 時(shí)，不等式也成立．
綜合（?）（?）知，對(duì)一切正整數(shù) ，不等式都成立．
（Ⅱ）當(dāng) 時(shí)，由（Ⅰ）得 ，
于是 ， ．
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，當(dāng) 時(shí)，
，
．
即 ．即當(dāng) 時(shí)，不存在滿足該等式的正整數(shù) ．
故只需要討論 的情形：
當(dāng) 時(shí)， ，等式不成立；
當(dāng) 時(shí)， ，等式成立；
當(dāng) 時(shí)， ，等式成立；
當(dāng) 時(shí)， 為偶數(shù)，而 為奇數(shù)，故 ，等式不成立；
當(dāng) 時(shí)，同 的情形可分析出，等式不成立．
綜上，所求的 只有 ．
方法二：（Ⅰ）當(dāng) 或 時(shí)，原不等式中等號(hào)顯然成立，下用數(shù)學(xué)歸納法證明：
當(dāng) ，且 時(shí)， ， ．　　①
（?）當(dāng) 時(shí)，左邊 ，右邊 ，因?yàn)?，所以 ，即左邊 右邊，不等式①成立；
（?）假設(shè)當(dāng) 時(shí)，不等式①成立，即 ，則當(dāng) 時(shí)，
因?yàn)?，所以 ．又因?yàn)?，所以 ．
于是在不等式 兩邊同乘以 得
，
所以 ．即當(dāng) 時(shí)，不等式①也成立．
綜上所述，所證不等式成立．
（Ⅱ）當(dāng) ， 時(shí)， ， ，
而由（Ⅰ）， ， ．
（Ⅲ）假設(shè)存在正整數(shù) 使等式 成立，
即有 ．　　　　　②
又由（Ⅱ）可得

，與②式矛盾．
故當(dāng) 時(shí)，不存在滿足該等式的正整數(shù) ．

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