2013年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試
理科數(shù)學(xué)
注意事項(xiàng):
1. 本試卷分為兩部分, 第一部分為, 第二部分為非.
2. 考生領(lǐng)到試卷后, 須按規(guī)定在試卷上填寫姓名、準(zhǔn)考證號，并在答題卡上填涂對應(yīng)的試卷類型信息.
3. 所有解答必須填寫在答題卡上指定區(qū)域內(nèi). 考試結(jié)束后, 將本試卷和答題卡一并交回.
第一部分(共50分)
一、選擇題：在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求（本大題共10小題，每小題5分，共50分）
1. 設(shè)全集為R, 函數(shù) 的定義域?yàn)镸, 則 為
(A) [－1,1](B) (－1,1)
(C) (D)
2. 根據(jù)下列算法語句, 當(dāng)輸入x為60時, 輸出y的值為
(A) 25
(B) 30
(C) 31
(D) 61
3. 設(shè)a, b為向量, 則“ ”是“a//b”的
(A) 充分不必要條件(B) 必要不充分條件
(C) 充分必要條件(D) 既不充分也不必要條件
4. 某單位有840名職工, 現(xiàn)采用系統(tǒng)抽樣方法, 抽取42人做問卷調(diào)查, 將840人按1, 2, …, 840隨機(jī)編號, 則抽取的42人中, 編號落入?yún)^(qū)間[481, 720]的人數(shù)為
(A) 11(B) 12(C) 13(D) 14
5. 如圖, 在矩形區(qū)域ABCD的A, C兩點(diǎn)處各有一個通信基站, 假設(shè)其信號覆蓋范圍分別是扇形區(qū)域ADE和扇形區(qū)域CBF(該矩形區(qū)域內(nèi)無其他信號來源, 基站工作正常). 若在該矩形區(qū)域內(nèi)隨機(jī)地選一地點(diǎn), 則該地點(diǎn)無信號的概率是
(A) (B)
(C) (D)
6. 設(shè)z1, z2是復(fù)數(shù), 則下列命題中的假命題是
(A) 若 , 則 (B) 若 , 則
(C) 若 , 則 (D) 若 , 則
7. 設(shè)△ABC的內(nèi)角A, B, C所對的邊分別為a, b, c, 若 , 則△ABC的形狀為
(A) 銳角三角形(B) 直角三角形(C) 鈍角三角形(D) 不確定
8. 設(shè)函數(shù) , 則當(dāng)x>0時, 表達(dá)式的展開式中常數(shù)項(xiàng)為
(A) －20(B) 20(C) －15(D) 15
9. 在如圖所示的銳角三角形空地中, 欲建一個面積不小于300m2的內(nèi)接矩形花園(陰影部分), 則其邊長x(單位m)的取值范圍是
(A) [15,20](B) [12,25]
(C) [10,30](D) [20,30]
10. 設(shè)[x]表示不大于x的最大整數(shù), 則對任意實(shí)數(shù)x, y, 有
(A) [－x] ＝ －[x](B) [2x] ＝ 2[x]
(C) [x＋y]≤[x]＋[y](D) [x－y]≤[x]－[y]
二、題：把答案填寫在答題卡相應(yīng)題號后的橫線上（本大題共5小題，每小題5分，共25分）
11. 雙曲線 的離心率為 , 則m等于 .
12. 某幾何體的三視圖如圖所示, 則其體積為 .
13. 若點(diǎn)(x, y)位于曲線 與y＝2所圍成的封閉區(qū)域, 則2x－y的最小值為 .
14. 觀察下列等式:
…
照此規(guī)律, 第n個等式可為 .
15. (考生請注意:請?jiān)谙铝腥�題中任選一題作答, 如果多做, 則按所做的第一題計(jì)分)
A. (不等式選做題) 已知a, b, m, n均為正數(shù), 且a＋b＝1, mn＝2, 則(am＋bn)(bm＋an)的最小值為 .
B. (幾何證明選做題) 如圖, 弦AB與CD相交于 內(nèi)一點(diǎn)E, 過E作BC的平行線與AD的延長線相交于點(diǎn)P. 已知PD＝2DA＝2, 則PE＝ .
C. (坐標(biāo)系與參數(shù)方程選做題) 如圖, 以過原點(diǎn)的直線的傾斜角 為參數(shù), 則圓 的參數(shù)方程為 .
三、解答題: 解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程及演算步驟（本大題共6小題，共75分）
16. (本小題滿分12分)
已知向量 , 設(shè)函數(shù) .
(Ⅰ) 求f (x)的最小正周期.
(Ⅱ) 求f (x) 在 上的最大值和最小值.
17. (本小題滿分12分)
設(shè) 是公比為q的等比數(shù)列.
(Ⅰ) 推導(dǎo) 的前n項(xiàng)和公式;
(Ⅱ) 設(shè)q≠1, 證明數(shù)列 不是等比數(shù)列.
18. (本小題滿分12分)
如圖, 四棱柱ABCD－A1B1C1D1的底面ABCD是正方形, O為底面中心, A1O⊥平面ABCD, .
(Ⅰ) 證明: A1C⊥平面BB1D1D;
(Ⅱ) 求平面OCB1與平面BB1D1D的夾角 的大小.
19. (本小題滿分12分)
在一場娛樂晚會上, 有5位民間歌手(1至5號)登臺演唱, 由現(xiàn)場數(shù)百名觀眾投票選出最受歡迎歌手. 各位觀眾須彼此獨(dú)立地在選票上選3名選手, 其中觀眾甲是1號歌手的歌迷, 他必選1號, 不選2號, 另在3至5號中隨機(jī)選2名. 觀眾乙和丙對5位歌手的演唱沒有偏愛, 因此在1至5號中隨機(jī)選3名歌手.
(Ⅰ) 求觀眾甲選中3號歌手且觀眾乙未選中3號歌手的概率;
(Ⅱ) X表示3號歌手得到觀眾甲、乙、丙的票數(shù)之和, 求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.
20. (本小題滿分13分)
已知動圓過定點(diǎn)A(4,0), 且在y軸上截得的弦MN的長為8.
(Ⅰ) 求動圓圓心的軌跡C的方程;
(Ⅱ) 已知點(diǎn)B(－1,0), 設(shè)不垂直于x軸的直線l與軌跡C交于不同的兩點(diǎn)P, Q, 若x軸是 的角平分線, 證明直線l過定點(diǎn).
21. (本小題滿分14分)
已知函數(shù) .
(Ⅰ) 若直線y＝kx＋1與f (x)的反函數(shù)的圖像相切, 求實(shí)數(shù)k的值;
(Ⅱ) 設(shè)x>0, 討論曲線y＝f (x) 與曲線 公共點(diǎn)的個數(shù).


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